Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/19.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:19 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:15 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

19

расположены в виде линейки, параллельной этой полоске. И лампа, и линейка датчиков расположены на подвижной каретке. Каретка движется с постоянной скоростью, и датчики через равные интервалы времени передают в компьютер изображение. Таким образом, при перемещении каретки получается много 'срезов' объекта, из которых и состоит изображение. Пользуясь данным изображением, определите направление и скорость движения каретки сканера, если длина секундной стрелки (от оси до острия) составляет 15 мм. А.Селиверстов

Решения задач М1666М1675, Ф1683Ф1687
М1666. Три плоскости разрезали куб с ребром 1 на 8 параллелепипедов. Докажите, что среди них найдутся 4 параллелепипеда, объем каждого из которых не превосходит 1/8.
Восемь параллелепипедов имеют одну общую вершину это точка пересечения трех разрезающих плоскостей. Каждые два из них, имеющих только одну общую вершину, назовем парой. Если длины трех определяющих ребер параллелепипеда равны 1/2 + x, 1/2 + y, 1/2 + z, то длины соответствующих ребер парного к нему параллелепипеда равны 1/2 x, 1/2 y, 1/2 z. В силу чего произведение объемов двух параллелепипедов, составляющих пару, удовлетворяет неравенству
2 2 V V2 = 1 4 - x 1 4 - y 1 4 - z 1

Ф1699. Очень легкая жесткая квадратная пластинка подвешена в горизонтальном положении на четырех одинаковых вертикальных нитях, прикрепленных к ее углам. Найдите ту область пластинки, куда можно положить точечный груз таким образом, чтобы все четыре нити в положении равновесия оказались натянутыми. Нити считать упругими, но очень слабо растяжимыми. Р.Компанеец
1 с температурой T в состояние 2 с температурой T2 > T 1 1 таким образом, чтобы температура в течение всего обратимого процесса 1 2 не убывала, а тепло не отводилось от газа. Минимальное количество теплоты, которое передается газу в таком процессе, равно Q1. Какое максимальное количество теплоты можно сообщить газу при данных условиях проведения процесса? О.Шведов

@

E@

E@

2

E

1 64 .

Ф1700. Требуется перевести идеальный газ из состояния

Но тогда хотя бы один из этих объемов не превосходит 1/8. Так как 8 параллелепипедов распадаются на 4 пары, то в каждой паре найдется хотя бы один параллелепипед с объемом, не превосходящим 1/8. Д.Кузнецов

М1667. Натуральный ряд чисел разбит на две бесконечные части. Докажите, что в каждой части можно взять по 100 чисел с равными суммами.
Так как обе части бесконечны, то найдется бесконечное число пар последовательных натуральных чисел таких, что меньшее число в каждой паре принадлежит первой части, а большее второй. Точно так же найдется бесконечное число пар последовательных натуральных чисел таких, что большее число в каждой паре принадлежит первой части, а меньшее второй. Ввиду этого ясно, что найдется 50 пар первого типа и 50 пар второго типа таких, что все 100 пар попарно не пересекаются. Итого имеем 200 натуральных чисел, 100 из которых принадлежит первой части, а другие 100 второй, при этом их суммы равны. В.Произволов

сварочных работ иногда используют смесь водорода с кислородом, получаемую при электролизе воды. Оцените КПД устройства для электролиза воды, если напряжение между электродами одной его ячейки равно U = 2 В. Известно, что при сгорании m = 2 г водорода в кислороде выделяется Q = 0,29 МДж тепла. В.Погожев

Ф1701. В настоящее время для проведения небольших

Ф1702. Параллельные рельсы длиной 2L закреплены на горизонтальной плоскости на расстоянии l друг от друга. К их концам подсоединены две одинаковые батареи с ЭДС E (рис.3). На рельсах лежит перемычка массой m,
B E m,R l E

М1668. Имеется n бочек, содержащих 1, 2, ..., n литров воды соответственно. Разрешается доливать в бочку столько воды, сколько в ней уже есть, из любой другой бочки, в которой воды достаточно для такой операции. Какое наибольшее количество воды можно собрать в одной бочке, если а) n = 10; б) n любое число?
а) ОТВЕТ: 54 литра. Всю воду (55 литров) нельзя слить в одну бочку. Если бы удалось всю воду слить в одну бочку, то последняя операция состояла бы в сливании двух одинаковых количеств в одно, и получилось бы, что число 55 четно, что неверно. Получить 54 литра в одной бочке и 1 литр в другой можно, слив сначала всю воду в две бочки и, манипулируя ими, собрать в одной из них 54 литра. Покажем один из способов достижения этой цели. Дополнив из третьей бочки первую, получаем ситуацию (2, 2, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10); затем, удваивая количество воды в первых трех бочках, получим (4, 4, 4, 4, 3, 4, 5, 8, 9, 10). Из бочки с 9 литрами перельем воду в бочку с 5 литрами и после этого объединим воду бочек, содержа-

Рис.3

L

которая может поступательно скользить вдоль них. Вся система помещена в однородное вертикальное магнитное поле с индукцией В. Считая, что сопротивление перемычки равно R, а сопротивление единицы длины рельсов равно , найдите период малых колебаний, возникающих при смещении перемычки от положения равновесия, пренебрегая затуханием, внутренним сопротивлением источников, сопротивлением контактов, а также индуктивностью цепи. А.Якута
5*