Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/06/13.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:52 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:28 2012 Кодировка: Windows-1251

УМ

ХОРОШО,

А

ПЯТЬ



ЛУЧШЕ

13

и p(n) устремятся к р. Кроме того, выражение a b k ограничено сверху и снизу некоторыми фиксированными числами, поэтому предел отношения a - b - k N устремится к нулю. Следовательно, предельный вид главного уравнения таков:

c

h

1 p+1



После раскрытия скобок и избавления от знаменателей получается уравнение
p - pk - 1 = 0 ,
2

F GH

p +1 + k = 1 + 0. p

I JK

из которого

2 в полном соответствии с предположением. Гора с плеч! Конечно, наши рассуждения грешат кое-какими недочетами. В частности, прежде чем переходить к пределу в главном уравнении, следовало бы доказать само существование предела. Но в целом результат следует признать удовлетворительным. И получили мы его, в основном, благодаря компьютеру, ибо не зная броду, куда бы мы сунулись? А подгонять решение под известный ответ милое дело (в чем с нами согласится любой троечник). Хвала 'Пентиуму'! Вторая задача также связана с последовательностями. Читатель, видимо, неоднократно сталкивался с задачами типа: 'Возьмем последовательность натуральных чисел и n раз вычеркнем из нее все числа, стоящие на четных местах. Что получится?' На этот вопрос ответить несложно, как и на подобные вопросы об аналогичных последовательностях (в которых, скажем, вычеркиваются числа, стоящие на нечетных местах, либо попеременно на четных и нечетных и т.п.). Как-то, развлекаясь с подобными экспонатами, автор неожиданно наткнулся на изрядных размеров подводный камень, который сам же, в общем-то, и породил. А именно: возьмем все ту же последовательность натуральных чисел и вычеркнем из нее все числа, стоящие на местах, номера которых делятся на 2 (т.е., другими словами, все четные числа). В получившейся последовательности вычеркнем все числа, стоящие на местах, номера которых делятся на 3. Затем вычеркиваем все числа, стоящие на местах, номера
4 Квант ? 6

p=

k+ k +4

2

которых делятся на 4. Ну, и так далее до бесконечности. Что за последовательность an получится? Во-первых, обратим внимание, что какая-то бесконечная последовательность, действительно, получится. В самом деле, после того, как вычеркнуты все числа, номера которых делятся на n, первые n членов образовавшейся последовательности дальнейшим изменениям не подвергнутся, ибо после этого будут вычеркиваться какие-то числа, порядковые номера которых строго больше n. Таким образом, чтобы получить, например, первую сотню членов нашей последовательности an , придется проделать указанную операцию 99 раз (вычеркивая последовательно каждое второе, третье, ..., сотое число). Вручную проделать нечто подобное даже для не очень больших n дело немыслимое. Но позвольте, а 'Пентиум' на что? Запряжем-ка его покрепче! Вот и результат: образуется странная последовательность, начинающаяся числами: 1, 3, 7, 13, 19, 27, 39, 49, 63, 79, 91, 109, 133, 147, ... Ничего вразумительного о ней сказать нельзя, кроме того, что она возрастает. К нашей радости, компьютер с хорошим программным обеспечением способен помимо вычислений также и строить графики, чем мы не преминем воспользоваться. На рисунке 1 показан график зависимости an от n. Хотя зависимость, как видно, явно неравномерная, но в целом возрастание an весьма регулярное, причем наверняка не линейное, а более быстрое. Какое же? Здесь пришлось к пяти умам компьютера подключить человеческий и заняться эвристикой, т.е. нестрогими рассуждениями общего характера. Допустим, мы взяли не бесконечную последовательность, а лишь an первых натуральных чисел и вычеркнули из них каждое второе. Оста-

mr

mr

нется примерно половина, т.е. 1/2. Из них вычеркиваем каждое третье. Останется примерно 2/3 остатка. Вычеркнув затем каждое четвертое, оставим примерно 3/4 предыдущего остатка и так далее. Проделав такую операцию n раз, мы дальше, как уже отмечалось, вычеркнуть ничего не сможем, потому что останется как раз n чисел: a1 , a2 , ..., an . С другой стороны, доля оставшихся чисел (их количество по отношению к количеству исходных) близка к 1 2 2 3 3 4 K n - 1 n = 1 n. Но если n чисел составляют 1/n их исходного количества, то первоначально чисел было n2 . Итак, есть основания робко предположить, что an должно быть близко к n2 . Как бы это проверить? Безусловно, с помощью того же компьютера: если он построил график зависимости an от n, то кто ему мешает построить график зависимости an от n? Что из этого получилось, читатель может лицезреть на рисунке 2. Впечатляет? Еще бы! Теперь можно уже не робко, а вполне уверенно предполагать, что an с ростом n асимптотически 2 приближается к kn . Что ж, дело за малым найти k. Сначала, конечно, вычислим его с возможно большей точностью. Запускаем программу... Готово! Получаем k = 0,785398... Господи, что же это? Проницательный читатель уже догадался, а остальные пусть умножат на 4. О ужас получается ! Это почище золотого сечения! Такой результат способен свалить с ног даже нормального человека, не говоря о любителе математики. Отдышавшись после нокдауна, пытаемся собрать мысли в кучу. Итак, k = 4 . Никуда не денешься придется, как и в предыдущей задаче, объяснить это значение задним числом. Но как? Вспомним наши рассуждения, позволившие предположить, что an близко к n2 . Почему

b g b g b g cb

gh

" !

=

n

# #

=n


Рис. 1


# # n
Рис. 2



#



#

n