Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/05.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:18 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:18:06 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: vallis

ГИПОТЕЗА

ТАНИЯМЫ

И

ПОСЛЕДНЯЯ

ТЕОРЕМА

ФЕРМА

5

O



N

Рис.4

p, делящих дискриминант кривой, реализуется первая из двух указанных возможностей, то эллиптическая кривая называется полустабильной. Простые числа, делящие дискриминант, можно объединить в так называемый кондуктор эллиптической кривой. Если E полустабильная кривая, то ее кондуктор N задается формулой

В частности,

dim S2 2 = 0 .

bg

(6)

O

N=


p|

p,

p

(4)

Отметим, что эта нехитрая формула сыграет важную роль в доказательстве теоремы Ферма. Из условия (5) следует, что f(z + + 1) = f(z ) для каждой формы f S2 N . Стало быть, f является периодической функцией. Такую функцию можно представить в виде

bg



N

где для всех простых чисел p 5, делящих , показатель p равен 1. Показатели 2 и 3 вычисляются с помощью специального алгоритма.

fz=

bg
n =1



n an q , q = e

2 iz

.

(7)

Рис.5

Модулярные формы и модулярные эллиптические кривые
Обозначим через H верхнюю комплексную полуплоскость. Пусть N натуральное и k целое числа. Модулярной параболической формой веса k уровня N называется аналитическая функция f(z), заданная в верхней полуплоскости и удовлетворяющая соотношению

Назовем модулярную параболическую форму f(z) S2 N собственной, если ее коэффициенты целые числа, удовлетворяющие соотношениям

bg

Для кривой, заданной в канонической форме (2), дискриминант определяется формулой

a1 = 1 ;

a r ap = a
p

p

r +1

pc

p

r -1

для простого p,

= - 4 a + 27b .
Пусть E некоторая эллиптическая кривая, заданная уравнением
2 3 y = x + ax + b ,

e

3

2

j

не делящего число N; (8)

a

p

r

=a
a

ej
p

r

для простого p, делящего число N;

в котором a и b целые числа. Для простого числа p рассмотрим сравнение

f

F GH

az + b cz + d

I =b JK b

cz + d f z

g bg
k

(5)

mn

= am an , если (m, n) = 1.

y x + a x + b mod p ,

2

3

b

g

(3)

где a и b остатки от деления целых чисел a и b на p, и обозначим через np число решений этого сравнения. Числа np очень полезны при исследовании вопроса о разрешимости уравнений вида (2) в целых числах: если какое-то np равно нулю, то уравнение (2) не имеет целочисленных решений. Однако вычислить числа np удается лишь в редчайших случаях. В то же время известно, что p - np 2 p (теорема Хассе). Рассмотрим те простые числа p, которые делят дискриминант эллиптической кривой (2). Можно доказать, что для таких p многочлен 3 x + a x + b можно записать одним из двух способов:

для любых целых чисел a, b, c, d таких, что ad bc = 1 и c делится на N. Кроме того, предполагается, что
t +0

lim f r + it = 0 ,

g

Сформулируем теперь определение, играющее ключевую роль в доказательстве теоремы Ферма. Эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами и кондуктором N называется модулярной, если найдется такая собственная форма
fz=

где r рациональное число, и что

lim f it = 0 .
t

bg

bg
n =1



an q S2 N ,

n

bg

(9)

Пространство модулярных параболических форм веса k уровня N обозначается через Sk N . Можно показать, что оно имеет конечную размерность. В дальнейшем нас будут особо интересовать модулярные параболические формы веса 2. Для малых

bg

что a p = p np для почти всех простых чисел p. Здесь np число решений сравнения (3).

Гипотеза Таниямы
Определение модулярной эллиптической кривой является настолько жестким, что на первый взгляд кажется невероятным существование хотя бы одной такой кривой. Трудно представить, что функция f(z), удовлетворяющая перечисленным выше весьма ограничительным условиям (5) и (8), разлагается в ряд (7), коэффициенты которого связаны с практически невычислимыми числами np . Однако эмпирический материал, полученный в первой по-

x + ax + b x +
или
3

3

b

ge
2

x + mod p

jb

g

N размерность dim S2 N пространства S2 N представлена в таблице:

bg

bg
1 20 1

N < 10
0

11 1 17 1

12 0 18 0

13 0 19 1

14

15 1 21 1

16 0 22 2

x + ax + b x +

где , , некоторые остатки от деления на p. Если для всех простых
2 Квант ? 4

b

gb
3

mod p ,

g