Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/19.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:40 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:25 2012 Кодировка: Windows-1251

ПОКРЫТИЯ

ПОЛОСКАМИ

19

b a
Рис. 6



гично, правильный треугольник со стороной b лежит в полосе шириной 3 3 DB , т.е. DB 3 2 . Значит, b 2 2 b DB. Итак, a AD, b DC, откуда a + + b AD + DC = AC.
Упражнение 9. Дан треугольник, величина одного из углов которого равна 60њ. Разместите в нем равносторонний треугольник наибольшей возможной площади. Замечания. В решении задачи 1 использовано очевидное (и важное!) свойство: если некоторая фигура A является подмножеством фигуры B, то ширина A не может быть больше ширины B. Между прочим, ширина фигуры может совпадать с шириной ее собственной части. Иными словами, от некоторых фигур можно отрезать кусочек, не уменьшив при этом их ширину. Например, ширина прямоугольника a Ч b, где a< b, равна a. Такова же ширина содержащегося в нем квадрата со стороной a. (Ширина вписанного в этот квадрат круга тоже равна a.) Ширины треугольника CDE и четырехугольника ABED равны ширинам полос рисунка 8 (в решении задачи 1 мы использовали только то, что они не превосходят ширин этих полос). Следовательно, как ни режь правильный треугольник произвольной прямой на две части, сумма ширин частей будет равна ширине треугольника. Упражнение 10. Если треугольник не равносторонний, то его можно разрезать прямой на две части, сумма ширин которых больше ширины исходного треугольника. Упражнение 11. Из любого ли неравнобедренного треугольника можно вырезать равнобедренный треугольник той же ширины, что и исходный треугольник? Упражнение 12. а) Если круг разрезан прямой на две части, то сумма ширин этих частей равна ширине (диаметру) круга. б) Сумма диаметров любых двух кругов, расположенных без пересечения в некотором круге, не превосходит его диаметра. Упражнение 13. Квадрат разрезан на две части прямой, не параллельной его сторонам. Докажите, что сумма ширин частей больше ширины (стороны) квадрата.
Рис. 9

жены не пересекающие друг друга треугольники, можно провести такую прямую l (рис. 7), что один треугольник окажется по одну сторону от l, а другой по другую сторону (существование разделяющей прямой l доказано в Приложении). Прямая l разобьет треугольник ABC на две части треугольник и четырехугольник (который выродится в треугольник, если l пройдет через вершину ABC). Пусть, для определенности, AD BE.
C

Решение. Проведем разделяющую прямую. Она разрежет квадрат на треугольник и пятиугольник (рис. 10) или на две трапеции (рис. 11) 2 . Достроим эти фигуры до прямоугольных треугольников и поставим задачу:

D

b a

l E B

Рис. 10

A
Рис. 7

Проведем через точку D прямые параллельно сторонам AB и BC треугольника ABC. Получим две полосы (рис. 8), одна из которых содержит четырехугольник ABED, а другая треугольник CDE. Поскольку четырехугольник ACED расположен в полосе шириной AD 3 2 , для ширины a 3 2 правильного треугольника со стороной a выполняется неравенство 3 3 a AD , т.е. a AD. Анало2 2
C

Рис. 11

D E
Рис. 8
5*

A

B

Квадраты Задача 2. Внутри квадрата разместили два непересекающихся квадрата (рис.9). Докажите, что сумма их сторон не превосходит стороны квадрата.

Задача 3. В данный прямоугольный треугольник вписать квадрат с наибольшей возможной стороной. Решение задачи 3. Интуитивно 3 ясно , что все вершины наибольшего квадрата должны лежать на сторонах треугольника. Таким образом, надо рассмотреть два случая: 1) квадрат
2 Возможны еще случаи, когда разделяющая прямая проходит через вершину квадрата. Разберите их самостоятельно. 3 На самом деле это тема для отдельной заметки, которая будет опубликована позже.