Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/kv0498zaslavsky.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:39 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:37:35 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: релятивистское движение

МАТЕМАТЕЧЕСКИЙ УЖОК МАТЕМАТИЧЕСКИЙК Р КРУЖОК

73

Диагональноперпендикулярное отображение четырехугольников
А.ЗАСЛАВСКИЙ

П

ОВОДОМ к написанию этой заметки послужила задача М1154 из 'Задачника Кванта': докажите, что если четырехугольник является вписанным в окружность и описанным вокруг другой окружности, то прямая, соединяющая центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника. Эту задачу можно решать разными способами. В частности, одно из решений приводится в 'Кванте' (?8 за 1989 год). Нашей же целью будет формулировка и доказательство более общего утверждения, в котором будет рассматриваться произвольный четырехугольник. Основным инструментом для нас будет диагонально-перпендикулярное отображение, которое мы определим следующим образом: Определение. Возьмем произвольный четырехугольник ABCD и из точки О пересечения его диагоналей опустим перпендикуляры OK, OL, OM, ON на его стороны. Четырехугольник KLMN будем называть образом четырехугольника ABCD при диагональноперпендикулярном отображении (рис.1).
Примечание 1. Строго говоря, наше определение не является вполне корректным, так как четырехугольник KLMN может оказаться вырожденным: три или даже все четыре его вершины могут лежать на одной прямой. Впрочем, для дальнейшего изложения это несущественно.

A

N K B
Рис. 1

O

D M

L

C

X

Исследуем свойства нашего отображения. Прежде всего выясним, можно ли восстановить четырехугольник ABCD по четырехугольнику KLMN. Продолжим на рисунке 1 стороны ВС и AD до их пересечения в точке Х.Очевидно, что BXA = BOA OBC OAD . Но четырехугольник OKBL вписанный, так как его противоположные углы прямые. Поэтому OBC = LKO . Аналогично, OAD = OKN , и значит, BXA = BOA LKN . С другой стороны, BOA = =( BOA + COD)/2 = ( OBC + + OCB + OAD + ODA )/2 = = ( OKL + OKN + OML + + OMN )/2 = ( LKN + LMN )/2. Таким образом, BXA = ( LMN LKN )/2, и следовательно, LON = = ( LMN LKN )/2. Аналогично, KOM = ( KNM )/2. Мы видим, что четырехугольник KLMN однозначно определяет точку О пересечения диагоналей четырехугольника ABCD (известны углы, под которыми видны из точки О диагонали четырехугольника). Нетрудно проверить также, что если соединить построенную таким образом точку О с вершинами KLMN и провести через них перпендикуляры к соответствующим отрезкам, то диагонали получившегося четырехугольника пересекутся в точке О (непосредственное вычисление дает BOD = COA = ). Следовательно, диагонально-перпендикулярный образ позволяет однозначно восстановить исходный четырехугольник. Продолжим изучение свойств диагонально-перпендикулярного отображения. Прежде всего докажем Утверждение 1. В четырехугольник KLMN можно вписать окружность тогда и только тогда, когда около четырехугольника ABCD можно описать окружность, причем центром окружности, вписанной в KLMN, является точка О пересечения диагоналей ABCD.

Доказательство. Если четырехугольник ABCD вписанный, то углы ОВС и OAD равны. Но OBC = OKL , OAD = OKN , т.е. OK биссектриса угла K четырехугольника KLMN. Аналогично, точно О лежит на биссектрисах остальных углов KLMN, и значит, совпадает с центром вписанной в него окружности. С другой стороны, если четырехугольник KLMN описанный, то соединив центр вписанной окружности с его вершинами и построив четырехугольник ABCD, получим, что углы ОВС и OAD равны, и точки A, B, C, D лежат на окружности. Утверждение 1 дает возможность обобщить понятие центра вписанной окружности на четырехугольник, не являющийся описанным: будем называть квазицентром вписанной окружности четырехугольника KLMN точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, являющегося диагонально-перпендикулярным прообразом KLMN. Попробуем теперь обобщить понятие центра описанной окружности. Для этого прежде всего сформулируем Утверждение 2. Четырехугольник KLMN является вписанным тогда и только тогда, когда диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны. Доказательство. Ранее было показано, что угол между диагоналями четырехугольника ABCD равен полусумме противоположных углов четырехугольника KLMN. Утверждение 2 является очевидным следствием этого. Выясним, где находится центр окружности, описанной около четырехугольника KLMN. Продолжим отрезки OK, OL, OM, ON за точку О до пересечения с противоположными сторонами четырехугольника ABCD в точках соответственно K , L , M , N . Докажите самостоятельно следующие утверждения (рис.2): Утверждение 3. KL M N прямоугольник, стороны которого параллельны диагоналям ABCD.

