Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_2_Quant_ther/Chapter_10/Chapter10.htm
Дата изменения: Fri May 11 04:30:15 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:49:26 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2 |
![]() |
Вернуться к оглавлению |
![]() |
Перейти к следующей главе![]() |
|
Выше мы познакомились с теми свойствами частиц, которые не наблюдаются в классической механике. К ним относятся: вырождение энергетических уровней в отсутствие внешних полей, дискретный спектр энергии в потенциальной яме и 'просачивание' частицы в классически недоступную область потенциального порога. В этой главе будет продолжено обсуждение чисто квантовых
явлений, имеющих отношение к атомной физике. Мы познакомимся с туннельным
эффектом - прохождением частицы сквозь потенциальный барьер конечной ширины.
Далее убедимся, что в потенциальной яме не всегда есть дискретные уровни
энергии, если глубина ямы ограничена. Наконец, в связи с эффектом Рамзауэра
будут решены задачи о рассеянии на потенциальном барьере и потенциальной яме. 10.1. Потенциальный
барьер Потенциальный барьер, в отличие от рассмотренного в предыдущей главе потенциального порога, имеет конечную ширину. График зависимости U(x) изображен синим цветом на рис. 10.1.1. ![]() Потенциальная энергия равна своему пороговому
значению U0 внутри
промежутка [0, L], а снаружи обращается
в нуль. Энергия налетающей частицы E отмечена
зеленой линией, как и на рис. 9.4.1. В предыдущей главе мы установили, что квантовую частицу
можно обнаружить и в области, запрещенной для классического движения. Хотя
вероятность обнаружения экспоненциально уменьшается по мере удаления от порога,
тем не менее, в точке x
= L она имеет некоторое отличное от
нуля значение. Следовательно, частица может проникнуть сквозь потенциальный барьер.
Такое явление называют 'туннельным эффектом'. Здесь мы напишем основную формулу туннельного эффекта в ее простейшем варианте, исходя из решения задачи о потенциальном пороге. А именно, будет рассмотрен случай сильного затухания проходящей волны на правой границе барьера: ![]() Если это условие выполнено, то
амплитуда отраженной волны невелика, и в первом приближении ее можно не
учитывать. Тогда ответ получается сразу. В области ![]() (обозначения соответствуют разделу 9.4 предыдущей главы). Подставляя сюда выражение для k2 из (9.4.7), получим окончательно ![]() Условие (1.2) выполняется, если показатель экспоненты велик по абсолютной величине. Формулу (1.3) можно обобщить на случай потенциального барьера произвольной формы. Если функция U(x) меняется от точки к токе, как это показано на рис. 10.1.2, то ![]() поступаем следующим образом.
Интервал ![]() В силу независимости отдельных элементарных событий, вероятность прохождения через весь барьер равна произведению ![]() В пределе разбиваем весь интервал на бесконечно малые промежутки dx и переходим от суммы к интегралу: ![]() Перейдем к изложению физических явлений, в которых имеет место туннельный эффект. Примеры туннельного эффектаСамыми известными проявлениями туннельного эффекта
являются ядерные реакции и холодная эмиссия металлов. 1. Синтез ядер. Впервые задачу о слиянии двух ядер
решил Гамов. Примером такой реакции является слияние двух ядер дейтерия в a-частицу: d(n, p) + d(n,
p) R
He(2p, 2n). Реакция синтеза - экзотермическая.
График потенциальной энергии взаимодействия ядер схематически приведен на рис. 10.1.3
синим цветом. ![]() Внутри ядра радиуса ![]() В точке 2 Распад ядра. Примером процесса, обратного синтезу
ядер, может служить a-распад: (1.4) (Z, A)
R
He(2p, 2n)+(Z-2,
A - 4). Здесь А - массовое число химического
элемента (суммарное число протонов и нейтронов в ядре), а Z - число протонов. Реакция (1.4) заключается в проникновении a-частицы сквозь потенциальный барьер из ядра в область
действия кулоновских сил. 3 Холодная эмиссия
металлов. Энергетические уровни электронов в металле ограничены сверху так называемой энергией Ферми EF. Электроны не покидают металл, так как находятся перед потенциальным барьером U0, обладающим практически бесконечной протяженностью. Этот барьер на правом чертеже рис.10.1.4 нарисован синей линией. Зеленым цветом помечена энергия Ферми, а черные линии изображают уровни энергии. ![]() В электрическом поле с
напряженностью E потенциальная энергия
U(x) линейно зависит от координаты x, отсчитываемой
от поверхности проводника: U = U0 - eEx. На правом рисунке зависимость U(x) обозначена
синим цветом. Эффективная толщина барьера становится конечной, и, как следствие, с поверхности металла
начинает выходить поток электронов. Аналогии из классической механики
