Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/09.doc Äàòà èçìåíåíèÿ: Wed May 2 20:23:06 2007 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Mon Oct 1 19:47:16 2012 Êîäèðîâêà: koi8-r Ïîèñêîâûå ñëîâà: m 8

Ãëàâà 9. Ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà

Îñîáîå ìåñòî çàíèìàþò çàäà÷è, â êîòîðûõ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò
òîëüêî êîîðäèíàò:

[pic]


Òàêèå ñîñòîÿíèÿ íàçûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè, òàê êàê â íèõ ñîõðàíÿåòñÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû E. Îòñóòñòâèå ÿâíîé çàâèñèìîñòè ãàìèëüòîíèàíà îò âðåìåíè ïîçâîëÿåò
âûïîëíèòü ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. Âîëíîâóþ ôóíêöèþ èùåì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ

[pic]


Ìíîæèòåëü f(t) îòðàæàåò âîëíîâóþ ïðèðîäó ÷àñòèö â êâàíòîâîé òåîðèè. Ìû â
ýòîì óáåäèìñÿ, êîãäà âûâåäåì äëÿ íåãî ÿâíîå âûðàæåíèå. Ïîäñòàâèì (1) â
óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà (âîñüìàÿ ãëàâà, (1.8)):

[pic]


è ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà ïðîèçâåäåíèå [pic]:

[pic]


Ëåâàÿ ÷àñòü çàâèñèò ëèøü îò âðåìåíè, à ïðàâàÿ - òîëüêî îò
ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè îáå ðàâíû îäíîé è òîé æå
êîíñòàíòå:

[pic]

Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîíñòàíòà èìååò ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè. Òàêèì îáðàçîì,
èìååì äâà óðàâíåíèÿ

[pic]



ïðè÷¸ì âòîðîå ïîêàçûâàåò, ÷òî êîíñòàíòà ðàçäåëåíèÿ E äåéñòâèòåëüíî ðàâíà
ýíåðãèè ñèñòåìû. Çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè îò âðåìåíè ïîëó÷àåì èç (2a):

[pic]


Èòàê, âðåìåííÑé ìíîæèòåëü ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ îñöèëëèðóþùåé
ôóíêöèåé. Ýíåðãèè E ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòîòà [pic]. Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà (3)
â òîé æå ìåðå îïèñûâàåò ñîñòîÿíèå ñ ýíåðãèåé E, êàê [pic] - êîëåáàíèÿ íà
÷àñòîòå (.
Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2b),
êîòîðîå ñ ó÷¸òîì âûðàæåíèÿ (1.7) âîñüìîé ãëàâû äëÿ îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà
ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê:

[pic]


Ìû ïîëó÷èëè ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
èìååò âèä

[pic]


Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Â
ñàìîì äåëå, êâàäðàò ìîäóëÿ âðåìåííÑãî ìíîæèòåëÿ (3) ðàâåí åäèíèöå:
[pic]


Ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòü W íàéòè ÷àñòèöó â òîé èëè èíîé òî÷êå
ïðîñòðàíñòâà (ôîðìóëà (2.1) âîñüìîé ãëàâû) îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî
êîîðäèíàòíîé ÷àñòüþ âîëíîâîé ôóíêöèè:

[pic]


Ôîðìóëà (5) îêîí÷àòåëüíî ïðîÿñíÿåò ñìûñë ôóíêöèè f(t). Ïîñëåäíÿÿ îïèñûâàåò
âîëíîâûå ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ, íî íèêàê íå âëèÿåò íà
ìåñòîïîëîæåíèå ÷àñòèöû.
 îäíîìåðíîì ñëó÷àå (4) ñâîäèòñÿ ê îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà

[pic]

Øòðèõîì äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷åí îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî
åäèíñòâåííîé ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòå x:

[pic]


 äàëüíåéøåì ìû ðàññìîòðèì íåñêîëüêî çàäà÷ äëÿ ïðîñòåéøèõ îäíîìåðíûõ
ïîòåíöèàëîâ.

