Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:42 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:45 2012 Кодировка: Windows-1251

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

39
пирамиды. Докажите, что
1 + k 2 cos + k 2 - 1 h , = R k2

сферы есть точка пересечения высоты NH пирамиды и биссектрисы угла NKH ( NKH линейный угол двугранного угла при основании пирамиды). Введем дополнительно следующие обозначения: IH = r, NK = l, HK = m, HKN = и ANA2 = . Тогда 1 m r имеем: = cos , = cos (так l h-r как KL биссектриса угла треугольни r m = ), r = m tg , ка HKN, то h-r l 2 h = m tg , a = 2m tg , a = 2l tg . n 2 Пусть теперь NA1 A2 ... An правильная n-угольная пирамида, у которой центры О и I описанной и вписанной сфер совпадают. Тогда AL = AL = 1 2 = NL, как проекции равных наклонных IA1 , IA2 , IN. Значит, L центр окружности, описанной около треугольника NA1 A2 , и поэтому ANA2 = 1 1 = ALA2 (вписанный угол вдвое 1 2 меньше центрального, опирающегося на ту же дугу). Поскольку I центр вписанной сферы, то IH = IL. Значит, KH = KL и AHA2 = ALA2 (поворо1 1 том вокруг оси A1 A2 на угол эти углы совмещаются). Следовательно, ANA2 = . Тем самым доказано 1 n замечательное свойство пирамиды: Теорема 1. Если в правильной nугольной пирамиде центры описанной и вписанной сфер совпадают, то плоский угол при вершине пирамиды равен , т.е. сумма всех плоских углов при n вершине равна . Предлагаем читателю обратную теорему доказать самостоятельно. Форма правильной n-угольной пирамиды определяется заданием одного из ее угловых элементов. Например, если известен угол наклона бокового ребра к плоскости основания, то можно вычислить величину плоского угла при вершине пирамиды, или отношение высоты пирамиды к стороне основания и т.д. В таком случае говорят, что пирамида определена с точностью до подобия. Если задан один из углов и, кроме того, один линейный элемент пирамиды, то можно вычислить любые другие ее элементы. Например, если известны радиус R описанной сферы и угол , то его высоту найдем прямым счетом: b = 2 R sin , h = b sin , следовательно, h = 2R sin2 при любом n. Приведем примеры более трудных задач, в которых раскрываются свойства правильной n-угольной пирамиды. Задача 1.Боковое ребро правильной n-угольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом , двугранный угол при основании равен ,

плоский угол при вершине равен . Докажите, что
cos = sin , 2 sin n 1

e

j

cos =

tg n

1

tg

. 2

Решение. Пусть вания правильной ды, NH высота апофема (рис.3).

АВ сторона осноn-угольной пирамипирамиды, LK ее Тогда NAH = , 2 NKH = , ANB = и AHB = . n N

r k sin + cos - 1 = , R k2 где k = tg . n Решение. Применим способ введения вспомогательного угла. Пусть NAH = (см. рис.3). Тогда h = 2 R sin2 = 2R 1 - cos2 .
Воспользуемся результатом задачи 1: sin 2 cos = . sin n Получим sin2 2. h = 2R 1 - sin2 n Выполним несложные преобразования:

e

j



F GG GH

I JJ JK

B H
Рис. 3

2 sin2 sin2

K A

= 1 - cos , 2

= tg2 cos2 = n n n
=

tg2

M

Из прямоугольных треугольников ANH и ANK, имеющих общую гипотенузу AN = b, находим AH = b cos , AK = b sin . 2 А так как AK = AH sin , то cos = n 1 sin . = 2 sin n Аналогично найдем соотношение между углами и . Имеем:

n и выражение для h приводится к виду 1 + tg2 h = 2R 1 -
откуда

n

=

k2 , 1 + k2

F e1 GG H

+k

2

jb1

- cos
2

2k

g IJ JK

,

1 + k 2 cos + k2 - 1 h . = k k2
Для доказательства второго соотношения введем вспомогательные отрезки. Обозначим AB = 2a, NK = l, HK = m, NH = h. Из треугольников AMN и AKN находим: b2 = 2 Rh и b2 = a2 + l2 . Отсюда a2 + l2 . R= 2h Так как KI биссектриса треугольника HKN, то r m hm = , откуда r = . h-r l l+m Таким образом,
r 2h2 m = R l + m a2 + l

e

j

HK = l cos , AK = l tg , 2
где l = KN. А так как HK = NKctg то cos = =

tg . 2 tg n Прежде чем знакомиться с решением следующей задачи, предлагаем читателю самостоятельно решить ее для частного случая, полагая n = 3 или n = 4. Задача 2. Пусть r и R радиусы вписанной и описанной сфер правильной n-угольной пирамиды, h ее высота, плоский угол при вершине 1

, n

b

Из правой части полученного равенства исключим вспомогательные неиз-

ge

2

j

.