Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/15.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:19 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:37 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: crab nebula

СТРУНА

РОЯЛЯ

И

СОЛНЕЧНЫЙ

СВЕТ

15

площадку:
N=

z
0

т.е.
dn y .

bg

h&; kБ T ,

(8)

Это соотношение можно переписать и так:

mgy = mg

z z
0 0

ydn y

bg
.

а распределение энергии излучения по частотам будет иметь вид колоколообразной кривой (рис.6). Эта кривая показывает, что в области очень

излучается, столько же и падает. Но если плотность энергии равна u, то, умножив ее на скорость распространения (а это скорость света с), мы получим плотность потока энергии 3 uc (с размерностью Дж м м с = = Дж м с ); а коль скоро фотоны летают во всех направлениях с равной вероятностью, грамотный школьник сразу скажет, что в направлении к поверхности тела должна двигаться 1/6 часть всех фотонов (так как это одно из шести направлений: вперед назад, вверх вниз, вправо влево). Значит, плотность потока энергии от поверхности будет равна

e

2

j

e

jb g

dn y

bg

Знаменатель этого выражения равен n n 0 = 0 n 0 = n 0 (учтено, что n = = 0, т.е. на бесконечности концентрация равна нулю). Числитель легко найти, воспользовавшись тождеством

bg

bg bg

6 6
Рис.6

d yn = ydn + ndy ,

bg

q=

1 6

uc ;

kБ ch
2

4

3

T.

4

(10)

откуда


z
0

ydn y =


bg

= yn | - n0 e
y=0 0

zbgz z


d yn -
-

n dy =

0

0

mgy kБT

dy

FG H

mg kБT

IJ GF k T IJ K H mg K
Б 0

= kБ T mg

больших и очень малых частот заключено мало энергии, а больше всего в окрестности характерной частоты &; kБT h . Таким образом, полную энергию равновесного излучения в объеме печки можно оценить выражением .

= 0-n
В результате
mgy = kБ T .

h& , 3 c а плотность энергии (энергию единицы объема) выражением
. (9) l ch Собственно, ради этой зависимости
3 3 3 Б

U; N & h&;

ch
U

l

3

4

Формулы (6) и (7) показывают, что средние значения как кинетической, так и потенциальной энергий молекул газа порядка kБT . Этот результат оказывается верным и в любом другом случае, когда имеет место термодинамическое равновесие большого количества участников хаотического движения. А что же равновесное излучение в печке? Согласно условию (1), наибольшая длина волны равна = 2l, так что для характерного размера печки l;1 м получим max ; 2 м. Это длина радиоволнового диапазона. Наименьшая длина волны может быть любая, в том числе и из рентгеновского диапазона. Но, конечно, никто не рассматривает печку в качестве радиостанции или рентгеновского аппарата. Из широкого набора частот какое-то значение & при данной температуре будет наиболее характерным (чаще всего встречающимся среди фотонов, наиболее вероятным, средним или придумайте еще какое-либо слово). Сказанное выше позволяет ожидать, что соответствующая энергия фотонов равновесного излучения тоже будет порядка kБT ,
4

u=

;

1

ck T h

4

Это тоже закон СтефанаБольцмана. Еще более грамотный студент скажет, что нужно написать не 1/6, а 1/4, и будет совершенно прав; но эти тонкости сейчас не существенны. Главное, что мы получили не только закон 4 СтефанаБольцмана u = T ; q = 4 = T , где постоянная СтефанаБольцмана, но и нетривиальную связь коэффициентов пропорциональности в этом законе с фундаментальными физическими константами: . 33 23 ch ch : = Точное значение , = 567 10-8 Дж м2 с К 4 . Заметим, что эти комбинации фундаментальных констант можно получить (как это не раз и делалось в популярной литературе) на основе соображений размерностей, если известен набор относящихся к делу величин: h, kБ , с. Мы же здесь постарались этот набор обосновать. Видно, что зависимость q от Т очень крутая: при увеличении температуры, скажем, в 2 раза, плотность потока излучения возрастает в 16 раз! Получив в распоряжение этот закон, было бы обидно не использовать его тут же. Например, можно, оказывается, оценить температуру поверхности Солнца TC , зная только, под каким углом C = DC L виден его диаметр DC , и среднюю температуру Земли TЗ (здесь L расстояние между Солнцем и Землей). Действительно, со всей поверхности Солнца излучается в единицу времени энергия

;

kБ

4

, ;

kБ

4

u = T

4

мы и трудились так долго, чтобы не заявлять просто: дескать, существует такой закон имени Стефана и Больцмана и все тут. (Сразу же отметим, что полученные выражения отражают только размерность искомых величин. Правильное распределение фотонов по частотам описывается так называемой формулой Планка, содержащей безразмерный множитель 1 e Б - 1 , см., например, самый первый номер журнала 'Квант'. Но для наших целей и этого достаточно, поскольку упомянутая правильная квантово-механическая формула не изменит размерности величины u.) Можно сделать и еще одно очень полезное наблюдение оценить энергию, излучаемую в единицу времени с единицы поверхности нагретого тела. Поскольку мы говорим здесь о равновесном излучении, то, как уже отмечалось выше, сколько энергии

d

i

e

h k T

j

QС = qC 4 RC = TC DC .

2

4

2

*