Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/03/49.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:35 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:59 2012 Кодировка: Windows-1251

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

49
7. x y - 1 + y x - 1 = xy . 8. 2 x 9 - x5 + x > 2 . 9. 8 x 3 x + 1 = 4 . 10.
x+3 +49-x > 3.

Введем в рассмотрение функции
B(O ) log 6 2 3 2 3 C (O )

f x = x - 2x + 2 ,
g = 2 4 2x - 1 - x .

bg b xg

2

b

g

1 1 3 5 O

Графиком f(х) является парабола с минимальным значением f(1) = 1. Для исследования поведения g(x) вычислим в ноль при х = 1 и при проходе через эту точку меняет знак с '+' на ''. Последнее означает, что в точке х = 1 функция g(x) достигает своего наибольшего значения g(1) = 1. Итак, минимум левой части уравнения совпал с максимумом его правой части. Тем самым равенство возможно лишь при х = 1. Ответ: 1. В заключение попробуем ответить на естественный вопрос: как угадать, что уравнение, неравенство или система 'не решается'? Рассмотренные примеры подсказывают ответ: исследование поведения функций может в любом случае оказаться существенной частью решения задачи. В процессе поиска удобной для такого исследования формы трудно пройти мимо стандартных способов решения, если, конечно, таковые существуют.
Упражнения Решите уравнение, неравенство или систему: 2 1. 3 - x + x - 1 = 2 2 + x - y . 2. (МГУ, химфак, 89)

11. 1 + 2 2 x + 3 3x < 6 x . 12.

b g b g -1. Производная g b xg обращается
g x = 2x - 1
-3 4

13. Для x, y - 2 ; 2 решите систему

при y -3; 0 : при y 0; 1 :

b

b g bg bg bg при y b1; 3 : 1 f b y g f b3g = 2 = log 4 = gbg < gb yg ; при y b3; 5 : f b y g f b5g = 12 5 < log 6 = gb3g < gb y g при y b5; g : f b y g < 3 = gb 5 g gb y g .
f y f 1 = 0 < log2 3 = g 0 < g y ;
2
2

b

g

g b yg

<3
bg

14.

15. 5 16 16. (МГУ, мехмат, 79)

b g Rtg x - tg y = x - y, | Ssin x + sin y = 2 . | T d4 + 2ib2 - xg = 6 . log e1 + 4 x j > log b4 x g .
x

R | S | T

x 3 + y 3 = 1; x 4 + y 4 = 1.

2 + log3 x 6 < . x -1 2x - 1
17. (МГУ, хим. ф-т, 78) При x 2 решите систему

;

Из всех написанных не вполне очевидно лишь числовое неравенство

18. 19.

R | S | T

Rb2 - xgb3x - 2 zg = 3 |3 2 2 | y + 3y = x - 3 x S |z2 + y2 = 6z. | T

- z, + 2,

x2 + 2 x + x - y = 0, y 2 - x - y - 1 = 4. 3 - x + x -1 - x + 2 = 2 2.

12 5 < log 2 6 = log 2 3 + 1 7 5 < log 2 3 2 < 3 128 < 243 .
Итак, соответствующее неравенству уравнение не имеет решений. Это означает, что любой из промежутков области определения может войти в ответ только целиком. Тем самым остается выбрать по точке в каждом из трех интервалов (3; 0), (0; 1), (1; ) области определения и проверить выполнение неравенства в каждой из них. Подставив, например, у = 1, у = 1/2, у = 7, убедимся, что неравенство выполнено лишь при у = 1/2 и, следовательно, только на промежутке (0; 1). Вернувшись к старой переменной х = =(у 1)/2, получим Ответ: (1/2; 0). Иногда возникшие в примере 9 сложности удается обойти за счет преобразования уравнения. Пример 10. Решите уравнение
x - x + 2 = 2 2x - 1 .
2 4 7 5

b

g

20. 2 x6 - x5 + x - 2 0 . 21. (МГУ, ф-т почвоведения, 81) Найдите все пары (х, у), для каждой из которых выполнено равенство
3 4 x - x 2 sin
2

b

2x + 1 1 +

gFGH

b

2x + 1

g

2

+7 +
2 + x 1+ x +7 = 0 .

IJ K

FG H

x+y + 2cos x + y = 2

IJ K

b

g

=

FH

IK

13 + cos2 x + y . 4

b

g

22. (МГУ, геогр. ф-т, 81)

3. (МГУ, ВМК, 89) Найдите все значения а, при которых уравнение имеет хотя бы одно целочисленное решение:
log -
1

Rx y | S2x | T
2 2

2

- 2 x + y2 = 0,

- 4 x + 3 + y 3 = 0.

b
2

F GH

a2 + 4 2 + 4 - 4 x - x - 2 a - 2 x + 4 a
2

b

x - 5 a + 10 - 34 - x - a + + 2 = 0 .

gd

g

I JK

23. (МГУ, геол. ф-т, 85)

b

x + 2 2x - 1 - 3 x + 6 =

gb

g

i

= 10 -

b

x + 6 2x - 1 + x + 2 .

gb

g

24. (МГУ, ВМК, 83)
2 - y 5sin2 x - 6 sin x cos x - 9cos2 x + 33 33 =

4. (МГУ, ф-т почвоведения, 89)

e

x - 4x + 3 Ч Ч log
1 2

и правая части уравнения являются обе возрастающими функциями, что затрудняет исследование взаимного расположения их графиков. Вычтем х из обеих частей уравнения:

x 1/2. При таких значениях х левая

Решение. Уравнение определено при

j FG cos2 bxg H

e

j

+ cosx + 2 sin

2x

2

IJ K

= arcsin 2 x + arccos 2 x - 5 2 4 . 2.

5. (МГУ, геол. ф-т, 92) Найдите все тройки чисел (x, y, z), удовлетворяющие уравнению

x2 - 2x sin y + 1 + yz - 2z2 - 64 =
41 - yz cos 2 y + cos z

x - 2x + 2 = 2 4 2x - 1 - x .

2

11 11 4 4 6. sin x + cos x sin x + cos x = 1 .

d

bg =b

id

gd b g

i

b gi

2

.