-  Астрономическое образование с сохранением традиций

Движение точки по неподвижной орбите под действием центральной силы (рис. 1) можно описать следующей системой уравнений:

(1)

Если обозначить изменившуюся величину силы , уравнения движения планеты по вращающейся эллиптической орбите примут вид:

(2)

Из уравнений (1) и (2) следует, что .

После несложных преобразований первого из уравнений системы (2) можно получить:

отсюда

Итак,

Такое движение по вращающейся эллиптической орбите совершает планета Меркурий (рис. 3).

Задача 2. Доказать, что если планета массы движется под действием гравитационного притяжения планетой массы (рис.4), то - интеграл движения, где - скорость планеты массы , - расстояние между планетами. Примечание: интеграл движения - это некоторая функция координат и скоростей, сохраняющая свою величину постоянной. Например, в соответствии со вторым законом Кеплера, в поле центральных сил интегралом движения является , - абсолютная угловая скорость.

Рис.4. Движение массы в гравитационном поле планеты массы .

Уравнение движения массы

Умножим обе части этого уравнения скалярно на

,

точка над координатой обозначает дифференцирование по времени. Аналогичным образом получаем:

или иначе это можно записать как

Итак, получим, или т.е.

- интеграл движения.

Если то При должно быть что невозможно.

Итак, при тело может двигаться лишь в ограниченной области пространства, такое движение называется финитным.

Если возможно, такое движение называется инфинитным.

Задача 3. Найти длину радиуса-вектора в перигелии и афелии тела массы , совершающего движение в поле гравитационного притяжения массой , если задана величина интегралов движения и (см. предыдущую задачу).

или

В перигелии и афелии и, следовательно, Зависимость от при представлена на рис. 5.

	Рис. 5 График зависимости от при

 

Проанализируем полученное квадратное уравнение:

где

При

При

При

Задача 4. Доказать, что эксцентриситет траектории, по которой движется планета массы , в гравитационном поле планеты массы связан с интегралами движения и следующим образом

При движении по эллипсу () эксцентриситет (см. рис. 4) и, следовательно, (см. задачу 3).

При движении по гиперболе () в перигелии:

, кроме того

где (см. [3], задача 6)

После несложных преобразований получаем

Задача 5 Тело массы движется по гиперболе в гравитационном поле массы (рис.6). Известна скорость тела на бесконечном удалении от притягивающего центра (тела массы ), а также прицельное расстояние . Определить угол рассеяния . Примечание: прицельным расстоянием называется кратчайшее расстояние от притягивающего центра до касательной к траектории в бесконечно удаленной точке.

Рис.6 Движение тела массы по гиперболе в гравитационном поле                       тела массы

На бесконечном удалении от притягивающего центра угол имеет минимальное значение и равен . С другой стороны, при , что следует из уравнения гиперболической траектории. Таким образом, задача определения сводится к определению эксцентриситета гиперболы .

Из решения задачи 4 следует, что (3)

Поскольку движение происходит в поле центральной силы, момент импульса массы относительно притягивающего центра сохраняется. По определению, величина .

На бесконечном расстоянии от притягивающего центра

; ; .

С учетом этих равенств из (3) получаем:

, отсюда ,

Задача 6 Два тела с массами и взаимодействуют по закону гравитации. При этом оба тела совершают в пространстве финитное движение. Найти траектории тел.

Поместим начало координат в центр масс системы. Через и обозначим радиус-векторы тел и соответственно. Тогда, по определению центра масс, , откуда . Введем в рассмотрение вектор длины направленный от массы к массе (рис. 7). После несложных преобразований получим Уравнения движения каждого из тел можно записать следующим образом:

, где (4).

Из системы (4) следует уравнение

(5) .

Поместим начало вектора в центр масс системы. В соответствии с уравнением движения (5) описывает эллипс вокруг центра масс как фокуса. Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид .

	Рис.7 Траектории материальных точек с массами и , взаимодействующих по закону гравитации.

 

По разные стороны от центра масс вдоль будем откладывать и (рис. 7). Поскольку и , легко понять, что и движутся по эллиптическим орбитам, один из фокусов которых совпадает с центром масс системы и

Литература:

1.        Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика.3-изд., М.: Наука, 1989.

2.        Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. М.: Наука. 1971.

3.        Бычков К.В., Сараева И.М. // Физическое образование в ВУЗах, Т.5, N2, 1999. С. 146-161.