Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/23.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:19 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:17 2012 Кодировка: Windows-1251

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

23

б) Расположим внутри данного тетраэдра четыре тетраэдра, полученных из него гомотетиями с центрами в его вершинах и коэффициентами 2/3. Пересечение трех таких тетраэдров пусто, а любые два пересекаются по тетраэдру, гомотетичному данному с коэффициентом 1/3 (центрами гомотетий будут середины ребер тетраэдра). Общий объем четырех тетраэдров равен 4 8 - 6 27 = = 26 27 объема исходного тетраэдра, а не занятая ими часть будет тетраэдром с вершинами в центрах его граней. Для завершения доказательства осталось разрезать каждый из четырех тетраэдров в соответствии с п. а). А.Заславский

ных скорости и угла никак не удастся 'составить' ускорение размерность не позволит). Пусть нам известна высота блока Н над поверхностью воды размеры блока будем считать малыми. Ускорение узелка можно представить в виде векторной суммы трех ускорений: первое связано с поворотом вектора v0 , второе с поворотом вектора v1 и третье с увеличением модуля скорости v1 . Первое ускорение оно перпендикулярно вектору скорости v0 равно . L H cos Второе ускорение перпендикулярно линейной скорости вращательного движения, т.е. направлено вдоль нити, и равно 2 3 v sin 2 v0 sin 2 a2 = v1 = v sin = . 2 3 L 3 H cos Третье ускорение направлено вдоль скорости v1 , т.е. перпендикулярно нити, и равно
0

b

g

вал веревку, с помощью которой подтягивается к берегу лодка. В данный момент веревка составляет угол с горизонтом, а скорость лодки равна v. На веревке завязан небольшой узелок в указанный момент он вдвое ближе к носу лодки, чем к валу, на который наматывается веревка. Найдите скорость и ускорение узелка в данный момент времени. Скорость лодки направлена вдоль поверхности воды (см. рисунок), проекция этой скорости на направление
v L/! v a! v a a

Ф1683. Мотор на берегу равномерно наматывает на

a1 = v0 = v

v sin

=

v0 sin

2

2

a3 =

2 v0 tg + - v0 tg 3 t

b

g

= = 2 v0 = 2 v0 sin
2 2

H

L/!

. 3 2 2 3 cos t 3 cos 3 H cos Сложим, с учетом знаков, все ускорения и найдем модуль полного ускорения узелка:

=

2 v0 sin

v

a=

c

a1 - a

3

h

2

+ a2 =
= 2 v sin 3 H
2 2

2

веревки (нити) равна постоянной по величине скорости наматывания нити на барабан v0 :
v0 = v cos .

, e15

cos - 1 cos
2

2

j

2

+ sin .

2

С.Варламов

За малый интервал времени t нить повернется на малый угол . L Угловая скорость 'вращения' нити равна . L t Скорость узелка можно представить в виде векторной суммы поступательной скорости (вдоль нити), равной v0 , и линейной скорости вращательного движения, равной (с учетом расположения узелка в интересующий нас момент)
v1 = 2 3 L = 2 3 v sin . = = v sin = vt sin

Ф1684. Для снабжения небольшого дома горячей водой

применено не самое удачное устройство. Оно состоит из очень большого бака с теплоизоляцией, от которого потребители получают маленькими порциями горячую воду, и автоматического устройства, которое сразу же пополняет бак крутым кипятком. Оказалось, что при стандартном количестве потребляемой воды температура воды в баке составляет +60 њС при температуре окружающего воздуха +20 њС. Какая температура установится в баке при увеличении расхода воды вдвое? Теплоотдача в окружающую среду пропорциональна разности температур.

Полная скорость узелка в заданный момент будет равна

Пусть за минуту жители потребляют массу воды m, тогда за это время в бак поступит такая же масса кипятка при температуре t1 = + 100 њС. Остывая до температуры воды в баке t2 = +60 њС, кипяток отдаст количество теплоты cm t1 - t2 , а бак отдаст столько же тепла в окружающую среду с температурой t3 = +20 њС:

c

h

v2 =

v0 + v1 =
=

2

2

cm t1 - t2 = K t2 - t3 ,
2

c

h

c

h

9 cos + 4 sin . v sin = 3 9 Для нахождения ускорения нам придется задать дополнительную величину, не указанную в условии (из заданv cos +
2 2 2

4

v

2

2

где K постоянный коэффициент. Если теперь за минуту потребляется 2m воды, то для новой температуры воды в баке t будет выполняться условие 2cm t1 - t = K t - t3 .

c

h

c

h

6*