Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/06/33.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:54 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:23:13 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: столовая гора

!

!
$ ' &
Рис. 3

#
!

" #

%

!

"
Рис. 2

Рис. 1



= 729 5 bn +1 . Итак, порог это 4 число 10 . Достаточно проверить справедливость связанного с числом 153 замечательного факта для всех кратных трем чисел от 1 до 104 , и мы тем самым докажем его справедливость для всех остальных чисел данного семейства. Вот здесь-то как раз и может пригодиться компьютер! Рассмотрим другую замечательную последовательность. В качестве начального элемента выберем четырехзначное натуральное число, не все цифры которого равны между собой. Переход от данного элемента последовательности к следующему производится по такому правилу. Расположим десятичные цифры в записи данного числа в порядке убывания слева направо получим первое число. Расположим их в обратном порядке и вычтем это второе число из первого. Таким образом получаем следующий элемент последовательности. Как ведут себя члены такой последовательности? Следующая числовая последовательность: 11, 101, 1001, 10001, ..., 100...001, ... обладает загадками иного рода. Сразу можно заметить, что члены этой последовательности, содержащие четное число нулей, делятся на 11 (быстро убедиться в этом помогает известный признак делимости на 11: число делится на 11, если в десятичной записи этого числа сумма цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах). Элементы последовательности с нечетным количеством нулей также обнаруживают некоторые закономерности. Для всех n = 0, 1, 2, ... числа 101+ 2 n + 1 делятся на 11; 2+ 4 n числа 10 + 1 делятся на 101; 4+8n числа 10 + 1 делятся на 73; 8 +1 6 n числа 10 + 1 делятся на 17; ...

Открытым остается вопрос: всяk кое ли число вида 10 + 1 составное (здесь k натуральное)? Замечательные последовательности можно искать не только в мире чисел, но и в мире фигур. Пусть на плоскости задано некоторое множество точек, пронумерованных от 1 до n. Конфигурацию этих точек будем наращивать по следующему правилу. Начнем соединять отрезками точку 1 по порядку с другими точками, имеющими больший номер: с точкой 2, с точкой 3 и т.д. Затем ту же операцию произведем, отправляясь от точки 2, от точки 3 и т.д. (точка с меньшим номером всегда соединяется с точкой с большим номером). Каждый раз, когда на пересечении отрезков образуется одна новая точка, она получает следующий по порядку незанятый номер: n + 1, n + 2 и т.д. Если проводимый отрезок пересекает сразу несколько других отрезков нумерация вновь образованных точек производится в по-

рядке возрастания от точки с меньшим номером в сторону точки с большим номером. Легко заметить, что 3 точки на плоскости не порождают новых точек (рис.1), 4 точки могут породить одну-единственную пятую точку (рис.2). Чудеса начинаются, когда в исходной конфигурации участвуют 5 точек. Вообще говоря, 5 точек это 'критическая масса', с которой начинается 'цепная реакция': необузданный рост новых точек (рисунок 3 конфигурация после соединения точек 1, 2, 3, 4 с другими точками). Однако существуют такие исходные конфигурации, когда рост новых точек производится 'равномерно' (на рисунке 4 показана конфигурация после соединения точек 1, 2, ..., 13 с другими точками). Существует ли исходная конфигурация из 6 и большего количества точек, обладающая этим же свойством? А.Жуков
!

%

$ "

! '

&



Рис. 4

"

#