Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/33.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:41 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:44 2012 Кодировка: Windows-1251

дроби p/q выполнено неравенство - p q > C pn , где С некоторая константа, зависящая только от . Одно из чисел, построенных Лиувиллем, имело следующий вид: = 1 1 1 + + ... = = 1! + 10 102! 103! = 0,11000100..., где значком n! обозначено произведение натуральных чисел от 1 до n: n! = 1 2 3 ... n. Для числа утверждения теоремы Лиувилля неверны: в самом деле, пусть
n = 1

тогда
-
n

10 <

1!

+

1

10

2!

+K +

1

. n! n +1 ! 10b g Значит, число не является алгебраическим. (Теорема Лиувилля оказалась одной из первых теорем в теории приближения иррациональных чисел рациональными (так называемой теории диофантовых приближений). Одним из высших результатов этой теоремы стала теорема Рота (1955), усиливающая теорему Лиувилля: если алгебраическое число, а любое наперед заданное положительное число (например, 0,0001), то неравенство p q < < 1 q 2 + имеет лишь конечное число решений. Таким образом, алгебраические числа приближаются рациональными значительно хуже, чем по теореме Лиувилля.) Пользуясь рецептом Лиувилля, трансцендентные числа стали обнаруживать и другие математики. Поначалу их было мало, и эти числа воспринимались как персонаж в известной басне И.А.Крылова: 'По улицам Слона водили, как видно напоказ...' И вдруг случилось нечто поразительное. В 1878 году немецкий математик Георг Кантор (1845 1918) доказал изумительный факт: каждому алгебраическому числу можно поставить в соответствие отдельное натуральное число (т.е. их можно как бы сосчитать), а вот трансцендентных чисел так много, что они даже в принципе такого подсчета не допускают. То их не могли найти, собирали по крупицам, то вдруг оказывается, что трансцендентных чисел несчетная рать! В 1873 году французский матема-

2

=2

FG 1 IJ H 10 K

10

n!

,

n +1

тик Шарль Эрмит (18221901) доказал трансцендентность замечательной константы е = 2,71828..., служащей основанием натуральных логарифмов и представляющей предел n 1 последовательности чисел 1 + , n когда n устремляется к бесконечности, а в 1882 году немецкий математик Карл Фердинанд Линдеман (18521939) доказал трансцендентность числа . Результат Линдемана поставил точку в многовековых потугах как профессиональных ученых, так и любителей математики решить задачу о квадратуре круга. Эта древняя задача о построении равновеликого данному кругу квадрата с помощью одних только циркуля и линейки без делений оказалась тесно связанной с алгебраической природой числа . К концу XIX столетия уже была доказана гипотеза Эйлера о трансцендентности чисел вида loga b почти для всех рациональных а и b, а Карл Вейерштрасс (18151897) обосновал трансцендентность чисел sin , cos почти для всех алгебраических . Выступая в 1900 году на II Всемирном конгрессе математиков, Давид Гильберт (18621943) сформу-

FG H

IJ K

лировал 23 знаменитые проблемы, которые девятнадцатый век оставлял в наследство двадцатому. Одна из этих проблем касалась доказательства трансцендентности чисел вида , где отличное от 0 и 1 алгебраическое число, а иррациональное алгебраическое число. Наш соотечественник Александр Осипович Гельфонд (19061968) разработал метод, который позволил ему решить проблему Гильберта для случая, когда является корнем квадратного трехчлена, а позже ему и немецкому математику Теодору Шнайдеру (род. 1911) удалось решить эту проблему полностью. Но вот о числе Эйлера С 0,57726..., представляющим собой предел последовательности 1 1 1 + + K + - ln n , при n стреn 2 мящемся к бесконечности, неизвестно даже, является ли оно иррациональным. К настоящему времени вычислено несколько тысяч десятичных знаков числа С, и никаких признаков периодичности не обнаружено. Однако еще никому не удалось доказать и иррациональность числа С. То же относится к числу + e и C . А.Жуков

R S T

U V W