Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/zadachi/Din.doc Дата изменения: Wed May 2 20:17:57 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:56:56 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Зада?и по теме 'Динамика материальной то?ки' для студентов
астрономи?еского отделения.

К.В. БЫ?КОВ1, А.С. НИФАНОВ2, И.М. САРАЕВА2
1Государственный астрономи?еский институт им. П.К. Штернберга,
2Физи?еский факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

Предлагается несколько зада? для семинарских занятий со студентами -
астрономами по теме 'Динамика материальной то?ки'.

В основе статьи - накопленный авторами опыт семинарских занятий по
курсу общей физики и астрономии со студентами астрономи?еского отделения
физи?еского факультета МГУ.
В зада?ах рассматривается движение материальной то?ки в гравитационном
(и кулоновском) поле. Эти зада?и являются важными элементами фундамента для
изу?ения курса современной астрономии. В зада?ах обсуждаются события,
реально наблюдаемые астрономами.
Так зада?а о прецессии орбиты имеет прямое отношение к объяснению
траектории движения вокруг Солнца его ближайшей планеты - Меркурия. В
зада?е о гравитационном взаимодействии движущихся масс рассматривается
ситуация, ?асто реализующаяся в косми?еском пространстве. В некоторых
слу?аях два взаимодействующих тела можно рассматривать, пренебрегая в
первом приближении влиянием других тел. Так, например, у двойных звезд
траектории в основном определяется их гравитационным взаимодействием.
Кроме того, движение каждой планеты Солне?ной системы происходит, в первую
о?ередь, под влиянием ее притяжения к Солнцу, другие тела вызывают лишь
малые искажения эллипти?ности орбиты.
При решении зада? используется, как уже известный, материал семинара
'Кинематика материальной то?ки', опубликованный ранее [3].

Зада?а 1. Планета массы [pic]движется по эллипсу под действием
центральной притягивающей силы [pic]. Как нужно изменить вели?ину силы,
?тобы относительное движение по орбите осталось неизменным, а орбита, не
изменяя своего вида, вращалась вокруг центра сил [pic] (рис.2)?

[pic] [pic]




Движение то?ки по неподвижной орбите под действием центральной силы [pic]
(рис. 1) можно описать следующей системой уравнений:
[pic] (1)
Если обозна?ить изменившуюся вели?ину силы [pic], уравнения движения
планеты по вращающейся эллипти?еской орбите примут вид:
[pic] (2)
Из уравнений (1) и (2) следует, ?то [pic].
После несложных преобразований первого из уравнений системы (2) можно
полу?ить:
[pic] отсюда
[pic]
Итак, [pic]
Такое движение по вращающейся эллипти?еской орбите совершает планета
Меркурий (рис. 3).

[pic]



Зада?а 2. Доказать, ?то если планета массы [pic] движется под
действием гравитационного притяжения планетой массы [pic](рис.4), то [pic]-
интеграл движения, где [pic]- скорость планеты массы [pic], [pic] -
расстояние между планетами. Приме?ание: интеграл движения - это некоторая
функция координат и скоростей, сохраняющая свою вели?ину постоянной.
Например, в соответствии со вторым законом Кеплера, в поле центральных сил
интегралом движения является [pic], [pic]- абсолютная угловая скорость.

[pic]


Уравнение движения массы [pic]

[pic][pic]
Умножим обе ?асти этого уравнения скалярно на [pic]
[pic]
[pic],
то?ка над координатой обозна?ает дифференцирование по времени. Аналоги?ным
образом полу?аем:
[pic] или ина?е это можно записать как [pic]
Итак, полу?им, [pic] или [pic] т.е.
[pic]- интеграл движения.
Если [pic] то [pic] При [pic] должно быть [pic] ?то невозможно.
Итак, при [pic]тело может двигаться лишь в ограни?енной области
пространства, такое движение называется финитным.
Если [pic] [pic][pic] возможно, такое движение называется инфинитным.


Зада?а 3. Найти длину радиуса-вектора в перигелии и афелии тела массы
[pic], совершающего движение в поле гравитационного притяжения массой
[pic], если задана вели?ина интегралов движения [pic] и [pic] (см.
предыдущую зада?у).

[pic]
[pic] или [pic]
В перигелии и афелии [pic] и, следовательно, [pic] Зависимость [pic] от
[pic] при [pic] представлена на рис. 5.


