Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/61.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:43 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:17:04 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: mare

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

61

2. Нужно сделать пять переливаний. Указание. С помощью уравнения теплового баланса находим, что разность температур после первого переливания туда-обратно составит 6 њС, после второго 3,6 њС, после третьего 2,16 њС, после четвертого 1,296 њС, после пятого 0,7776 њС. Значит, достаточно пяти переливаний. 9 КЛАСС 1. После удара верхнего бруска о стену его скорость изменится на противоположную по направлению, сохранив свой модуль, а скорость нижнего бруска не изменится. Затем бруски начнут двигаться навстречу друг другу с одинаковыми по модулю начальными скоростями и равными по модулю, но противоположно направленными ускорениями. Из-за этого скорости брусков будут уменьшаться, все время оставаясь равными друг другу. В результате нижний брусок либо не достигнет стены, либо все же ударится о нее, имея некоторую скорость u. В первом случае оба бруска останутся стоять неподвижно на некотором расстоянии от стены. Во втором случае нижний брусок, ударившись о стену, поменяет направление своей скорости на противоположное, в результате чего проскальзывание между брусками прекратится и оба бруска продолжат движение со скоростью, равной u, в направлении от стены. Рассмотрим отдельно оба случая. Поместим начало координатной оси Х в угол между стеной и полом и направим ее в сторону первоначального движения брусков. Ясно, что после первого удара сила трения между брусками составляет Fтр = чMg , ускорение нижнего и верхнего брусков по модулю равно Fтр M = чg . Тогда закон движения передней грани нижнего бруска имеет вид

Теперь можно найти скорость, которую будут иметь оба бруска после взаимодействия со стеной:
2 u = v0 - чgt2 = v0 - 2aчg .

Это второй ответ задачи. 2. Автобус, велосипедист и грузовик в каждый момент времени образуют равнобедренный треугольник, основание которого лежит на дороге, по которой едут автобус и велосипедист (рис.10). Направим ось Х вдоль этой дороги в направлении

A

v

A

B

v

B

X vA+v Г
Рис. 10
B

Y

v

Гy

v

Г

движения автобуса и велосипедиста, а ось Y перпендикулярно к ней. Тогда законы движения для автобуса, велосипедиста и грузовика будут иметь вид
xA t = x x
B

bg t bg

A0

+ vAt , y A t = 0 , + vBt , yB

=x

B0

bg t bg

= 0,
Г0

xГ t =

bg

x

A0

чgt , 2 а его скорость изменяется по закону x = -a + v0t -
2

+ xB 0 vA + vB + t , yГ t = y 2 2

bg

+ vГyt .

Из условия задачи нам известен модуль скорости грузовика, который связан с проекциями скорости формулой
2 vГ =

v = v0 - чgt ,

FG H

vA + vB 2

IJ + dv i K
2 Гy

2

,

при этом время отсчитывается от момента удара верхнего бруска о стену. Найдем условие на скорость v0 , при которой нижний брусок не доедет до стены (не достигнет координаты х = 0). Оно получается из неравенства

откуда находим проекцию скорости грузовика на ось Y:
vГy =
2 vГ -

чgt < 0. 2 Решая его, находим, что дискриминант квадратного трехчлена, содержащегося в неравенстве, отрицателен при x = -a + v0t -
2 2 v0 < 2a чg .

FG H

vA + vB 2

IJ K

2

.

Теперь найти скорость грузовика относительно автобуса не составляет труда. По теореме Пифагора, примененной к треугольнику скоростей, имеем
2 vотн = vA -

Это и есть искомое условие. Время, через которое нижний брусок остановится, можно определить, приравняв скорость v нулю: v t1 = 0 . чg Значит, при v < 2aчg оба бруска в конце концов остановятся. Это первый ответ задачи. 2 Пусть теперь v0 2aчg . Из закона движения нижнего бруска найдем, через какое время t 2 он стукнется о стену:
2 0

откуда

FG H

vA + vB 2

IJ + dv i K
2 Гy

2

,

2 vотн = vГ - vAvB = 25 км/ч.

10 КЛАСС 1. В условии сказано, что коробка легкая. Значит, ее массой можно пренебречь. Поскольку давления воздуха внутри и вне коробки все время одинаковы, легко показать, что всплывающая коробка никогда не упрется в крышку цилиндра. Заметим, что если учесть массу коробки, то результат будет зависеть от плотности материала м , из которого она изготовлена. Если м < , то коробка в конце концов всплывет и упрется в крышку цилиндра, а если м > , то она утонет. 2. Докажем, что если шарик поворачивает на угол < 180њ за два удара, то при заданной начальной скорости его конечная скорость будет максимальной в том случае, если при каждом ударе он поворачивал на угол 2 . Пусть до первого удара первый шарик двигался со скоростью

t2 =

v0 + чg

2 v0 - 2aчg = t1 + чg

2 v0 - 2aчg . чg

Для того чтобы нижний брусок стукнулся о стену, нужно, чтобы выполнялось условие t 2 < t1 (иначе брусок остановится раньше, чем доедет до стены). Поэтому остается только результат со знаком 'минус' перед корнем:
t2 = v0 - чg
2 v0 - 2aчg . чg