Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/43.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:42 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:45 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: ннп

МАТЕМАТЕЧЕСКИЙ УЖОК МАТЕМАТИЧЕСКИЙК Р КРУЖОК

73

Диагональноперпендикулярное отображение четырехугольников
А.ЗАСЛАВСКИЙ

П

ОВОДОМ к написанию этой заметки послужила задача М1154 из 'Задачника Кванта': докажите, что если четырехугольник является вписанным в окружность и описанным вокруг другой окружности, то прямая, соединяющая центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника. Эту задачу можно решать разными способами. В частности, одно из решений приводится в 'Кванте' (?8 за 1989 год). Нашей же целью будет формулировка и доказательство более общего утверждения, в котором будет рассматриваться произвольный четырехугольник. Основным инструментом для нас будет диагонально-перпендикулярное отображение, которое мы определим следующим образом: Определение. Возьмем произвольный четырехугольник ABCD и из точки О пересечения его диагоналей опустим перпендикуляры OK, OL, OM, ON на его стороны. Четырехугольник KLMN будем называть образом четырехугольника ABCD при диагональноперпендикулярном отображении (рис.1).
Примечание 1. Строго говоря, наше определение не является вполне корректным, так как четырехугольник KLMN может оказаться вырожденным: три или даже все четыре его вершины могут лежать на одной прямой. Впрочем, для дальнейшего изложения это несущественно.

A

N K B
Рис. 1

O

D M

L

C

X

Исследуем свойства нашего отображения. Прежде всего выясним, можно ли восстановить четырехугольник ABCD по четырехугольнику KLMN. Продолжим на рисунке 1 стороны ВС и AD до их пересечения в точке Х.Очевидно, что BXA = BOA OBC OAD . Но четырехугольник OKBL вписанный, так как его противоположные углы прямые. Поэтому OBC = LKO . Аналогично, OAD = OKN , и значит, BXA = BOA LKN . С другой стороны, BOA = =( BOA + COD)/2 = ( OBC + + OCB + OAD + ODA )/2 = = ( OKL + OKN + OML + + OMN )/2 = ( LKN + LMN )/2. Таким образом, BXA = ( LMN LKN )/2, и следовательно, LON = = ( LMN LKN )/2. Аналогично, KOM = ( KNM )/2. Мы видим, что четырехугольник KLMN однозначно определяет точку О пересечения диагоналей четырехугольника ABCD (известны углы, под которыми видны из точки О диагонали четырехугольника). Нетрудно проверить также, что если соединить построенную таким образом точку О с вершинами KLMN и провести через них перпендикуляры к соответствующим отрезкам, то диагонали получившегося четырехугольника пересекутся в точке О (непосредственное вычисление дает BOD = COA = ). Следовательно, диагонально-перпендикулярный образ позволяет однозначно восстановить исходный четырехугольник. Продолжим изучение свойств диагонально-перпендикулярного отображения. Прежде всего докажем Утверждение 1. В четырехугольник KLMN можно вписать окружность тогда и только тогда, когда около четырехугольника ABCD можно описать окружность, причем центром окружности, вписанной в KLMN, является точка О пересечения диагоналей ABCD.

Доказательство. Если четырехугольник ABCD вписанный, то углы ОВС и OAD равны. Но OBC = OKL , OAD = OKN , т.е. OK биссектриса угла K четырехугольника KLMN. Аналогично, точно О лежит на биссектрисах остальных углов KLMN, и значит, совпадает с центром вписанной в него окружности. С другой стороны, если четырехугольник KLMN описанный, то соединив центр вписанной окружности с его вершинами и построив четырехугольник ABCD, получим, что углы ОВС и OAD равны, и точки A, B, C, D лежат на окружности. Утверждение 1 дает возможность обобщить понятие центра вписанной окружности на четырехугольник, не являющийся описанным: будем называть квазицентром вписанной окружности четырехугольника KLMN точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, являющегося диагонально-перпендикулярным прообразом KLMN. Попробуем теперь обобщить понятие центра описанной окружности. Для этого прежде всего сформулируем Утверждение 2. Четырехугольник KLMN является вписанным тогда и только тогда, когда диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны. Доказательство. Ранее было показано, что угол между диагоналями четырехугольника ABCD равен полусумме противоположных углов четырехугольника KLMN. Утверждение 2 является очевидным следствием этого. Выясним, где находится центр окружности, описанной около четырехугольника KLMN. Продолжим отрезки OK, OL, OM, ON за точку О до пересечения с противоположными сторонами четырехугольника ABCD в точках соответственно K , L , M , N . Докажите самостоятельно следующие утверждения (рис.2): Утверждение 3. KL M N прямоугольник, стороны которого параллельны диагоналям ABCD.

C K N L O M B

M

D L
Рис. 2

N

K A