Устойчивость любой системы в атомных масштабах вытекает из принципа неопределенностей Гайзенберга (четвертый раздел седьмой главы). Поэтому последовательное изучение свойств атома возможно только в рамках квантовой теории. Тем не менее, некоторые результаты, имеющие важное практическое значение, можно получить и в рамках классической механики, приняв дополнительные правила квантования орбит.

В этой главе мы вычислим положение энергетических уровней атома водорода и водородоподобных ионов. В основу расчетов положим планетарную модель, согласно которой электроны вращаются вокруг ядра под действием сил кулоновского притяжения. Полагаем, что электроны движутся по орбитам круговой формы.

13.1. Принцип соответствия

Квантование углового момента применяется в модели атома водорода, предложенной Бором в 1913г. Бор исходил из того, что в пределе малых квантов энергии результаты квантовой теории должны соответствовать выводам классической механики. Он сформулировал три постулата.

1.       Атом может длительное время находиться только в определенных состояниях с дискретными уровнями энергии E_i. Электроны, вращаясь по соответствующим дискретным орбитам, движутся ускоренно, но, тем не менее, они не излучают. (В классической электродинамике излучает всякая ускоренно движущаяся частица, если она имеет отличный от нуля заряд).

2.       Излучение исходит либо поглощается квантами при переходе между энергетическими уровнями:

                              

3.       Принцип соответствия. Он гласит, что при переходе между высокими (n >> 1) соседними орбитами n и n + 1, частота ω_n,n+1 излучаемого кванта энергии равна частоте ω_n вращения электрона на n-й орбите.

Из этих постулатов вытекает правило квантования момента вращения электрона

(1.1)           M = n·ħ,

где n может быть равен любому натуральному числу:

(1.1a)           n = 1, 2, 3,…

Параметр n называется главным квантовым числом. Для вывода формул (1.1) выразим энергию уровня через момент вращения. В спектроскопии часто важно знать энергии уровней с пятью-восемью верными знаками, поэтому необходимо учесть движение ядра. Для его учета вводится понятие приведенной массы.

13.2. Приведенная масса

Электрон движется вокруг ядра под действием электростатической силы

где r- вектор, начало которого совпадает с положением ядра, а конец указывает на электрон. Напомним, что Z - это атомный номер ядра, а заряды ядра и электрона равны, соответственно Ze и -e. По третьему закону Ньютона, на ядро действует сила, равная -f (она равна по модулю и направлена противоположно силе, действующей на электрон). Запишем уравнения движения электрона

и ядра

 

Введем новые переменные: скорость электрона относительно ядра

и скорость центра масс

 

 

Сложив (2.2a) и (2.2b), получим

 

 

Таким образом, центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно. Теперь поделим (2.2b) на m_Z и вычтем его из (2.2a), деленного на m_e. В результате получается уравнение для относительной скорости электрона:

 

 

Входящая в него величина

 

называется приведенной массой. Таким образом, задача о совместном движении двух частиц - электрона и ядра - упрощается. Достаточно рассмотреть движение вокруг ядра одной частицы, положение которой совпадает с положением электрона, а ее масса равна приведенной массе системы.

13.3. Связь между энергией и моментом вращения

Сила кулоновского взаимодействия направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, а ее модуль зависит только от расстояния r между ними. Следовательно, уравнение (2.5) описывает движение частицы в центрально-симметричном поле. Важным свойством движения в поле с центральной симметрией является сохранение энергии и момента вращения.

Запишем условие, что движение электрона по круговой орбите определяется кулоновским притяжением к ядру:

 

 

Из него следует, что кинетическая энергия

 

 

равна половине потенциальной энергии

 

 

взятой с обратным знаком:

 

Полная энергия E, соответственно, равна:

^.

 

Она получилась отрицательной, как и должно быть для устойчивых состояний. Состояния атомов и ионов с отрицательной энергией называются связанными. Умножив уравнение (3.4) на 2r и заменив в левой части произведение mVr на момент вращения M, выразим скорость V через момент:

^.

Подставляя полученное значение скорости в (3.5), получим искомую формулу для полной энергии:

 

Обратим внимание на то, что энергия пропорциональна четной степени момента вращения, поэтому E(-M) = E(M). В теории Бора этот факт имеет важные следствия.

13.4. Квантование момента вращения

Второе уравнение для переменных V и r мы получим из правила квантования орбит, вывод которого выполним, исходя из постулатов Бора. Дифференцируя формулу (3.5), получаем связь между малыми изменениями момента и энергии:

 

^.

Согласно третьему постулату, частота излучаемого (или поглощаемого) фотона равна частоте обращения электрона на орбите:

^.

 

Из формул (3.4), (4.2) и связи

 

между скоростью, моментом вращения и радиусом вытекает простое выражение для изменения момента импульса при переходе электрона между соседними орбитами:

 

Интегрируя (4.3), получаем

 

^.

 

Константу C будем искать в полуоткрытом интервале

 

^.

 

Двойное неравенство (4.5) не вносит никаких дополнительных ограничений: если С выходит за пределы (4.5), то ее можно вернуть в этот интервал, просто перенумеровав значения момента в формуле (4.4).

Физические законы одинаковы во всех системах отсчета. Перейдем от правовинтовой системы координат к левовинтовой. Энергия, как всякая скалярная величина, при этом останется прежней,

 

^.

 

Иначе ведет себя аксиальный вектор момента вращения. Как известно, всякий аксиальный вектор при выполнении указанной операции меняет знак:

 

 

Между (4.6) и (4.7) нет противоречия, так как энергия, согласно (3.7), обратно пропорциональна квадрату момента и остается прежней при смене знака M.

Таким образом, набор отрицательных значений момента должен повторять набор его положительных значений. Иными словами, для каждого положительного значения M_n обязательно должно найтись равное ему по модулю отрицательное значение M_-m:

 

 

Объединяя (4.4) - (4.8), получаем линейное уравнение для С:

 

^,

 

с решением

 

^.

 

Легко убедиться, что формула (4.9) дает два значения константы С, удовлетворяющие неравенству (4.5):

^.

n		-3	-2	-1	0	+1	+2	+3
C=0		-3	-2