Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/taras/teaching/progr-linalg.pdf Дата изменения: Wed May 7 15:06:22 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:05:26 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: многомерное пространство

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ ?ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ?
ЛЕКТОР: Т. Е. ПАНОВ

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

Часть 1. Линейные пространства. Линейные пространства и подпространства. Примеры. Линейная зависимость, базис, размерность. Пересечение и сумма подпространств, их размерности. Прямая сумма подпространств, эквивалентные определения. Внешняя прямая сумма. Факторпространство. Размерность факторпространства. Координаты вектора. Закон изменения координат при замене базиса. Линейные отображения и изоморфизмы. Ядро и образ, их размерности. Матрица линейного отображения. Преобразование матрицы линейного отображения при заменах базисов. Двойственное пространство V , двойственный базис. Отсутствие изоморфизма V V в бесконечномерном случае (пример). = Второе двойственное пространство, канонический изоморфизм V V . = Сопряж?нное линейное отображение, его матрица. Часть 2. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Определитель и след оператора. Невырожденные операторы. Группы GLn и SLn . Проекторы, их алгебраическая характеризация. Многочлены от оператора. Минимальный аннулирующий многочлен. Овеществление пространства и оператора. Оператор комплексной структуры. Комплексификация пространства и оператора. Инвариантное подпространство. Ограничение оператора и фактор-оператор. Вид матрицы оператора в соответствующем базисе. Собственные значения, собственные векторы. Характеристический многочлен. Связь размерности собственного подпространства и кратности соответствующего ему корня характеристического многочлена. Теорема о существовании одномерного или двумерного инвариантного подпространства. Теорема ГамильтонаКэли. Диагонализируемые операторы. Критерий диагонализируемости. Нильпотентные операторы. Нормальный вид. Корневые векторы. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств. Жорданова нормальная форма оператора. Теорема Жордана. Вычисление многочленов и функций от матриц при помощи жордановой формы и метода интерполяции. Экспонента линейного оператора (без обоснования сходимости), е? свойства. Часть 3. Геометрия евклидовых и эрмитовых пространств. Аффинные пространства, системы координат, подпространства. Евклидовы и эрмитовы пространства, примеры. Неравенство КошиБуняковского, неравенство треугольника.
1


2

ЛЕКТОР: Т. Е. ПАНОВ

29. Ортогональные системы векторов, ортонормированные базисы. Ортогонализация ГрамаШмидта. 30. Ортогональные и унитарные матрицы. QR-разложение. 31. Ортогональное дополнение. Проекция и ортогональная составляющая. Угол между вектором и подпространством. 32. Аффинные евклидовы пространства. Расстояние от точки до подпространства. Расстояние между подпространствами. 33. Определитель матрицы Грама и многомерный объ?м. 34. Метод наименьших квадратов. 35. Изоморфизмы евклидовых и эрмитовых пространств. Канонический изоморфизм евклидова пространства и его сопряж?нного. Часть 4. Операторы в евклидовых и эрмитовых пространствах 36. Cопряж?нные операторы в евклидовых и эрмитовых пространствах. 37. Самосопряж?нные операторы. Канонический вид. 38. Самосопряж?нные проекторы. Спектральное разложение самосопряж?нного оператора. 39. Кососимметрические и косоэрмитовы операторы. Канонический вид. Эрмитово разложение. 40. Ортогональные и унитарные операторы. Канонический вид. Группы On и SOn , Un и SUn. 41. Положительные самосопряж?нные операторы. Полярное разложение. 42. Нормальные операторы. Часть 5. Билинейные и полуторалинейные функции 43. Билинейные и полуторалинейные функции, их матрицы. Закон изменения матрицы при замене базиса. Канонический изоморфизм пространства билинейных функций и пространства Hom(V , V ). 44. Симметрические, кососимметрические и эрмитовы функции. Квадратичные формы. Нормальный вид. 45. Нормальный вид кососимметрических и эрмитовых функций. 46. Закон инерции. Единственность нормального вида. 47. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра. 48. Симметрические билинейные функции в евклидовых пространствах. Канонический вид. 49. Приведение пары форм к диагональному виду. Собственные значения и собственные векторы пары форм. Часть 6. Тензоры 50. Полилинейные функции. 51. Тензоры: координатное определение. 52. Тензорное произведение, св?ртка, опускание и поднятие индексов. 53. Базис в пространстве тензоров. 54. Симметрические и кососимметрические тензоры, симметризация и альтернирование. 55. Внешнее произведение кососимметрических тензоров, внешние формы.

Список литературы
[Ге] И. М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. Москва, ?Наука?, 1974. [КМ] А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. Москва, ?Наука?, 1986. [Па]

http://higeom.math.msu.su/people/taras/teaching/

Т. Е. Панов. Линейная алгебра и геометрия. Курс лекций.