Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/05/41.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:47 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:46 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: южная атлантическая аномалия

М А Т Е М А Т Е Ч Е С К И Й К КРУЖОК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ Р У Ж О К

41

Неожиданная поворотная гомотетия
А.СПИРОВ
Я считаю формальную строгость обязательной и думаю, что в конечном счете после большой (и обычно полезной для окончательного понимания) работы она может быть соединена (при изложении важных, т.е. по сути простых результатов) с полной простотой и естественностью. Единственное средство добиться осуществления этого требовать логической отчетливости даже там, где она пока обременительна. А.Н.Колмогоров

A. Но я не понимаю, как это обобщить: не проводить же мне биссектрису этого угла в общем случае! От нее никакой пользы нет!

+

Рис. 3

)

*

В

авторы пользовались тем, что все вершины наибольшего квадрата, который можно расположить в данном треугольнике ABC, должны лежать на сторонах этого треугольника. Но так ли уж это очевидно? Задумавшись над этим вопросом, мы вспомнили такую задачу: Задача 1. Впишите в треугольник ABC наибольший возможный треугольник, подобный данному треугольнику XYZ (рис. 1). C

СТАТЬЕ'Покрытия полосками'

которого лежат на AB, а две другие на двух других сторонах (рис. 2).

+

)
Рис. 2

*

Y A
Рис. 1

X Z

B

Ответ в этой задаче вполне бесхитростный: одна из сторон наибольшего вписанного треугольника должна лечь на сторону треугольника ABC. Намного интереснее решение. Оказывается, существует семейство вписанных в треугольник ABC треугольников, получающихся один из другого поворотной гомотетией. Об этом красивом и удивительном явлении, а также о некоторых свойствах вписанных друг в друга многоугольников рассказано ниже.

Как вписать в треугольник квадрат?
Начнем с классической задачи: Задача 2. Впишите в данный треугольник ABC квадрат, две вершины

Американский математик Пойа в книге 'Как решать задачу?' изложил решение этой задачи в форме диалога учителя с учеником: Учитель: Что неизвестно? Ученик: Квадрат. Что дано? Только треугольник, больше ничего. Что надо сделать? Четыре вершины квадрата должны лежать на сторонах треугольника: две из них на основании и по одной на боковых сторонах. Бывает ли такое? Конечно, да. Для всякого ли треугольника ABC такой квадрат можно построить? Нет. Например, угол A может быть тупым (рис. 3). А если углы A и B оба нетупые, квадрат обязательно существует? Наверно. Хотя точно я не знаю. Нельзя ли решить более простую задачу? Например, для прямого угла A? Конечно, это очень легко: вершина квадрата будет на биссектрисе угла

Если задача не получается, попытайтесь удовлетворить не все сразу, а только некоторые ее требования. Я могу нарисовать квадрат, две вершины которого лежат на AB. Сколько таких квадратов? Бесконечно много. Среди них есть совсем маленькие, есть побольше. Мне кажется, если взять такой маленький квадратик и начать его потихоньку увеличивать, то он упрется в стороны треугольника. Может быть, искомый квадрат это самый большой из квадратов с основаниями на AB, помещающийся в треугольнике? Вы правы, но пока не знаете, как это доказывается. Не будем слишком увлекаться. Напоминаю: требовалось построить квадрат циркулем и линейкой! Лучше подумайте, нельзя ли сделать чуть больше, чем Вы только что сделали? Как построить квадрат с тремя вершинами на сторонах треугольника? Иными словами, как нарисовать квадрат в момент, когда он одной своей вершиной уперся в AC? Да. Я могу взять точку K на луче AC и опустить перпендикуляр KL на AB (рис.4). Квадрат KLMN по известной C

K

N

A
Рис. 4

L

M

B

стороне KL строится. Таких квадратов можно построить много. Иначе говоря, квадрат не определен однозначно той частью условий, которую мы сохранили. Как он может меняться? Не знаю. Три вершины квадрата лежат на сторонах треугольника, а четвертая