Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/03/35.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:34 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:43 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п р п р п р п р п

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

35

Если положить l1 > l2 , то получаем неравенство

запишем

1 < < 2 .
Таким образом, частота колебаний маятника с двумя грузами, расположенными на расстояниях l1 и l2 от оси вращения, меньше большей и больше меньшей из собственных частот колебаний двух независимых математических маятников с длинами нитей l1 и l2 соответственно. Исследуем теперь более детально выражение для . Предположим, что один из грузов, например груз с массой m1 , расположен на фиксированном расстоянии l1 от оси вращения маятника, а расстояние l2 второго груза с массой m2 меняется. Найдем отношение частоты колебаний нашего маятника к частоте колебаний математического маятника с длиной нити l1 :
= y= 1 l1 m1l1 + m2l2
2 2 ml1 + m2l2 1

y=

az = z2 - 2 z + a + 1 =

a = a +1 -2 z+ z
2

F GH

z-

a +1 z

I JK

a + 2 a +1 -1 .
Рис. 2

e

j

b

g

Отсюда видно, что функция у(z) изменяется немонотонно: с ростом z (начиная с z = 1) функция сначала растет, достигает максимума при z = a + 1 (это следует из условия обращения в ноль первого слагаемого в знаменателе), после чего монотонно убывает. Максимальное значение при этом равно a =1 ymax = a +1 -1 . 2 a +1 -1 2

e

j

e

j

в области x > 1, т.е. при l1 < l2 получаем < 1 . Отметим, что чем больше параметр а, тем выше максимум. Нетрудно обобщить полученные результаты на случай n тел с массами m1 , m2 , ..., mn , закрепленных на невесомом стержне на расстояниях l1 , l2 , ... ..., ln соответственно от точки подвеса:

.

Возвращаясь снова к переменной х, находим значение х = x0 , при котором функция у(х) достигает максимума:
x = x0 = a +1 -1 = a

T = 2

2 2 2 1 ml1 + m2l2 + K + mnln 1 . g ml1 + m2l2 + K + mnln 1

Введем безразмерные переменные х = = l2 l1 и а = m2 m1 . Тогда
y= 1 + ax . 1 + ax2

Если массы всех грузов одинаковы, то

=

m1 m1 + m2 - m1 m2

b

g

T = 2
.

2 2 2 1 l1 + l2 + K + ln , g l1 + l2 + K + ln

Исследуем зависимость у от х, т.е. зависимость отношения частот 1 от отношения длин l2 l1 . Поступим следующим образом. Обозначим z = 1 + ax и

На рисунке 2 представлен график зависимости функции у = у(х). Видно, что у > 1 в области 0 < x < 1, т.е. при l1 > > l2 получаем > 1 . Наоборот, y < 1

т.е. период колебаний определяется только расстояниями, на которых располагаются грузики.

Еще один вечный двигатель?
А.СТАСЕНКО
Первые проекты механического вечного двигателя относятся к 13 веку (Виллар де Оннекур, 1245, Пьер де Марикур, 1269, Франция) ... С 1775 года Парижская Академия наук отказалась рассматривать проекты вечного двигателя. Физический энциклопедический словарь

П

рещено рассматривать, чтобы не тратить напрасно время. Но иногда полезно порассуждать и понять, действительно ли некую машину можно отнести к классу запретных 'вечных двигателей'.

РОЕКТЫ вечных двигателей зап-

Так вот, один вдумчивый школьник слышал, что молекулы при столкновении со стенкой могут терять определенную часть импульса, а в предельных случаях отражаться абсолютно упруго (изменяя скорость нормального удара на обратную без изменения

модуля) или неупруго (полностью теряя эту скорость и 'соскальзывая' уже вдоль поверхности). И тут его осенило. Он решил приобрести пластинку, одна сторона которой отражает молекулы абсолютно упруго, а другая неупруго, и, вырезав из нее два одинаковых по площади диска, насадить их на стержень (конечно, невесомый), предварительно развернув на 180њ их плоскости относительно друг друга, а затем этот стержень укрепить на вертикальной оси, конечно, без трения. И он даже нарисовал это устройство (рис.1, вид сверху). На этом рисунке он обозначил и площадь дисков S, и среднюю тепловую скорость молекул газа v, и линейную (окружную) скорость дисков u в данное мгновение, а круглой стрелкой показал ожидаемое направление вращения всего устройства. При этом он принял, что левая поверхность верхнего диска отражает молекулы упруго, а правая неупруго.