Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/kinematika/Kinematika.htm
Дата изменения: Fri May 11 04:46:53 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:31:19 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п |
К.В.БЫЧКОВ
[ГАИШ],
И.М.САРАЕВА [физфак МГУ]
|
ВведениеВ основе предлагаемой работы лежит опыт семинарских занятий по курсам общей физики и астрономии для студентов астрономического отделения физического факуль-тета МГУ. При изучении механики материальной точки, в особенности ее разделов, связанных с движением по криволинейной траектории, часто оказываются полезными астрономиче-ские приложения. В условиях поверхности Земли набор естественных траекторий прак-тически сводится к параболе. В космосе, наоборот, представлены многие типы криволи-нейного движения: вращение по окружности, а также эллиптические, параболические и гиперболические траектории разной степени вытянутости. К тому же формы орбит кос-мических объектов не ограничиваются одними коническими сечениями. Например, об-ращение звезд вокруг центра галактики во многих случаях не описываются законами Кеплера, а в процессе сжатия вращающихся газовых туманностей имеет место посте-пенное приближение к центру по спирали. Параллельно с физическим содержанием за-дачи уместно привести и первые сведения о математическом аппарате плоских кривых линий. Другим аспектом является соотношение между прямыми и обратными задачами. Для лабораторных условий типична прямая постановка: требуется вычислить параметры траектории тела, зная действующие на него силы. В астрономии как наблюдательной науке важен и обратный подход, когда по известному движению выясняют характер взаимодействия. Часть предлагаемого материала дает студентам первое представление об обратных задачах. С методической точки зрения решение обратной задачи, как правило, проще и нагляднее. Поэтому имеет смысл показать одну и ту же задачу дважды: сначала в разделе 'кинематика' как обратную, и затем, после приобретения студентами опыта, в разделе 'динамика' выполнить решение более сложной прямой задачи. Перейдем к изложению материала, предварительно договорившись о некоторых обозначениях. Координаты точки, движущейся в плоскости, как обычно, равны x и y, время - t, а для параметров движения оставляем буквы a, b, k, w, j. Векторы представляем прямыми жирными символами: r - радиус вектор частицы, v - ее скорость, w - ускорение. Точка над символом описывает дифференцирование по времени. I Определение траектории, скорости и ускорения точки из закона движения в декартовых координатах.Во всех задачах этого раздела требуется определить форму траектории, найти векторы скорости и ускорения, а также восстановить динамический закон движения. Задача 1.
Точка движется в плоскости. Ее координаты x и y
зависят от времени t как где a, b, ω и φ - параметры. Если a либо b равны нулю, то имеет место прямолинейное движение вдоль той или иной координатной оси. Оно происходит внутри отрезка длиной 2a, либо 2b, центр которого расположен в начале координат. Предположим, что оба этих параметра отличны от нуля. Разделим первое уравнение на a, второе - на b и раскроем косинус суммы: Исключим время t из уравнений движения. Сначала
рассмотрим два особых случая. При
а значению В случае, когда оба этих параметра отличны от нуля, с помощью ( 3 ) выразим
Роль параметра φ ясна из Рис. 1. Теперь определим кинематические характеристики траектории и попытаемся выяснить направление действующей силы. На Рис. 1 единичные векторы i и j, направлены вдоль координатных осей. Напишем выражение для радиус-вектора точки, с координатами ( 1 ) и ( 2 ):
Векторы скорости
и ускорения получаются последовательным дифференцированием r:
Из последних двух формул вытекает связь между ускорением и радиус-вектором: Мы получили хорошо известное уравнение пространственного осциллятора. Частица массы m движется под действием центральной притягивающей силы, по абсолютной величине равной mω2r. Пространственный осциллятор является важным методическим инструментом в атомной физике и оптике - двух активно используемых в астрофизике разделах общей физики. Знакомство с ним на семинарах по механике облегчает в дальнейшем освоение темы поляризованного излучения, а также анализ эффектов Зеемана и Штарка. Задача 2 Точка движется по закону с параметрами a, b и k. Случай k=0 здесь не представляет интереса. Равенство нулю a или b означает прямолинейное перемещение вдоль одной из координатных осей. Если они оба отличны от нуля, то траектория является отрезком гиперболы y=ab/x.
