Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/03/23.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:36 2012 Кодировка: Windows-1251

выражающие x, y, z через t, вида 3z - t t = b + c 2a2 . С другой стороны, можно показать, что
s= 22 1 2 t- a + b2 + c2 , 3 3

b

g

ЗАДАЧНИК
2 2

'КВАНТА'

23

лась замкнутой ( M2 n +1 = M1 ), то она получится замкнутой при любом выборе точки M1 . Заметим сразу, что формулировку задачи надо дополнить таким разъяснением. При некотором положении точки M1 (или, аналогично, Mk ) а именно, если OM1 немного больше 1, касательная прямая, проведенная к окружности из M1 (отличная от OM1 ) пересекает не луч OA2 , а прямую OA2 по другую сторону от О эту точку пересечения следует считать точкой M2 (и из нее проводить касательную к окружности, вписанной в угол AOA3 ); таким образом, ломаная 2 M1M2 M3 ... может получиться не только невыпуклой, но и самопересекающейся. (Строго говоря, возможен еще случай, когда касательная, проведенная из M1 , параллельна OA2 тогда M2 следует считать 'бесконечно удаленной' и следующую касательную проводить также параллельно OA2 .) Впрочем, если M1 выбрана на отрезке OA1 , т.е. OM1 < 1, то подобные оговорки не нужны. Идею решения задачи можно объяснить одной фразой. Оказывается, функции, выражающие OMk +1 через OMk , а также их композиция, выражаются простой формулой они дробно-линейные, причем удовлетворяют дополнительным условиям, так что при соблюдении условия задачи итоговая функция OM1 OM2 n +1 оказывается просто тождественной. Объясним это подробнее. Каждую прямую OAk мы рассматриваем как числовую ось с началом в точке О и единицей в соответствующей точке Ak . Обозначим координату точки Mk на оси OAk через xk ; в частности, пусть x1 = х, x2 = у. Пусть AkOAk +1 = 2 k , и в частности 1 = . Подсчитаем площадь треугольника OM1M2 (рис.2) по формуле S = pr, где р полупериметр, r = tg радиус вписанного круга. M2 Поскольку 2S = y = xy sin 2 , 2р = x + y + y +(x 1) + (y 1) A2 здесь используется раx венство касательных, A1 проведенных из одной O M1 x точки к окружности, получим: xy cos2 = х + Рис.2 +у 1. Нетрудно проверить, что такое соотношение выполнено не только при x > 1, y > 1, как на рисунке 2, или 0 < x < 1, но и при других значениях х, о которых шла речь вначале. Итак (при x cos2 1 )

d

i

и, подставив выражения x, y, z через t в одно из исходных уравнений, получить
s 2 = 3 4 a + b + c b + c - a a + b - c c + a - b . ( )

b

gb

gb

gb

g

(Теперь нетрудно видеть, что исходная система имеет решение x, y, z тогда и только тогда, когда a, b, c стороны треугольника, быть может, вырожденного ср. с задачей М1090.) Мы должны найти максимальное значение s2 как функции с. Поскольку правая часть ( ) квадратный трехчлен от c2 , решение можно завершить, в частности для а = 4 и b = 3 , алгебраически. Впрочем, из формулы ( ) видно, что s с точностью до коэффициента совпадает с выражением площади по 'формуле Герона', и возникает естественная геометрическая интерпретация, о которой шла речь выше. Из наших выкладок можно извлечь и значения x, y, z, при которых достигается максимум s:

b

x, y, z = + 7

ge

31 , 4

31 , 20

31 .

j

Отметим, в заключение, выражение для суммы расстояний t = AT + BT + CT от 'точки Торричелли' до вершин треугольника А, В, С, которое фигурировало как промежуточный результат:

2t2 = a2 + b2 + c2 +
+

3 a+b+c a+b-c b+c-a c+a-b .

b

gb

gb

gb

g

(Для треугольника с углами не больше 120њ точка Т замечательна тем, что именно для нее сумма расстояний до вершин наименьшая.) М.Волчкевич, В.Сендеров М1620*. Через точку О плоскости проведено n прямых, делящих плоскость на 2n углов. В каждый из них вписана окружность, касающаяся сторон на расстоянии 1 от точки О. Лучи занумерованы по порядку, начиная с луча OA1 ( рис. 1). Для произвольно выбранной на луче OA1 точки M1 строится ломаная M1M2 M3 ... M2 n M2 n +1 , вершина Mi которой лежит на OAi (i = 1, 2, ..., 2n), вершина M2 n +1 снова на OA1 , а звено Mi Mi +1 касается окружности, лежащей в угле AOAi +1 . Докажите а) для n = 3; б) для любого i n, что если для некоторой точки M1 ломаная оказаM M
2

y = f1 x =

bg

x -1 . x cos2 - 1

()

3

A

2

Аналогичный вид имеет и функция fk xk = xk +1 . ПолоM A
1 1 n+1

жим gk = fk o fk -1 o ... o f1 , т.е. g2

M2

O

Рис.1
6*

= 0 это = f3 g2 x и т.д. Заметим, что k k легко проверить с помощью () и аналогичных формул для других fk . Отсюда следует, что при четных k, в частности при k = 2n, gk 0 = 0 и gk 1 = 1 (при нечетных k, наоборот, gk 0 = 1, gk 0 = 0). Далее, как нетрудно проверить, композиция (последовательное применение) двух, а значит и нескольких,

c b gh

bg bxg = f cf bxgh f b0g = 1, f bg 1
2 1

, g3 =

bg

bg

bg

bg