Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:42 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:00 2012 Кодировка: Windows-1251

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

45
тановившиеся значения токов через катушки. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. В качестве отсчета времени выберем момент замыкания ключа K2 . Сразу после замыкания начальные токи в катушках равны I10 = I0 и I20 = 0 соответственно. Поскольку катушки соединены параллельно, для произвольного момента времени t, полагая, что токи в катушках текут в одном направлении, можно записать

мическую энергию носителей тока в виде энергии магнитного поля. При токе через катушку I и ее индуктивно2 сти L эта энергия равна LI 2 . Наиболее интересно ведет себя катушка индуктивности в те моменты, когда происходит изменение протекаемого через нее тока. Изменение тока приводит к изменению магнитного поля внутри катушки, что, в свою очередь, вызывает появление вихревого электрического поля. По правилу Ленца, в моменты нарастания тока напряженность вихревого электрического поля внутри витков катушки направлена против тока, а в моменты уменьшения тока вдоль тока. Работа, совершаемая вихревым электрическим полем по перемещению единичного положительного заряда вдоль всей обмотки катушки, численно равна ЭДС самоиндукции катушки. При постоянной индуктивности катушки ЭДС самоиндукции равна Es = dI = -L . dt Рассмотрим теперь несколько конкретных примеров поведения катушек индуктивности в электрической цепи. Задача 1. В схеме, изображенной на рисунке 1, переключатель П находится в положении '1' (цепь обесточена). Параметры схемы указаны на рисун1 E П R


2) Дальше будет происходить следующее. Поскольку в начальный момент ток в катушке равен нулю, но не равна нулю его производная dI/dt, ток в катушке будет нарастать, а ток во втором резисторе уменьшаться соответственно равенству LdI/dt = IR2 R2 . Будет идти переходной процесс. В стационарном состоянии производная dI/dt должна быть равна нулю, следовательно, должен быть равен нулю и ток через второй резистор. Ток в цепи будет теперь течь через первый резистор ( R1 ) и катушку и будет равен E . IL = R1 На рисунке 2 изображены графики зависимости токов IR2 и IL от времени в переходном процессе.

dI1 dI = L2 2 . dt dt Перепишем это равенство в виде L1 d dt

?

L1 I1 - L2 I2 = 0 ,

D

откуда следует

IR ,I

L

L1 I1 - L2 I2 = const . IL I
R

Рис. 2



t

Из начальных условий найдем, что константа эта равна L1 I0 , следовательно, для любого момента времени (после замыкания ключа K2 ) токи I1 и I2 в катушках связаны соотношением

23 R L

Рис. 1

3) После перевода переключателя в положение '3' в начальный момент в катушке течет ток IL = E R1 . Очевидно, что в дальнейшем будет происходить рассеяние (диссипация) энергии, запасенной в катушке. Эта энергия выделится на резисторах в виде тепла: 2 2 LIL LE . = Q1 + Q2 = 2 2 2 R1 Поскольку резисторы соединены параллельно, Q1 R = 2. Q2 R1 Из совместного решения последних двух уравнений получим
Q2 = LE . 2 R1 R1 + R2

L1 I1 - L2 I2 = L1 I0 .

(1)

После установления стационарного состояния катушки становятся пассивными элементами, ЭДС самоиндукции в каждой из них равна нулю. Обозначим установившиеся токи через I1y и I2y . На основании закона Ома для замкнутой цепи можно записать
E = I1y + I2 y R .

@

E

(2)

ке, внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало. 1) Определите начальные токи через второй резистор ( R2 ) и катушку индуктивности сразу после перевода переключателя в положение '2'. 2) Чему будут равны эти токи после установления стационарного состояния? 3) Какое количество теплоты выделится на втором резисторе при переводе переключателя из положения '2' в положение '3'? 1) За время замыкания (установление хорошего контакта), которое чрезвычайно мало, появляющийся ток в катушке вызовет ЭДС самоиндукции, которая будет препятствовать возникновению этого тока, поэтому ток в катушке будет равен нулю. С другой стороны, ничто не препятствует установлению тока, который будет протекать через источник и резисторы, при этом ток через резистор сопротивлением R2 будет равен E . IR = 2 R1 + R2

Соотношение (1) справедливо для любого момента времени t > 0, следовательно, оно справедливо и для момента установления стационарного состояния:
L1 I1y - L2 I2 y = L1 I0 .

(3)

Задача 2. В схеме на рисунке 3 ЭДС батареи E , сопротивление резистора R, индуктивности катушек L1 и L2 , оба ключа разомкнуты и цепь обесточена. Сначала замыкают ключ K1 , а через некоторое время, когда ток через резистор достигает значения I0 , замыкают ключ K2 . Определите усK E R
Рис. 3

>

2

C

Совместное решение уравнений (2) и (3) позволяет найти I1y и I2y :

I1y = I2 y =

LI0 + L2 E R 1 L1 + L2 L1 E R - I L1 + L2

,

?

0

D

.

L



L

K



Задача 3. На рисунке 4 изображена цепь, в которой в начальный момент ключ K разомкнут, а в замкнутом контуре схемы течет установившийся ток. Определите величину и направление тока через резистор (R) сразу после замыкания ключа. Параметры схемы: ЭДС первой батареи E1 = 10 В, внутренние сопротивления батарей r1 = 5 Ом и r2 = 20 Ом, сопротивление резистора R = 4 Ом.