Не теряя общности, мы можем считать a и b положительными[1]. Они равны координатам точки в начальный момент времени:
которая в дальнейшем будет двигаться вправо. Вычислим вектор скорости
его абсолютную величину и вектор ускорения
Тело отталкивает
центральная сила mk2r. Задача 3. Точка движется в плоскости : Вычтем квадраты уравнений, деленных на a и b соответственно:
Получилась гипербола, как и на Рис. 2, но оси координат повернуты на 45њ. Ее график приведен на Рис. 3. Дифференцируя (6) и (7) по времени, получим вектор скорости и ускорения
Легко убедиться, что и здесь на тело действует отталкивающая сила F=mk2r. Итак, одна и та же сила может обуславливать внешне различающиеся типы движения. На частном примере мы увидели проявление важного принципа: динамический закон является более общей характеристикой движения, чем кинематические параметры.
Задача 4. Заряженная частица совершает пространственное
движение в однородном и постоянном магнитном поле: с постоянными параметрами R, vz, w. Складывая квадраты первых двух уравнений, получаем винтовую линию с шагом и квадрата
его модуля
II. Движение в полярных координатах.Задача 5. Точка A
движется в плоскости (x, y), причем
закон ее движения задан в полярных координатах: r=r(t), φ=φ(t). Определить скорость и ускорение точки.
Проведем дополнителные координатные оси ζ и η вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему как показано на Рис. 5. Обозначим посредством eζ и eη 'новые' единичные векторы вдоль осей ζ и η соответственно. Компонента любого вектора вдоль оси ξ называется радиальной, а вдоль оси η - трансверсальной. Если точка движется не по прямой линии, то векторы eζ и eη со временем меняют свое направление. Этим они отличаются от постоянных ортов i и j. Связь между двумя базисами дается известной формулой вращения системы координат:
Дифференцируя
первую строчку по времени и сравнивая результат со второй строкой, приходим к
следующему выражению для
Радиус-вектор, по построению, коллинеарен eζ::
При вычислении
вектора скорости в полярных координатах необходимо учитывать изменение
направления орта Проекция Описание движения во вращающейся системе отсчета приобретает новые
аспекты. В последней формуле Задача 6.
Исходя из первого и второго законов Кеплера, определить ускорение планеты. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Угол j отсчитываем от направления перигелия. Уравнение эллипса с эксцентриситетом e и параметром p в полярных координатах имеет вид: Второй закон Кеплера утверждает постоянство секторной скорости. Введем константу Перепишем формулу (9) Задача 5 в виде Легко видеть, что трансверсальная компонента вектора ускорения равна нулю. Ускорение направлено вдоль радиус-вектора Вычислим проекцию вектора w на ось ξ: Вводим новую переменную u=1/r и воспользуемся формулой Бинэ: где введено
обозначение
Воспользовавшись
определениями а дифференцируя его по времени с учетом ( 11 ) получаем Подставляя в
( 13 ) полученные выражения
для
Итак, со стороны
Солнца на планету действует притягивающая сила Задача 7. Планета движется по эллипсу с эксцентриситетом
ε. Зная ее скорость v1 в перигелии,
определить скорость v2 в
афелии. В этих двух точках орбиты ( и только в них ) скорость и радиус-вектор
взаимно ортогональны. Следовательно, здесь модуль скорости v равен ее
трансверсальной компоненте:
Воспользовавшись ( 10 ), приходим к окончательному результату:
Задача 8. Показать, что квадрат скорости планеты равен
где a - длина большой полуоси. Из формулы ( 8 ) Задача 5 следует Вычислив
Здесь также
учтено
Подставив это
значение в предыдущую формулу с учетом соотношения Задача 9. Частица движется к притягивающему центру по плоской
траектории где r и φ - известные функции времени. В начальный момент времени угол φ равен нулю, а скорость тела направлена перпендикулярно радиус‑вектору и по абсолютной величине равна v0. Полагаем, что сохраняется постоянной секторная скорость, то есть справедлива формула ( 11 ). Определить зависимость скорости от расстояния r до притягивающего центра, а также трансверсальную и радиальную компоненты ускорения. Из начальных условий определим значение константы K=2av0. Согласно ( 12 ), трансверсальное ускорение
