Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/03/47.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:35 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:58 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: закон вина

ПРАКТИКУ АБИТУРИЕНТА ПРАКТИКУММ АБИТУРИЕНТА

47

Уравнения, которые 'не решаются'
А.ЯРСКИЙ

Пример 3. Решите уравнение
(sin 2 x - 2 sin x + 1) Ч
4 4 Ч (sin x + cos x) = 1 4 .

Н

нений по принципу 'решается не решается' принадлежит абитуриентам. 'Нерешающимися' были названы ими уравнения (неравенства, системы), для решения которых недостаточно упрощающих запись тождественных преобразований, нужно предложить какие-то оригинальные идеи. Однако при внимательном рассмотрении выясняется, что 'нерешающиеся' уравнения решаются по существу единообразно, а 'оригинальные идеи' сводятся к одному изучить поведение встречающихся функций. Как известно, исследование функции уместно начинать с отыскания ее области определения. Иногда одного этого достаточно для решения задачи. Пример 1 (МГУ, химфак, 83). Решите неравенство

ЕНАУЧНАЯ классификация урав-

имеет хотя бы одно целочисленное решение. Решение. В левой части уравнения первое слагаемое неотрицательно. Если и второе слагаемое окажется неотрицательным, то равенство будет достигаться лишь при одновременном обращении слагаемых в нуль. Преобразуем знаменатель стоящего под логарифмом выражения:

Решение. Исследуем область значений первого множителя. Положив sin x = у, запишем этот множитель в 2 виде f(y) = y y 2 + 1. Графиком f(y) является парабола с направленными вверх ветвями. И так как у = 2 2 координата вершины параболы, то f(y) f ( 2 2) = 1/2. Преобразуем второй сомножитель:

2(p - ) x + 2 - x2 - 4 x + 2 p =
= 2 + p2 + 4 - ( x + 2 - ( p - ))2 2 + p2 + 4 . Следовательно, стоящее под знаком логарифма выражение не меньше единицы и сам логарифм неотрицателен, догадка оказалась верной. Итак, уравнение равносильно системе

sin4 x + cos4 x = = (sin2 x + cos2 x) - 2sin2 x cos2 x = 1 2 = 1 - sin 2 x = 2 1 1 = 1 - (1 - cos4 x) = (3 + cos4 x) 1 2 . 4 4 Из полученных неравенств следует, что значение 1/4 левая часть уравнения может принять лишь тогда, когда оба сомножителя принимают свое минимальное значение 1/2. Последнее равносильно системе sinx = 2 2 , cos 4 x = -1 ,
при решении которой затруднений уже не возникает. Ответ: 4 + 2 n , 3 4 + 2 k , n,k Z . Решение следующей задачи вновь основано на тщательном исследовании областей значений фигурирующих в системе переменных. Пример 4 (МГУ, химфак, 78). Найдите удовлетворяющие условию z 0 решения системы

FH

x2 - 4 x + 3 + 1 log5 x - 1 +
1 + x

FH

IK b

g

8x - 2 x - 6 +

2

1I K

0.

Решение. Найдем область определения неравенства:

Остается 'техническая' часть решения. Полученная система распадается на две: x + 3(p - ) - 4 = 0,

R(x | Sx | T

+ 3 p - 3 - 4)( x + + p - 2 + 2) = 0, + 2 - (p - ) = 0.

x - 4 x + 3 0 , 8x - 2x - 6 0 , x > 0 .
2 2

Сравнив первое и второе неравенства, получим x2 - 4 x + 3 = 0 , откуда либо х = 0, либо х = 3. При х = 1 исходное неравенство выполнено. При х = 3 левая часть неравенства, равная log5 3 2/3, положительна, так как log5 27 > 2. Тем самым х = 3 не удовлетворяет неравенству. Ответ: 1. В следующей задаче ключом к решению является анализ областей значений входящих в уравнение функций. Пример 2 (МГУ, ВМК, 89). Найдите все значения р, при которых уравнение

В первой системе, прибавив к первому ее уравнению утроенное второе, придем к уравнению х + 3|x + 2| = 4. Это уравнение имеет единственное целочисленное решение х = 5. Подставив его в систему, получим р = + 3. Сложив уравнения второй системы, придем к соотношению
x+2 + x+ = -2.

R | S | T R | S | T

x + 2 - ( p - ) = 0,
x + + p - 2 + 2 = 0, x + 2 - ( p - ) = 0.

Ry | |b2 S |x | T

+2= 3-x ; z - y y + 2 = 9 + 4 y; + y 2 = 4 x.

2

b gb

g g

2

Решение. Третье уравнение системы можно переписать в виде

b

x-2

g

2

+ z2 = 4 .

(x + 3p - 3 - 4)( x + + p - 2 + 2) +
+log

F GG 2b H

p x + 2 x 4 x + 2p

g

2 + p2 + 4
2

I JJ K

=0

Это уравнение выполнено при всех x - , - 2 . И так как по условию х целое число, то х = 3 или х = 2. Поочередно подставив эти значения в систему, получим равенства р = + 1 или р = . Ответ: ; + 1; + 3. Необходимость анализа множества значений функции нередко возникает при решении тригонометрических уравнений.

Из полученного соотношения следует, что z 2 . И так как по условию z 0 , то 0 z 2 . Выразим z из второго уравнения системы y -2 :

b

g

z=

1 y+3 . 2 y+2

b

g

2

Решив систему неравенств

y+3 4, y+2 получим у = 3 или у = 1. Остается по найденным значениям у вычислить z и, 0z20

b

g

2