C K N L O M B

M

D L
Рис. 2

N

K A


44
Утверждение 4. 8 точек K, L, M, N, K , L , M , N лежат на одной окружности. Из утверждений 3 и 4 вытекает, что центр окружности, описанной около четырехугольника KLMN, совпадает с точкой пересечения прямых K M и L N . Поэтому для произвольного четырехугольника полученную таким образом точку будем называть квазицентром описанной окружности.
Примечание 2. В этом месте в наших рассуждениях вновь оказалась нестрогость. Действительно, одна или даже обе пары противоположных сторон четырехугольника ABCD могут быть взаимно перпендикулярными, тогда какие-то из точек K , L , M , N не будут определены. Используя аппарат проективной геометрии, можно изменить формулировки всех утверждений, чтобы включить и эти случаи, но сейчас мы не будем этого делать.

КВАНТ

1998

/?

4
случае без каких-либо изменений. Читателям, знакомым с проективной геометрией, понятно, что наша центральная проекция эквивалентна проективному преобразованию, переводящему прямую XY в бесконечно удаленную.

Итак, мы обобщили понятия центров вписанной и описанной окружности на случай произвольного четырехугольника, и нам осталось выяснить, проходит ли прямая, соединяющая эти центры, через точку пересечения его диагоналей. Сформулируем этот вопрос в виде следующего утверждения: Утверждение 5. Из точки О пересечения диагоналей четырехугольника ABCD опущены на его стороны перпендикуляры OK, OL, OM, ON. Их продолжения за точку О пересекают противоположные стороны четырех-

угольника в точках K , L , M , N . Прямые KM и LN пересекаются в точке Р, K M и L N в точке P . Тогда точки Р, О, P лежат на одной прямой. Утверждение 5 действительно является верным. Более того, для его справедливости не требуется, чтобы отрезки OK, OL, OM, ON были перпендикулярны сторонам четырехугольника. Чтобы доказать это, воспользуемся центральной проекцией. Обозначим плоскость четырехугольника АВСD через . Пусть противоположные стороны четырехугольника пересекаются в точках Х и Y. Возьмем произвольную плоскость , пересекающую по прямой, параллельной XY, и точку Z, не лежащую ни в одной из плоскостей, такую, что плоскость XYZ параллельна . Легко видеть, что при проекции из точки Z на плоскость четырехугольник ABCD переходит в параллелограмм. Соответственно, образы точек K и K , L и L , M и M , N и N будут симметричны относительно образа точки О, и значит, симметричны будут и соединяющие их прямые и точки их пересечения Р и P , что и требовалось доказать.
Примечание 3. Четырехугольник ABCD может быть невыпуклым. В этом случае его образом при центральной проекции будет не параллелограмм, а фигура, состоящая из двух ломаных (начертите ее). Однако доказательство утверждения 5 проходит и в этом

И в заключение три вопроса, ответы на которые автору неизвестны:
1. Какими еще свойствами обладает диагонально-перпендикулярное отображение (точнее, какие свойства четырехугольника ABCD и KLMN соответствуют друг другу)? 2. Обладают ли какими-либо специальными свойствами четырехугольники K L M N или любой четырехугольник можно получить таким способом из хотя бы одного четырехугольника ABCD (то, что четырехугольник ABCD может быть не единственным, видно из утверждения 3)? 3. Для вписанно-описанных многоугольников выполняются соотношения:
1 r2 = 1 R + d

>

(R + d1) (R + d1) = R +

C >

2

+1 R d ,
2

>C d C >R d C
2

2

,

где R, r радиусы описанной и вписанной окружностей, d расстояние между их центрами, d1 расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения диагоналей. Пользуясь этим соотношениями, определим для произвольного четырехугольника 'квазирадиусы' описанной и вписанной окружностей (для этого должно быть 2d > d1 , но, по-видимому, это выполняется всегда). Можно ли дать этим понятиям содержательную геометрическую интерпретацию?