Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/21.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:41 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:26 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п

ПОКРЫТИЯ

ПОЛОСКАМИ

21
ствующей гранью, а не только с ее плоскостью.

O" O! O
Рис. 18

M

O

O
X O O O
Рис. 20

выпуклую ломаную OO1O2K On (рис. 18). Длина ее, как уже было сказано, не меньше 100/6. Поскольку направления всех векторов
OO1 , O1O2 , ..., On -1On заключены между


"

!

направлениями векторов OO и O 1






n -1

On ,

O

O


направление суммы OO1 + O1O2 + ... ... + On -1On = OOn тоже заключено между этими направлениями. Следовательно, OO1 , OO2 ,..., O 1
n-

O 1

n

наклонены к

вектору OOn под углами, не превосходящими 30њ. Поэтому длина OOn не меньше o (100/6) cos30 = 25 3 . Перенесем полосы параллельно так, чтобы концы отрезков [ OO1 ], [ O1O2 ], ..., [ On -1On ] лежали бы на краях перпендикулярных им полос (рис. 19). Обозначим через M пересечение перпендикуляров к отрезкам [ OO1 ] и [ On -1On ],

M

O O O O O


"

!

Рассмотрим любую точку X многоугольника MOO1O2 ... On . Если перпендикулярная отрезку [ OO1 ] полоса не покрывает точку X, то угол XO1O2 острый (рис. 20). Если точку X не покрывает и полоса, перпендикулярная отрезку [ O1O2 ], то угол XO2O3 острый. Продолжая в том же духе, мы поймем, что если точка X не покрыта ни одной из первых n 1 полос, то все углы XO1O2 , XO2O3 , ..., XOn -1On острые. Но тогда точка X как раз покрыта полосой, перпендикулярной отрезку On -1On ! Упражнение 18. Из точки, расположенной внутри выпуклого многоугольника, опустили перпендикуляры на стороны или их продолжения. Докажите, что хотя бы один из перпендикуляров попал именно на сторону, а не на ее продолжение. (Другими словами, полосы, построенные перпендикулярно сторонам выпуклого многоугольника, покрывают его.) Указание. Физик сделал бы из данного многоугольника колесо, поместив в интересующую его точку грузик, и позволил бы колесу перекатываться (рис. 21).

Замечание. Если вам все еще кажется, что утверждение задачи М1600 тривиально для 'очень большой' суммарной ширины полос, обдумайте стереометрический вариант: В пространстве даны: шар радиуса 1 и несколько 'слоев' 4 , сумма толщин которых равна 1000000. При любом ли расположении слоев можно каждый из них параллельно перенести так, чтобы они покрыли шар? Эта задача нерешенная проблема, даже если вместо 1000000 написать сколь угодно большое число. Более точная оценка После олимпиады было придумано простое решение задачи М1600. Позже выяснилось, что такое же решение опубликовал в 1984 году американский математик Грлмер. Рассмотрим систему полос и выпуклую фигуру F, граница которой состоит из кривой AB и отрезков BO, OA . На рисунке 22 полоса p паралr A

q O p
Рис. 22

B

Рис. 19

восставленных в точках O и On соответственно. Индукцией по числу полос легко доказать, что многоугольник MOO1O2 ... On полностью покрыт полосами. Поскольку величины углов MOOn и MOn O не меньше 90њ 30њ = 60њ, в треугольнике MOOn содержится правильный треугольник со стороной OOn , в который, в свою очередь, вписан круг радиусом OO = 25

Рис. 21

e

3

j e2 3 j

=

25 6

n

e2 3 j

=

> 1.

Замечание. Жюри не догадалось использовать индукцию для доказательства того, что многоугольник MOO1O2 ... On покрыт полосами. Предполагалось следующее рассуждение.
6 Квант ? 4

Математик сделает по сути то же самое, если рассмотрит кратчайшее из расстояний от данной точки до прямых, на которых лежат стороны данного многоугольника. Упражнение 19. Дан выпуклый многогранник и точка внутри него. Докажите, что хотя бы один из перпендикуляров, опущенных из этой точки на плоскости граней, пересекается с соответ-

лельна лучу OB, пересечение полосы q с углом AOB неограниченно, а полосы r ограничено. Пусть в данной системе полос нет полос типа r. Другими словами, проведя через вершину O угла прямые параллельно границам полос, потребуем, чтобы все проведенные прямые имели по лучу внутри или на границе угла AOB. Докажем, что если сумма ширин полос больше длины кривой AB, то F можно покрыть сдвигами этих полос. Для этого упорядочим направления полос по часовой стрелке и возьмем крайнее из них. Перенесем соответствующую полосу так, чтобы одна из ограничивающих ее прямых
4 Слоем мы называем здесь часть пространства, заключенную между двумя параллельными плоскостями.