9.1 Ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà

Ðåøèì óðàâíåíèå (6) ïðåäïîëàãàÿ îòñóòñòâèå âíåøíèõ ïîëåé, òî åñòü, êîãäà
ïîòåíöèàë U ðàâåí íóëþ:

[pic]


Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå

[pic]


ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè

[pic]


Åãî äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ ðàâíû:

[pic]


Ââåäÿ ÷àñòîòó

[pic]


ïåðåïèøåì âðåìåííÙþ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè â âèäå

[pic]

Ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà

[pic]


Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.1) ÿâëÿþòñÿ äâå ïëîñêèå âîëíû,
ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Ìû ñíîâà âåðíóëèñü ê ñâÿçè
ìåæäó ñâîáîäíîé ÷àñòèöåé è ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíîé.
Ôîðìóëà (1.5) èëëþñòðèðóåò âàæíîå ñâîéñòâî ìèêðîìèðà. À èìåííî, îäíîìó
çíà÷åíèþ ýíåðãèè ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ êâàíòîâûõ
ñîñòîÿíèé. Òàêèå óðîâíè ýíåðãèè ïðèíÿòî íàçûâàòü âûðîæäåííûìè, à ÷èñëî
êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé - ñòåïåíüþ âûðîæäåíèÿ, èëè ñòàòèñòè÷åñêèì âåñîì. Â
äàííîì ñëó÷àå ñòàòèñòè÷åñêèé âåñ ðàâåí äâóì, ñîîòâåòñòâåííî ÷èñëó âîçìîæíûõ
íàïðàâëåíèé äâèæåíèÿ âîëíû. ßâëåíèå âûðîæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íûì äëÿ
êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
 ñëó÷àå îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ âûðîæäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ èìåííî
âîçìîæíîñòüþ ÷àñòèöå ñâîáîäíî äâèãàòüñÿ â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ. Ïîêàæåì, ÷òî
åñëè å¸ äâèæåíèå îãðàíè÷åíî õîòÿ áû ñ îäíîé ñòîðîíû, òî âûðîæäåíèå
èñ÷åçàåò.

9.2. Îäíîìåðíîå äâèæåíèå, îãðàíè÷åííîå ñ îäíîé ñòîðîíû.

Ïîñòàâèì âîïðîñ, íàñêîëüêî ìîãóò ðàçëè÷àòüñÿ âîëíîâûå ôóíêöèè (1 è (2,
ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (6), åñëè îíè îïèñûâàþò ñîñòîÿíèÿ,
ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó è òîìó æå óðîâíþ ýíåðãèè E. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
÷àñòèöà ìîæåò äâèãàòüñÿ íåîãðàíè÷åííî òîëüêî â îäíîì èç äâóõ íàïðàâëåíèé ïî
îñè x. Ïîêàæåì, ÷òî îáå ôóíêöèè îïèñûâàþò îäíî è òî æå êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå.
Ïîñêîëüêó îíè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (6), ìû ìîæåì çàïèñàòü
[pic]

èëè
[pic]

 ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ïðèáàâèì è âû÷òåì ïðîèçâåäåíèå [pic]. Ïîñëå ýòîãî
ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîé ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ:

[pic]

Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì îãðàíè÷åííîñòè äâèæåíèÿ â îäíîì èç
íàïðàâëåíèé.  íàïðàâëåíèè, êóäà ÷àñòèöà äâèãàòüñÿ íå èìååò ïðàâà, îáå
âîëíîâûå ôóíêöèè îáðàùàþòñÿ â íóëü. Ñëåäîâàòåëüíî, êîíñòàíòà â ïðàâîé ÷àñòè
(2.1) ðàâíà íóëþ, òàê ÷òî

[pic]


Ïîñëå ïîâòîðíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷èì
[pic]

Ñîãëàñíî ïóíêòó «Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè» ðàçäåëà 2.1 âîñüìîé ãëàâû, âîëíîâûå
ôóíêöèè, ðàçëè÷àþùèåñÿ ëèøü ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì, îïèñûâàþò îäíî è òî æå
ñîñòîÿíèå.
Èòàê, âûðîæäåíèå îòñóòñòâóåò, åñëè äâèæåíèå ÷àñòèöû âäîëü ïðÿìîé
îãðàíè÷åíî õîòÿ áû ñ îäíîé ñòîðîíû.


