Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/zadachi/Din.htm
Дата изменения: Fri May 11 04:46:29 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:56:29 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: ceres |
К.В.БЫЧКОВ
[ГАИШ],
А.С.НИФАНОВ,
И.М.САРАЕВА [физфак МГУ]
|
Предлагается
несколько задач для семинарских занятий со студентами - астрономами по теме
'Динамика материальной точки'. В основе
статьи - накопленный авторами опыт семинарских занятий по курсу общей физики и
астрономии со студентами астрономического отделения физического факультета МГУ.
В задачах рассматривается движение
материальной точки в гравитационном (и кулоновском) поле. Эти задачи являются
важными элементами фундамента для изучения курса современной астрономии. В
задачах обсуждаются события, реально наблюдаемые астрономами. Так задача о прецессии орбиты имеет
прямое отношение к объяснению траектории движения вокруг Солнца его ближайшей
планеты - Меркурия. В задаче о гравитационном взаимодействии движущихся масс
рассматривается ситуация, часто реализующаяся в космическом пространстве. В некоторых
случаях два взаимодействующих тела можно
рассматривать, пренебрегая в первом приближении влиянием других тел. Так,
например, у двойных звезд траектории в основном определяется их гравитационным взаимодействием. Кроме того, движение каждой планеты Солнечной системы
происходит, в первую очередь, под влиянием ее притяжения к Солнцу, другие тела
вызывают лишь малые искажения эллиптичности орбиты. При решении задач используется, как
уже известный, материал семинара 'Кинематика материальной точки',
опубликованный ранее [3]. Задача 1.
Планета массы
Рис. 2. Движение по эллиптической орбите, вращающейся
вокруг центра сил O относительно
неподвижной системы координат. |
|
Рис.4. Движение массы
в гравитационном поле планеты массы
.
Умножим обе части этого уравнения
скалярно на
,
точка над
координатой обозначает дифференцирование по времени. Аналогичным образом
получаем:
или иначе это можно
записать как
Итак, получим, или
т.е.
- интеграл движения.
Если то
При
должно быть
что невозможно.
Итак, при тело может двигаться лишь в ограниченной области
пространства, такое движение называется финитным.
Если
возможно, такое
движение называется инфинитным.
или
В перигелии и
афелии и, следовательно,
Зависимость
от
при
представлена на рис.
5.
Рис. 5 График зависимости
от
при
Проанализируем полученное квадратное уравнение:
где
При
При
При
Задача 4. Доказать, что
эксцентриситет траектории, по которой
движется планета массы
, в гравитационном поле планеты массы
связан с интегралами
движения
и
следующим образом
При движении по
эллипсу () эксцентриситет
(см. рис. 4) и,
следовательно,
(см. задачу 3).
При движении по
гиперболе () в перигелии:
, кроме того
где
(см. [3], задача 6)
После несложных
преобразований получаем
Задача 5 Тело массы движется по гиперболе в гравитационном поле
массы
(рис.6). Известна скорость тела
на бесконечном
удалении от притягивающего центра (тела массы
), а также прицельное расстояние
. Определить угол рассеяния
. Примечание: прицельным расстоянием называется кратчайшее
расстояние от притягивающего центра до касательной к траектории в бесконечно удаленной
точке.
Рис.6 Движение тела массы
по
гиперболе в гравитационном поле
тела массы
На бесконечном
удалении от притягивающего центра угол имеет минимальное значение
и равен
. С другой стороны, при
, что следует из
уравнения гиперболической траектории. Таким образом, задача определения
сводится к определению
эксцентриситета гиперболы
.
Из решения
задачи 4 следует, что (3)
Поскольку
движение происходит в поле центральной силы, момент импульса массы
относительно
притягивающего центра сохраняется. По определению, величина
.
На бесконечном расстоянии от притягивающего центра
;
;
.
С учетом этих равенств из (3) получаем:
, отсюда
,
Задача 6 Два тела с массами и
взаимодействуют по
закону гравитации. При этом оба тела совершают в пространстве финитное
движение. Найти траектории тел.
Поместим начало
координат в центр масс системы. Через и
обозначим радиус-векторы тел
и
соответственно. Тогда,
по определению центра масс,
, откуда
. Введем в рассмотрение вектор
длины
направленный от массы
к массе
(рис. 7). После
несложных преобразований получим
Уравнения движения
каждого из тел можно записать следующим образом:
, где
(4).
Из системы (4) следует уравнение
(5) .
Поместим начало
вектора в центр масс системы. В соответствии с уравнением движения
(5)
описывает эллипс вокруг центра масс как фокуса. Уравнение эллипса в
полярных координатах имеет вид
.
Рис.7
Траектории материальных точек с массами
и
, взаимодействующих по закону гравитации.
По разные
стороны от центра масс вдоль будем откладывать
и
(рис. 7). Поскольку
и
, легко понять, что
и
движутся по эллиптическим
орбитам, один из фокусов которых совпадает с центром масс системы
и
Литература:
1.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика.3-изд.,
М.: Наука, 1989.
2. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. М.: Наука. 1971.
3. Бычков К.В., Сараева И.М. // Физическое образование в ВУЗах, Т.5, N2, 1999. С. 146-161.