[pic]



Проанализируем полу?енное квадратное уравнение:
[pic] где [pic]
При [pic]
[pic] [pic]
При [pic]
[pic]
При [pic] [pic]
Зада?а 4. Доказать, ?то эксцентриситет [pic] траектории, по которой
движется планета массы [pic], в гравитационном поле планеты массы [pic]
связан с интегралами движения [pic] и [pic] следующим образом [pic]
При движении по эллипсу ([pic]) эксцентриситет [pic] (см. рис. 4) и,
следовательно, [pic] (см. зада?у 3).
При движении по гиперболе ([pic]) в перигелии:
[pic], кроме того
[pic] где [pic] (см. [3], зада?а 6)
После несложных преобразований полу?аем[pic]

Зада?а 5 Тело массы [pic] движется по гиперболе в гравитационном поле
массы [pic](рис.6). Известна скорость тела [pic] на бесконе?ном удалении
от притягивающего центра (тела массы [pic]), а также прицельное расстояние
[pic]. Определить угол рассеяния [pic]. Приме?ание: прицельным расстоянием
называется крат?айшее расстояние от притягивающего центра до касательной к
траектории в бесконе?но удаленной то?ке.

[pic]



На бесконе?ном удалении от притягивающего центра угол [pic] имеет
минимальное зна?ение и равен [pic]. С другой стороны, при [pic] [pic], ?то
следует из уравнения гиперболи?еской траектории. Таким образом, зада?а
определения [pic] сводится к определению эксцентриситета гиперболы [pic].
Из решения зада?и 4 следует, ?то[pic][pic] (3)
Поскольку движение происходит в поле центральной силы, момент импульса
[pic] массы [pic] относительно притягивающего центра сохраняется. По
определению, вели?ина [pic].
На бесконе?ном расстоянии от притягивающего центра
[pic]; [pic]; [pic].
С у?етом этих равенств из (3) полу?аем:
[pic], отсюда [pic],
[pic]

Зада?а 6 Два тела с массами [pic] и [pic] взаимодействуют по закону
гравитации. При этом оба тела совершают в пространстве финитное движение.
Найти траектории тел.
Поместим на?ало координат в центр масс системы. Через [pic] и[pic]
обозна?им радиус-векторы тел [pic] и [pic] соответственно. Тогда, по
определению центра масс, [pic], откуда [pic]. Введем в рассмотрение вектор
[pic] длины [pic] направленный от массы [pic] к массе [pic] (рис. 7). После
несложных преобразований полу?им [pic] Уравнения движения каждого из тел
можно записать следующим образом:
[pic] , где [pic] (4).
Из системы (4) следует уравнение
[pic] (5) .
Поместим на?ало вектора [pic]в центр масс системы. В соответствии с
уравнением движения (5) [pic] описывает эллипс вокруг центра масс как
фокуса. Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид [pic].

[pic]




По разные стороны от центра масс вдоль [pic] будем откладывать [pic] и
[pic] (рис. 7). Поскольку [pic] и [pic], легко понять, ?то [pic] и [pic]
движутся по эллипти?еским орбитам, один из фокусов которых совпадает с
центром масс системы [pic] и [pic]

Литература:
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика.3-изд., М.: Наука, 1989.
2. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. М.: Наука. 1971.
3. Бы?ков К.В., Сараева И.М. // Физи?еское образование в ВУЗах, Т.5, N2,
1999. С. 146-161.




Зада?и по теме 'Динамика материальной то?ки для студентов астрономи?еского
отделения'.

К.В. БЫ?КОВ1, А.С. НИФАНОВ2 , И.М. САРАЕВА2
1Государственный астрономи?еский институт им. П.К. Штернберга,
2Физи?еский факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

Предлагается несколько зада? для семинарских занятий со студентами -
астрономами по теме 'Динамика материальной то?ки'.



Tasks on the theme "Material point dynamics for students of the
astronomy department"

K.V. Bychkov1, I.M. Saraeva2, A.S. Nifanov2
1Sternberg Astronomical Institute Moscow University,
2Physics Department Moscow State University


Several tasks on the theme "Material point dynamics" for students of
the astronomy department are proposed.

Сведения об авторах:
Бы?ков Константин Вениаминови? д.ф.-м.н, ведущий нау?ный сотрудник ГАИШ им
П.К. Штернберга .
Сараева Ирина Макаровна - к.ф.-м.н, старший преподаватель кафедры общей
физики физи?еского факультета МГУ. Раб. тел 939-14-89.
Нифанов Александр Семенови? - к.ф.-м.н, старший преподаватель кафедры общей
физики физи?еского факультета МГУ. Раб. тел 939-44-78.
nifanov@genphys.phys.msu.su
-----------------------
Рис. 2. Движение по эллипти?еской орбите, вращающейся вокруг центра сил O
относительно неподвижной системы координат.


Рис.1 Вращение под действием центральной силы [pic] по неподвижной орбите.

Рис.3 Движение планеты Меркурий вокруг Солнца.

Рис.4. Движение массы [pic] в гравитационном поле планеты массы [pic].

Рис. 5 График зависимости [pic] от [pic] при [pic]


Рис.6 Движение тела массы [pic] по гиперболе в гравитационном поле тела
массы [pic]




Рис.7 Траектории материальных то?ек с массами [pic] и [pic],
взаимодействующих по закону гравитации.