9.3 ×àñòèöà â ïîòåíöèàëüíîì ÿùèêå


Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ñ áåñêîíå÷íî
âûñîêèìè ñòåíêàìè. Íà ðèñ.9.3.1 åé ñîîòâåòñòâóåò ïîòåíöèàë ñëåäóþùåãî âèäà:
 ïðîìåæóòêå 0 < x < L îí ðàâåí

[pic]

íóëþ è ÷àñòèöà òàì äâèæåòñÿ ñâîáîäíî, à çà ïðåäåëàìè ýòîãî èíòåðâàëà (x < 0
è x > L) ïîòåíöèàë ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè.  îáëàñòè 0 ˜ x ˜ L óðàâíåíèå
Øðåäèíãåðà ñâîäèòñÿ ê (1.1).  çàäà÷å î ñâîáîäíîé ÷àñòèöå ìû ïîëó÷èëè
îñöèëëèðóþùèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå çàïèñàëè â âèäå ýêñïîíåíòû ñ ìíèìûìè
ïîêàçàòåëÿìè ±ikx. Ñåé÷àñ íàì óäîáíåå ïåðåéòè ê ýêâèâàëåíòíîìó
ïðåäñòàâëåíèþ, ñîäåðæàùåìó ñèíóñ è êîñèíóñ:

[pic]

Êîíñòàíòû A, B è k íàéä¸ì èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé è íîðìèðîâêè âîëíîâîé
ôóíêöèè. Íà ñòåíêàõ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê êàê â ñèëó
áåñêîíå÷íîñòè ïîòåíöèàëà ÷àñòèöà íå ìîæåò âûéòè çà ïðåäåëû èíòåðâàëà 0 ˜ x
˜ L. Ïåðâîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå äà¸ò

[pic]

÷òî ïîçâîëÿåò óòî÷íèòü (3.1):

[pic]

Âòîðîå óñëîâèå

[pic]

íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà âåëè÷èíó âîëíîâîãî ÷èñëà ÷àñòèöû.  ñàìîì
äåëå, èç óðàâíåíèÿ

[pic]


âûòåêàåò
[pic]

Çíà÷åíèå n = 0 íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
ïîâñþäó ðàâíà íóëþ, ÷òî îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ÷àñòèöû â ÿùèêå. Òàêèì îáðàçîì,
ìû ïîëó÷èëè ðåøåíèå

[pic]


Êîíñòàíòó A íàéä¸ì èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè (ôîðìóëà (2.7) âîñüìîé ãëàâû):

[pic]


äëÿ ëþáîãî n. Èòàê, íîðìèðîâàííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ n-ãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíà

[pic]


Ñîáñòâåííîìó âåêòîðó çàäà÷è (2.3), ñîãëàñíî (2.2), ñîîòâåòñòâóåò
ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè

[pic]


Çäåñü ââåäåíî îáîçíà÷åíèå [pic]äëÿ ýëåìåíòàðíîãî êâàíòà ýíåðãèè:

[pic]


Ìû ïîëó÷èëè äèñêðåòíûé ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð, èíûìè ñëîâàìè - êâàíòîâàíèå
ýíåðãèè. Ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì ÷àñòèöà èìååò ñàìîå íèçêîå èç âñåõ âîçìîæíûõ
çíà÷åíèå ýíåðãèè, ïðèíÿòî íàçûâàòü îñíîâíûì.  ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å
îñíîâíîå ñîñòîÿíèå îòâå÷àåò çíà÷åíèþ n = 1. Îñòàëüíûå óðîâíè ýíåðãèè
íàçûâàþò âîçáóæä¸ííûìè.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî â ïîòåíöèàëüíîì ÿùèêå ýíåðãèÿ íå ìîæåò
ïðèíèìàòü íóëåâîãî çíà÷åíèÿ:

[pic]