Товарный поезд на рис.10.1.5 преодолевает сортировочную горку. Точечный объект был бы ![]() вынужден развить большую скорость, так как он весь сразу должен пересечь вершину. Но локомотив въезжает сначала сам, потом первый вагон, затем - второй и так далее. Таким образом, поезд 'перетекает' через горку по частям, как гусеница. Решение нестационарного уравнения Шредингера показывает, что эта аналогия частично соответствует картине преодоления барьера волновым пакетом, представляющим частицу. Первоначальный пакет разбивается на более мелкие, часть из них проходит через потенциальный барьер, а остальные - отражаются. 10.2. Потенциальная яма конечной глубины
Потенциальная яма прямоугольной формы схематически изображена на рис.10.2.1. ![]() Зависимость U(x)
выражается функцией ![]() Метод решения аналогичен примененному в предыдущих задачах, однако расчеты в данном
случае более громоздки. Отличие волновой функции и энергетических уровней от
тех, которые получаются в задаче о бесконечно глубокой потенциальной яме, мы
получим с помощью качественных рассуждений. Для этого мы сначала уточним
некоторые свойства одномерного уравнения Шредингера. Переписав его в форме ![]() убеждаемся, что знак y(x) совпадает со
знаком
Все они могут быть описаны
экспонентой ![]() с действительным параметром k, положительным или отрицательным. Как видно на рис.10.2.2, первый и четвертый варианты не годятся для физических приложений, так как они описывают функции с бесконечно возрастающим модулем при увеличении x. Выясним поведение волновой функции при E > U. На рис.10.2.3 приведены все варианты кривых с отрицательной кривизной. Они же перечислены в следующей
таблице:
Теперь для описания всех кривых подходит
функция ![]() Таким образом, при условии E > U реализуются осциллирующие решения, если же E < U, то волновая
функция экспоненциально затухает. Учет граничных условий - непрерывность
волновой функции вместе с ее первой производной - все это соответствует
одновременной подгонке амплитуды b в экспоненциальной форме и фазы j в представлении
гармонической функции. Вернемся к рассматриваемой задаче. Построим качественно
решение для случая E < U0. В центре, 0 < x < L, решение описывается гармонической
функцией, а по краям оно экспоненциально затухает. График волновой функции
схематически изображен на рис.10.2.4. Меняя фазу осцилляций и амплитуды
экспонент, мы сшиваем ![]() все три участка области изменения
волновой функции. Все эти операции аналогичны тем, что были выполнены в
предыдущей главе, когда мы решали задачу о частице, налетающей на потенциальный
порог. Рис. 10.2.4 аналогичен рис. 9.4.2. Сшивка возможна лишь в том случае,
если внутри ямы укладывается целое число полуволн. Таким образом, снова
получаем квантование энергетических уровней. Особенности решений для ямы конечной глубины
Яма конечной глубины объединяет в себе свойства бесконечно
глубокой ямы и потенциального барьера. Внутри ямы имеет место осциллирующее
решение, а при x < 0 и x > L волновая
функция 'просачивается' наружу. Выше мы получили, что величина просачивания
растет с уменьшением модуля разности |U0 - E|. Просачивание вызывает
растягивание узлов и, как следствие - снижение уровней энергии. Чем выше лежит уровень,
тем дальше за пределы отрезка (0, L)
уходит волновая функция. Это означает, что с увеличением квантового числа n в бóльшей
мере возрастает расстояние между узлами, а вместе с ним - и длина волны.
Напомним, что энергия обратно пропорциональна квадрату дебройлевской
длины волны: ![]() Следовательно, с ростом n уровни опускаются все глубже по
сравнению с их положением в яме с бесконечно высокими стенками. На рис. 10.2.5
изображены уровни энергии ![]() Еще одно важное свойство ямы
конечной глубины заключается в том, что у нее вообще могут отсутствовать
связанные состояния. Локализуем частицу в области Δx ~ L. Минимально
возможная энергия Emin связанного состояния
получается из соотношения неопределенностей, где точность локализации частицы
полагаем равной ширине ямы L: ![]() Отсюда следует ![]() Связанные состояния существуют, если ![]() то есть при выполнении неравенства ![]() Положение уровня определяется
произведением 10.3. Рассеяние на потенциальном пороге
Задача ставится следующим образом. Частица, двигаясь слева направо с энергией E, налетает на потенциальный барьер U0 < E, расположенный на рис. 10.3.1 в точке x = 0. График функции U(x), как и прежде, обозначим синим цветом, а энергию частицы - зеленым. В классической механике частица преодолевает порог, испытывая некоторое торможение на участке (0, L). Обсудим поведение квантовой частицы. Стрелками помечены ![]() амплитуда падающей волны (A), а также прошедшей (B) и отраженной (C) волн. Аналогичная задача уже была решена в четвертом разделе
предыдущей главы, но для случая, когда энергия частицы меньше высоты порога. Там
мы убедились, что существует вероятность проникновения частицы внутрь порога.
