Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/03/11.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:32 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:25 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 11

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

МИР

11
Лемма Урысона. Пусть А и В два замкнутых непересекающихся подмножества нормального пространства Х. Тогда существует непрерывная функция f, определенная на всем Х, принимающая значение нуль на А, единица на В и удовлетворяющая неравенству 0 f x 1 для любого х. Наметим доказательство этой леммы. Пусть U1 дополнительное к В множество. Оно открыто и содержит А. Из определения нормальности вытекает, что для всякой пары (F, G), где F замкнутое множество в Х, а G содержащее F открытое множество, существует открытое множество V, содержащее F и содержащееся в G вместе со своим замыканием. Применяя это рассуждение к паре (А, U1 ), найдем открытое множество U0 , для которого A U0 U0 U1 . Далее находим открытое множество U1 2 , которое содержит U0 и с замыканием содержится в U1 . Затем построим два открытых множества U1 4 и U относительно пар U , U 0 12 34

пространством, если пересечение конечного числа и объединение любого числа множеств из принадлежит системе , все множество Х и пустое множество также принадлежат . Множества из называют открытыми; множества из , содержащие некоторую точку, называются окрестностями этой точки. Далее всегда топологическое пространство будем предполагать хаусдорфовым, когда любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Множество, являющееся дополнением к открытому множеству, называется замкнутым. Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих данное множество А, называется замыканием А и обозначается A . (Первая аксиоматика топологического пространства, данная Куратовским в 1922 году, исходила именно из понятия замыкания.) Внутренность множества А это наибольшее открытое множество, содержащееся в А, граница множества это разность между замыканием и внутренностью. Отображение f: X Y одного топологического пространства в другое непрерывно, если прообраз любого открытого в Y множества открыт в Х. Всякое подмножество А топологического пространства Х может рассматриваться как топологическое пространство, в котором открытые множества это пересечения открытых в Х множеств с А. Понятие топологического пространства выкристаллизовалось не сразу, на это ушли многие десятилетия. В его окончательном формировании приняли участие (среди многих других) немецкий математик Ф.Хаусдорф, французский математик М.Фреше и польский математик К.Куратовский. А именно в той форме, которая была приведена нами, понятие топологического пространства было сформулировано другом Павла Самуиловича Урысона П.С.Александровым в 1925 году.

Во времена, предшествовавшие рождению топологии, основным объектом, в котором изучали свойства непрерывности, были метрические пространства. Что это такое? Пусть снова Х некоторое множество, и имеется определенная на нем функция расстояния, которая каждой паре (х, у) точек из Х ставит в соответствие число d(x, y) (расстоя3

ние между х и у), удовлетворяющее трем свойствам: а) d(x, x) = 0 и d(x, y) > 0, если x y ; b) d(x, y) = = d(y, x) и, наконец, с) d(x, z) d(x, y) + d(у, z). (Последнюю аксиому называют аксиомой треугольника.) Пару (Х, d) с описанными свойствами и называют метрическим пространством. Каждое метрическое пространство является топологическим пространством. Открытые множества в метрическом пространстве Х определяются как объединения открытых шаров вида B x , r = y Yd x, y < r . Например, на числовой прямой 4 с метрикой d(x, y)= |x y| открытые множества это объединения открытых интервалов. И сразу же возник один из центральных вопросов общей топологии: когда топологическое пространство можно метризовать, т.е. ввести на нем метрику, задающую ту же топологию, что изначальная? Урысону принадлежит основополагающий результат в этой области, получивший название теоремы метризации Урысона. Для его формулировки надо дать два определения. Топологическое пространство называется нормальным, если для любой пары замкнутых непересекающихся множеств существуют два непересекающихся открытых множества, одно из которых содержит первое замкнутое множество, а другое второе. Говорят, что топологическое пространство имеет счетную базу, если имеется счетное семейство открытых множеств, объединяя которые можно получить любое открытое множество. Для метрического пространства наличие счетной базы равносильно сепарабельности, т.е. наличию в нем счетного множества, замыкание которого совпадает со всем пространством. Имеет место Метризационная теорема Урысона. Нормальное топологическое пространство со счетной базой метризуемо. Центральным местом в доказательстве этого результата является следующее утверждение, известное как лемма Урысона, авторское доказательство которой производит большое эстетическое впечатление, а заложенный в него прием построения бесчисленное число раз в различных формах использовался в математических исследованиях.

bg

bg

o

bgt

и U1 2 , U1 . Продолжая далее этот процесс, построим семейство Ur , где r пробегает совокупность всех двоично-рациональных чисел (т.е. рациональных чисел, знаменатель которых степень двойки), расположенных между нулем и единицей. Остается положить f(x) равным нижней грани тех (двоично-рациональных) чисел r, при которых x Ur . Без труда доказывается, что построенная функция непрерывна и обладает всеми перечисленными свойствами.

e

j

e

j

mr

Но основным вкладом Урысона в математику явилось построение им теории размерности. В создании теории размерности основополагающую роль сыграли пять математиков. Это А.Пуанкаре, один из величайших ученых всех времен, голландский математик Л.Брауэр, упомянутый нами французский математик А.Лебег, австрийский математик К.Менгер и П.С.Урысон. Как придать точный смысл утверждению, что плоскость двумерна, а пространство трехмерно? У Пуанкаре есть цикл статей, написанных незадолго до его смерти. Одна из них называется 'Почему пространство имеет три измерения'. Пуанкаре писал там: 'Я попытаюсь обосновать определение числа измерений на по-

*