Îáúÿñíåíèå ýòîìó ôàêòó äà¸ò ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà. Åñëè
ìû ëîêàëèçóåì ÷àñòèöó íà îòðåçêå äëèíîé L:

[pic]


òî îíà ïîëó÷àåò èìïóëüñ

[pic]


à, ñëåäîâàòåëüíî, å¸ ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñîñòàâèò

[pic]


÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëåííîãî ìíîæèòåëÿ ñîâïàäàåò ñ âåëè÷èíîé [pic]. Òàêèì
îáðàçîì, ÷àñòèöà ìèêðîñêîïè÷åñêîé ìàññû íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè
ïîêîÿ, åñëè îíà çàêëþ÷åíà âíóòðè îãðàíè÷åííîé îáëàñòè.
Ôîðìóëû (3.3) è (3.4) ïîêàçûâàþò, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ýíåðãèè. Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå âûðîæäåíèå
íå èìååò ìåñòà, â ñîãëàñèè ñ îáùèì ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì â ïðåäûäóùåì
ðàçäåëå.

[pic]

Íà ðèñ.9.3.2 èçîáðàæåíû âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ((x) (ñëåâà) è âåðîÿòíîñòü W(x)
(ñïðàâà) äëÿ òð¸õ ïåðâûõ çíà÷åíèé n = 1, 2, 3. Ïî ãîðèçîíòàëüíîé îñè
îòëîæåíî îòíîøåíèå x/L.׸ðíûì öâåòîì îáîçíà÷åíî îñíîâíîå ñîñòîÿíèå, ñèíèì -
n = 2 è çåë¸íûì - n = 3. Ïðÿìûå ëèíèè ïàðàëëåëüíûå îñè x (1, 4 è 9)
îòìå÷àþò çíà÷åíèå ýíåðãèè.  òåõ òî÷êàõ, ãäå âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â
íóëü, ÷àñòèöà íèêîãäà íå áóäåò îáíàðóæåíà. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäñòàâëåíèÿì
êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Íóëÿì ôóíêöèè W(x) ñîîòâåòñòâóþò óçëû ñòîÿ÷èõ âîëí â
òåîðèè êîëåáàíèé.
Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî óçëîâ âîëíîâîé ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ îñíîâíîå
ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû, îáðàùàåòñÿ â íóëü òîëüêî íà êîíöàõ èíòåðâàëà, à âíóòðè
íåãî îíà óçëîâ íå èìååò.  ïåðâîì âîçáóæä¸ííîì ñîñòîÿíèè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
èìååò ðîâíî îäèí êîðåíü âíóòðè îòðåçêà (0, L), âî âòîðîì - äâà è òàê äàëåå.
Çäåñü ïðîÿâëÿþòñÿ îáùèå çàêîíîìåðíîñòè îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ. Â ìàòåìàòèêå
èçâåñòíà òàê íàçûâàåìàÿ îñöèëëÿöèîííàÿ òåîðåìà, ñïðàâåäëèâàÿ äëÿ
äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ýíåðãèè. Îíà ñâÿçûâàåò äðóã ñ äðóãîì íîìåð âîëíîâîé
ôóíêöèè è ÷èñëî óçëîâ. Ïåðåíóìåðóåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà ñ
ïîìîùüþ ÷èñëà n, ïðèíèìàþùåãî ñëåäóþùèé ðÿä çíà÷åíèé:
N
À èìåííî, ôóíêöèÿ ?n(x), ñîîòâåòñòâóþùàÿ n+1-ìó ïî âåëè÷èíå ñîáñòâåííîìó
çíà÷åíèþ En, ïðè êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà îáðàùàåòñÿ â íóëü ðîâíî n
ðàç. Åñëè, êàê â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å, ÷àñòèöà ìîæåò íàõîäèòüñÿ òîëüêî íà
îãðàíè÷åííîì îòðåçêå îñè x, òî ðå÷ü èä¸ò î íóëÿõ ôóíêöèè ?n(x) âíóòðè ýòîãî
îòðåçêà. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ óçëîâ íå èìååò.
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ î÷åíü áîëüøèì çíà÷åíèÿì n, áûñòðî
îñöèëëèðóåò (ðèñ.9.3.3).  ñëó÷àå ïðèáîðà ñ êîíå÷íîé ðàçðåøàþùåé
ñïîñîáíîñòüþ â åãî àïåðòóðó ïîïàäàåò ìíîãî ïèêîâ, è ìû òàêèõ îñöèëëÿöèé íå
îáíàðóæèì. Òàê êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ïåðåõîäèò â êëàññè÷åñêóþ.
Äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ
[pic]


