Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/05/15.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:46 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:22 2012 Кодировка: Windows-1251

ТАМЭСИ-ВАРИ

15
Приложение 3 Определим зависимость величины отклонения x 0 центра доски, лежащей на двух опорах, от величины приложенной к ней внешней силы F, распределенной вдоль центральных волокон и направленной вниз. Массой доски будем пренебрегать. Вследствие предполагаемой симметрии, сила F распределится между опорами поровну. Рассечем мысленно доску на две части, проведя нормальное сечение через центр доски (см. рис.2), и рассмотрим условие равновесия левой половины доски. Справа на нее будет действовать внешняя сила F/2, сосредоточенная вблизи ее края и направленная вниз. Эта сила компенсируется силой реакции левой опоры. Сумма моментов обеих сил относительно центра доски будет, очевидно, определяться только моментом силы со стороны левой опоры:
M= Fl 4

F, H 1500 1250 1000 750 500 250 0
Рис. 3

3,0 2,5 2,0

h = 6,0 см

02

46

8 10

тупающие за опоры, можно не учитывать. Массу кулака с учетом предплечья можно положить равной 1 кг. На рисунке 3 показана зависимость силы F от начальной скорости v при различных значениях толщины доски h. Если сила и скорость таковы, что соответствующая точка лежит выше кривой для заданного h, то доска ломается. Теперь оценим толщину доски, которую может сломать человек. Примем реальную силу одной руки обычного человека равной F = 250 Н. Как видно из рисунка, продавить такой силой (показана пунктиром) даже достаточно тонкую доску толщиной 1,5 см при начальной скорости v = 0 обычному человеку невозможно. Для этого необходимо развить силу около 300 Н. Экспериментальное значение максимальной скорости удара кулаком оценивается как 10 м/с. Подставив в выражение для h значения v = = 10 м/с и F = 250 Н, находим толщину доски: h = 6 см. Эта величина достаточно большая и доступная, по-видимому, только для тренированных людей, обладающих высокой техникой удара и психологически подготовленных. Однако любопытный читатель может попытаться разбить доску толщиной 2 см, поскольку требуемые значения силы и скорости доступны для среднего человека. При этом важно следовать известному психологическому 'секрету' каратэ не сомневаться в себе.
Приложение 1 Определим напряжение на поверхности доски. Проведем (см. рис.2) симметричные сечения доски АВ и AB , нормаль ные к линии СС и находящиеся на малом расстоянии l 0 друг от друга вдоль этой линии. Рассмотрим элемент AA B B . Ввиду его малости, можно считать, что кривые AA , NN , BB есть дуги окружностей с центрами, лежащими на так называемой оси изгиба O , перпендикулярной к плоскости рисунка. Наружная поверх4*

ность доски между точками А и A при изгибе растянута, а внутренняя поверхность между точками В и B сжата. Длины кривых AA и BB в отсутствие изгиба одинаковы и равны длине l 0 центральной кривой NN , не меняющей своей длины при изгибе доски. Пусть R радиус кривизны линии NN , тогда l 0 = = R , где центральный угол, опирающийся на дугу NN . Если доска не слишком толстая, т.е. h ? R , длина кривой AA будет l 1 = R + h 2 , а ее удлинение из-за изгиба составит l = l 1 l 0 = = h 2 . Следовательно, напряжение, действующие вдоль наружной поверхности доски, согласно закону Гука, есть

b

g

=E

l l
0

=

Eh 2R

.

Приложение 2 Найдем радиус кривизны поверхности доски в ее середине (у = 0) при изгибе. Заметим, что если R есть радиус кривизны какой-либо кривой в данной точке, то проходящая через эту точку окружность радиусом R, центр которой лежит на нормали к кривой в этой точке, совпадает (по определению радиуса кривизны) с кривой в малой окрестности этой точки. Из формулы для х(у) при y l ? 1 имеем
x y = x0 -

.

bg

x

0

2

FG IJ HlK

2

y

2

(здесь использована известная приближенная формула cos = 1 2 для | | ?1). Искомая окружность радиусом R с центром в точке O (см. рис.2), проходящая через точку с координатами x0 , 0 , о которой говорилось также в Приложении 1, описывается уравнением

d

i

С другой стороны, этот момент уравновешивается моментом сил растяжения и сжатия, действующих в проведенном нормальном сечении на левую часть доски со стороны правой части. Значение этого момента сил можно получить из формулы для , модифицировав ее для вычисления напряжения в объеме доски вдоль оси Y. Как следует из вывода этой формулы (см. Приложение 1), для этого достаточно вместо отклонения h/2 от линии NN , соответствующего точке на внешней поверхности доски, ввести расстояние от этой линии ( -h 2 < < h 2 ). Тогда для напряжения в объеме доски получим
= E R

.

y + x - x0 + R

2

d

i

2

=R ,

2

Искомый момент упругих сил растяжения и сжатия относительно центра доски будет равен
h2

которое легко решить относительно смещения х(у):
x y = x0 - R + R 1 -

bg

FG y IJ H RK

M=

2

.

-h 2

z

d d =

E R

h2

d

-h 2

z
3

d =

2

Eh d 12 R

3

.

Пользуясь известной приближенной формулой 1 - 1 2 при | | ? 1, находим при |y/R| ?1
x y = x0 -

Подставив сюда значения радиуса кривизны R и приравняв правые части двух выражений для М, находим связь между силой F и смещением x 0 :
x0 = 3 Fl
2 3

bg

y

2

2R

.

Eh d

.

Сравнивая два выражения для х(у), получаем значение для радиуса кривизны:
R=

Это равенство можно переписать в виде F = kx 0 , откуда следует искомое выражение для коэффициента жесткости k эквивалентной пружины:
k= Eh d 3l
3 2 3

FG l IJ H K

2

1 . x0

.