равно нулю вследствие постоянства секторной скорости. Таким образом,
притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. Радиальную компоненту
вычислим двумя способами. Сначала выполним прямые расчеты по формуле ( 13 ) Задача 6. Из ( 15 )
и ( 16 )
следуют выражения для откуда
Теперь с помощью ( 18 ) выражаем cosφ и sin2φ через a и r :
Окончательно
Теперь воспользуемся формулой Бинэ ( 14 ) и уравнением траектории ( 18 ): Подставляя в
( 14 )
полученное выражение для
Связь между модулями скорости и радиус‑вектора проще всего вычислить с помощью формулы ( 17 ):
Задача 10. Точка движется в плоскости по закону с параметрами r0 и a. Определить траекторию, скорость и обе компоненты ускорения. Исключив время t, получим изображенную на Рис. 6 гиперболическую спираль
Начальный наклон траектории на Рис. 6 определяется соотношением между двумя компонентами
скорости. По формуле ( 8 )
легко найти, что для начального момента времени:
Следовательно, трансверсальное ускорение равно нулю; т.е. притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. По формуле ( 13 ) определим радиальное ускорение
Таким образом, частица падает на притягивающий центр под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния. III Проекция ускорения на естественные оси.Естественными осями при изучении криволинейного движения на плоскости принято считать касательную и нормаль к траектории. Тангенциальная и нормальная компоненты векторов часто позволяют полнее раскрыть физический смысл рассматриваемого движения. Вводимые ниже понятия напоминают те, которыми мы пользовались в полярной системе координат, но они не зависят от выбора системы отсчета. Задача 11.
Движение точки в плоскости описывается в
декартовых координатах как x=x(t), y=y(t). Определить проекции скорости и ускорения на
естественные оси, а также радиус кривизны траектории.
Направим координатные оси τ и n вдоль касательной и нормали к траектории, как показано на Рис. 7. Обозначим eτ и en единичные векторы вдоль соответствующих осей. Вектор eτ направлен вдоль скорости:
Формула
Так как длина
вектора Вектор нормали en ищем в виде
где подлежащие определению проекции a и b удовлетворяют условиям нормировки и ортогональности:
Из двух решений этой системы уравнений мы выбираем такое, при котором вектор нормали направлен в сторону вогнутости траектории, как на Рис. 7:
Проекция ускорения на касательную wτ равна скалярному произведению Аналогично вычисляем wn: Перейдем к вычислению радиуса кривизны ρ траектории в данной точке. Он задается условием
где ds - смещение вдоль траектории, соответствующее изменению угла dφ. Обе эти величины на Рис. 8 считаем бесконечно малыми. Следовательно, можно пренебречь изменением абсолютной величины скорости на отрезке ds и воспользоваться известной формулой для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности:
Подставляя сюда ( 21 ), приходим к
Радиус кривизны бесконечно велик в случае прямолинейной траектории. Задача 12. Точка описывает эллипс
Определить нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, а также радиус кривизны траектории в точках A и B Рис. 9. Рассматриваемое движение является частным случаем Задача 1. Подставив ( 5 ) в ( 20 ), приходим к
Аналогичным путем получаем формулы для нормального ускорения и для радиуса кривизны
Подставляя в них зависимость x и y от времени, получаем для точки A: и для точки B:
Задача 13. Частица движется в плоскости по траектории r=acosφ. В начальный момент времени φ=0, а скорость
направлена перпендикулярно радиус‑вектору. Секторная скорость постоянна и
равна K/2. Определить связь между модулями v и r , а
также компоненты ускорения: тангенциальную, нормальную, радиальную и
трансверсальную. При постоянном K величина v однозначно выражается уравнением траектории:
Здесь мы воспользовались обозначениями Задача 6 и формулой ( 15 ). Подставляя
приходим к следующему выражению для v2:
откуда
В интервале
углов
Трансверсальное
ускорение равно нулю. Вычисление радиальной
компоненты можно упростить следующим образом. Нам известны компоненты вектора |