[pic]
â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå [pic] çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàçìåðîâ ñèñòåìû L. Ýòî
ñëó÷àé ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè (êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè), êîãäà âîëíîâûìè
ñâîéñòâàìè ÷àñòèöû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Êâàíòîâàíèå ýíåðãèè ïðè ýòîì òîæå
ñòàíîâèòñÿ íåçàìåòíûì. Ðàçíîñòü ýíåðãèé [pic]ìåæäó óðîâíÿìè ñ íîìåðàìè n è
?n ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé
ôóíêöèè (3.4) ïî n:

[pic]


Ïðè óâåëè÷åíèè êâàíòîâîãî ÷èñëà n ýíåðãåòè÷åñêàÿ ùåëü ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè
óðîâíÿìè (? n = 1) ðàñò¸ò ìåäëåííåå, ÷åì ýíåðãèÿ óðîâíåé:

[pic]

Òàêèì îáðàçîì, ñèëüíî âîçáóæä¸ííûå ñîñòîÿíèÿ â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå ([pic])
ïðàêòè÷åñêè ñëèâàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì è îáðàçóþò ñïåêòð, áëèçêèé ê
íåïðåðûâíîìó.


Íåêîòîðûå ïðèìåðû

1. Ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ÷àñòèöà â ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ìàñøòàáàõ: m = 1ã, L =
1ñì. Äëÿ íå¸

[pic]ýðã ~ 10-42 ýÂ.



Òàêóþ âåëè÷èíó èçìåðèòü íåâîçìîæíî. Îöåíèì âåëè÷èíó êâàíòîâîãî ÷èñëà ïðè
ñêîðîñòè äâèæåíèÿ v = 1 ñì/ñåê. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ~ mv2 ñîñòàâëÿåò îêîëî
1 ýðã.
Ïî ôîðìóëå (3.4) îöåíèì íîìåð óðîâíÿ:

[pic]


Ýíåðãåòè÷åñêàÿ ùåëü ìåæäó ñîñåäíèìè óðîâíÿìè, ñîãëàñíî (3.6), ñîñòàâëÿåò
îêîëî 10-27 ýðã.
Ýòà âåëè÷èíà ñëèøêîì ìàëà, ÷òîáû å¸ ìîæíî áûëî îáíàðóæèòü. Òàêèì
îáðàçîì, ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ íà î÷åíü âûñîêîì êâàíòîâîì
óðîâíå, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè óðîâíÿìè íàñòîëüêî ìàëî, ÷òî êâàíòîâûõ
ñâîéñòâ ìû íàáëþäàòü íå áóäåì. Ïîýòîìó ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ÿâëÿåòñÿ
ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíûì, â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.7).

2. Ýëåêòðîí â ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ìàñøòàáàõ äëèí: m ~ 10-27 ã, L ~ 1 ñì.
Çäåñü

(0 ~ 10-15 ýÂ.

Ýòî òàêæå íåíàáëþäàåìàÿ âåëè÷èíà.

3. Ýëåêòðîí â àòîìå: L ~ 10-8 ñì.  ýòîì ñëó÷àå êâàíò ýíåðãèè

(0 ~ 10 ýÂ

îêàçûâàåòñÿ ñðàâíèìûì ñ ýíåðãèåé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà (ôîðìóëà
(2.2.1) ðàçäåëà 1.2.2 ïåðâîé ãëàâû).
Ïðèâåä¸ííûå ïðèìåðû ïîçâîëÿþò ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû. Äèñêðåòíîñòü
ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà çàìåòíà òîëüêî äëÿ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ÷àñòèö â
ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ìàñøòàáàõ. Ýíåðãèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ÷àñòèö íà ëþáûõ
ìàñøòàáàõ, à òàêæå ìèêðî÷àñòèö â ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ìàñøòàáàõ èìååò ñïåêòð,
ïðàêòè÷åñêè íåîòëè÷èìûé îò íåïðåðûâíîãî.