Здесь же мы увидим, что частица может испытать отражение, несмотря на то, что
ее энергия превышает высоту барьера. Приступим к решению задачи. По аналогии с разделом 9.4 введем
следующие обозначения: ![]() для области слева от барьера и ![]() справа от барьера. Очевидно, ![]() Слева от барьера волновая функция
равна сумме падающей и отраженной волн, ![]() в то время как справа от разрыва
распространяется только прошедшая волна: ![]() Граничные условия ![]() были выведены в разделе 9.4
предыдущей главы. Напомним, что они отражают отсутствие процессов рождения и
гибели частиц, а также ограниченность потенциала. С их помощью мы можем
выразить два неизвестных параметра в (3.2) через третий, например, так: ![]() ![]() Коэффициент отражения R равен отношению квадратов амплитуд
падающей и отраженной волн: ![]() Отсюда видно, что вероятность
отражения отлична от нуля при любом значении энергии налетающей частицы. В этом
проявляются ее квантовые свойства. Правда, при Аналогия с классической механикой наблюдается также при максимально
возможном понижении энергии частицы. Если величина E практически не отличается от высоты порога: Рассмотрим теперь иной вариант задачи: частица 'падает
из-за порога'. На рис.10.3.2
области слева и справа от разрыва
поменялись местами по сравнению с рис.10.3.1. Поэтому можно воспользоваться
решением предыдущей задачи, выполнив замену
Коэффициент отражения предыдущем случае. Однако, имеется и существенное различие. Легко убедиться, что знаки C и A в (3.3) одинаковы, а в (3.5) - противоположны. Таким образом, падающая и отраженная волны находятся в противофазе. В классической физике имеется аналог этого явления. В третьем разделе пятой главы приведена 'оптико-механическая аналогия': импульс частицы p или волновое число k являются аналогами показателя преломления n, причем n является растущей функцией k. Из оптики известно, что отражение от оптически более плотной среды (3.5) происходит без изменения фазы, а при отражении от менее плотной среды (3.3) фаза меняется на π. Итак, в первом случае (падение на порог) происходит потеря полуволны. Сбой фазы имеет важные последствия для рассеяния на потенциальной яме. В самом деле, потенциальную яму можно составить из двух порогов. Если между двумя разрывами укладывается целое число полуволн, то две отраженные волны компенсируют друг друга, и отраженная волна пропадает. Так как дебройлевская длина волны связана с импульсом частицы, то 'провал' отражения имеет место для частиц определенных энергий. Рассмотрим рассеяние на потенциальной яме подробнее. 10.4. Рассеяние на потенциальной яме
Задача предыдущего раздела позволит нам понять интересные
квантовые эффекты, имеющие место при рассеянии на потенциальной яме. На рис.
10.4.1 присутствуют амплитуды уже пяти волн: ![]() A - падающей, B - прошедшей через первый барьер, D - отраженной от первого барьера, F - отраженной от второго барьера, C - прошедшей через второй барьер. Амплитуда F с точностью до потерь на отрезке (0, L) равна D по модулю и
противоположна по знаку. Если на ширине ямы укладывается целое число полуволн,
то в области Рассматриваемая задача имеет строгое решение. Бросаем на
потенциальную яму волну с амплитудой A и
записываем выражения для волновой функции на трех участках:
Параметры k1 и k2
определены в (3.1). Граничные условия для волновой функции на двух границах ![]() приводят к системе из четырех линейных
уравнений с пятью неизвестными. Все искомые амплитуды можно выразить через одну
из них, например через A. Опуская
простые, но длинные вычисления, приведем окончательное выражение для
коэффициента отражения: ![]() Из этого соотношения вытекает, что
коэффициент отражения обращается в нуль не только в уже известном нам случае
больших энергий налетающей частицы. Отражение отсутствует также, когда ширина
ямы равна целому числу полуволн и волны, отраженные от двух краев ямы, гасят друг
друга: ![]() Полученный результат объясняет так называемый эффект Рамзауэра, наблюдаемый при упругом рассеянии электронов на атомах благородных газов: аргона, криптона и ксенона. Он заключается в том, что вероятность рассеяния резко уменьшается при некоторых значениях энергии электрона, как это схематически показано на рис. 10.4.2. ![]() Наличие 'провала' можно объяснить
следующим образом. Атом инертного газа представляет собой компактное
образование (заполненные подоболочки).
Так что потенциал взаимодействия в грубом приближении можно заменить
потенциальной ямой с резко очерченными краями. При определенных значениях
энергии электрона Em на отрезке длиной L может уложиться целое число полуволн.
Две волны, отраженные от краев ямы, гасятся, и электрон пролетает свободно, не
испытывая взаимодействия. |
![]() |
Вернуться к оглавлению |
![]() |
Перейти к следующей главе![]() |