9.4 Âûñîêèé ïîòåíöèàëüíûé ïîðîã

Ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, ÷àñòèöà, íàëåòàÿ íà ïîòåíöèàëüíûé ïîðîã,
ïðîñêàêèâàåò åãî, åñëè å¸ ýíåðãèÿ äîñòàòî÷íî âåëèêà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíà
îòðàæàåòñÿ îò [pic]
áàðüåðà. Â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñèòóàöèÿ ñëîæíåå. Ðàññìîòðèì ïîòåíöèàë,
èçîáðàæ¸ííûé íà ðèñ.9.4.1. Ãðàôèê ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èçîáðàæ¸í ñèíåé
ëèíèåé. Îíà îáðàùàåòñÿ â íóëü â îáëàñòè îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà è
ðàâíà ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå U0 äëÿ [pic]:
[pic]

 òî÷êå [pic] ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òåðïèò ðàçðûâ. Ýíåðãèÿ íàëåòàþùåé
÷àñòèöû E ïîìå÷åíà çåë¸íûì öâåòîì.  ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ìåíüøå ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà:

[pic]

 êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå òàêîå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò îòðàæåíèå ÷àñòèöû.
Ïåðåõîäèì ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Äëÿ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé
àðãóìåíòà îíî çàïèñûâàåòñÿ êàê

[pic]


à â îáëàñòè [pic] èìååò âèä

[pic]

Ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

[pic]


Óñëîâèå (4.5a) îãðàíè÷åííîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî
âåðîÿòíîñòü |(|2 îáíàðóæèòü ÷àñòèöó â òîé èëè èíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà
äîëæíà áûòü êîíå÷íîé âåëè÷èíîé. Òðåáîâàíèå íåïðåðûâíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè
(4.5b) îòðàæàåò îòñóòñòâèå ïðîöåññîâ ðîæäåíèÿ è àííèãèëÿöèè ÷àñòèö.
Íåïðåðûâíîñòü ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îãðàíè÷åííîñòè
ïîòåíöèàëà. Äëÿ âûâîäà (4.5c) óåäèíèì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ â ëåâîé ÷àñòè
óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (6):

[pic].

Åñëè âñå âåëè÷èíû â ïðàâîé ÷àñòè îãðàíè÷åíû:
[pic],

òî èç (4.6) ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü âòîðîé ïðîèçâîäíîé âîëíîâîé ôóíêöèè.
Îòñþäà, â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò íåïðåðûâíîñòü [pic].  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå
ïîòåíöèàë íà êðàÿõ èíòåðâàëà [pic] îáðàùàëñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (ðèñ. 9.3.1).
Èìåííî òàì ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ [pic] òåðïèò ðàçðûâû, ïðèâîäÿùèå ê èçëîìàì
âîëíîâîé ôóíêöèè â òî÷êàõ 0 è L.
Ïðèñòóïèì ê ðåøåíèþ çàäà÷è. Ââåä¸ì âîëíîâûå ÷èñëà

[pic]


ñ êîòîðûìè óðàâíåíèÿ (4.3) è (4.4) ïðåîáðàçóþòñÿ â

[pic]


Ïåðâîå óðàâíåíèå èìååò îñöèëëèðóþùèå ðåøåíèÿ, àíàëîãè÷íûå (3.1). Íî
ñåé÷àñ íàì óäîáíåå ïåðåéòè ê èõ ýêñïîíåíöèàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ñ ìíèìîé
åäèíèöåé:

[pic].

Ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ - ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ óáûâàþùåé è ðàñòóùåé
ýêñïîíåíò:

[pic].

Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (4.5) äàþò òðè óðàâíåíèÿ:

[pic]


Ñ èõ ïîìîùüþ êîíñòàíòû A è B ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç C:

[pic]



Ìû ââåëè îáîçíà÷åíèÿ

[pic]

Òàêèì îáðàçîì, â îáëàñòè x < 0, ãäå äâèæåíèå ðàçðåøåíî è â êëàññè÷åñêîé
ìåõàíèêå, ìû ïîëó÷àåì îñöèëëèðóþùåå ðåøåíèå

[pic]
Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñëîæåíèå äâóõ âîëí ðàâíîé àìïëèòóäû. Ïåðâîå ñëàãàåìîå
îïèñûâàåò ïàäàþùóþ âîëíó, âòîðîå - îòðàæ¸ííóþ, èõ ñóììà - ñòîÿ÷óþ âîëíó.
Ïåðåéä¸ì ê îáëàñòè x > 0, çàïðåù¸ííîé äëÿ äâèæåíèÿ êëàññè÷åñêîé ÷àñòèöû.
Êîíñòàíòó C óäîáíî âûðàçèòü ÷åðåç ïàðàìåòðû a è (:

[pic]


Ðåøåíèåì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàþùàÿ ôóíêöèÿ

[pic].

Íà ðàññòîÿíèè [pic]îíà óáûâàåò â e ðàç. Ñîîòâåòñòâåííî, âåðîÿòíîñòü
îáíàðóæèòü ÷àñòèöó íà ðàññòîÿíèè x0 îò ïîðîãà ðàâíà [pic]. Ôîðìóëà (4.9)
ïîêàçûâàåò, ÷òî êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ìîæåò ïðîíèêàòü ñêâîçü ïîòåíöèàëüíûé
áàðüåð äàæå â òîì ñëó÷àå, êîãäà å¸ ýíåðãèÿ E ìåíüøå åãî âûñîòû U0. Â
ïðåäåëå êëàññè÷åñêîé ôèçèêè âåëè÷èíà x0 ñòðåìèòñÿ ê íóëþ âìåñòå ñ
ïîñòîÿííîé Ïëàíêà.
×åì áîëüøå ýíåðãèÿ E ÷àñòèöû, òåì äàëüøå ïðîíèêàåò îíà â êëàññè÷åñêè
çàïðåù¸ííóþ îáëàñòü äâèæåíèÿ. Åñëè ìû áóäåì óâåëè÷èâàòü ýíåðãèþ E,
ïðèáëèæàÿ å¸ ê U0, òî âåëè÷èíà x0 íåîãðàíè÷åííî ðàñò¸ò. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò
êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì î òîì, ÷òî ÷àñòèöà ñ ýíåðãèåé [pic] äîëæíà
áåñïðåïÿòñòâåííî ïðîõîäèòü ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð.
Ïîïðîáóåì îáíàðóæèòü ÷àñòèöó â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0, íàïðèìåð, ïîäñâåòèâ
å¸ ôîòîíîì. ×àñòèöà áóäåò ëîêàëèçîâàíà â ïðîñòðàíñòâå ñ òî÷íîñòüþ

[pic].

Ñîãëàñíî ïðèíöèïó íåîïðåäåë¸ííîñòåé Ãàéçåíáåðãà, ìû ñîîáùèì åé èìïóëüñ

[pic],

òî åñòü, ÷àñòèöà ïðèîáðåòàåò äîïîëíèòåëüíóþ ýíåðãèþ

[pic]

Âåëè÷èíà ýíåðãèè, ïîëó÷åííîé ÷àñòèöåé, ïîçâîëÿåò ïîñëåäíåé ïðåîäîëåòü
ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð. Òàêèì îáðàçîì, ïîäñâåòèâ ÷àñòèöó, ìû ìîæåì îáíàðóæèòü
å¸ â îáëàñòè, íåäîñòóïíîé äëÿ êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ; íî å¸ ýíåðãèÿ áóäåò
ïðåâûøàòü ïîðîãîâóþ.