Проблема атома водорода и водородоподобных ионов не исчерпывается моделью кулоновского поля. Различные физические факторы приводят к частичному снятию вырождения по орбитальному квантовому числу. В этой главе мы рассмотрим два из них: спин-орбитальное взаимодействие и увеличение массы движущегося электрона. Для учета первого процесса необходимо ввести понятие внутреннего магнитного момента электрона, тесно связанного с его собственным механическим моментом, или спином. Внутренний момент был открыт в специально поставленных опытах по исследованию магнитомеханических явлений. По своим проявлениям он значительно отличается от рассмотренного в двенадцатой главе орбитального момента.

18.1. Магнитомеханические явления

Движущийся по замкнутой орбите электрон, подобно электрическому току, возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле, равное полю магнита с моментом

 

^,

 

где S - площадь, охватываемая орбитой электрона, а τ - период обращения. Энергия взаимодействия атома с магнитным полем определяется напряженностью поля Н и магнитным моментом атома μ. Перепишем формулу (1.3.3) первой главы:

 

^.

 

В силу пропорциональности магнитного и механического моментов это означает зависимость энергии от проекции орбитального момента, или, иными словами, - снятие вырождения по магнитному квантовому числу. Перейдем к количественному описанию в рамках классической механики.

Площадь кеплерова эллипса можно выразить через момент вращения

 

^,

 

откуда следует связь между модулями механического и магнитного моментов электрона:

 

^.

 

Магнитный момент любой заряженной частицы направлен вдоль той же прямой, что и механический, причем у частицы с отрицательным зарядом - в противоположную сторону. Величина

 

 

называется гиромагнитным отношением. Из (1.1) следует, что в случае орбитального движения электрона его гиромагнитное отношение равно

 

 

Все полученные здесь результаты могут быть кратко изложены в векторной форме:

 

 

Знак перед γ определяется зарядом частицы. Например, у электрона он отрицательный. Отметим, что (1.4) непосредственно получается из общих определений механического и магнитного моментов:

 

Здесь m — масса частицы, q - ее заряд (для электрона m = m_e, q = -e).

Наличие связи между механическим и магнитным моментами неоднократно проверялось в разных экспериментах. На рис.18.1.1 схематически изображен опыт Эйнштейна и де Гааза.

 

 

 

Стержень из вещества с парамагнитными свойствами подвешивался на кварцевой нити с прикрепленной к ней зеркальцем. Стержень помещался внутри катушки, по которой пропускали переменный ток. Зеркало освещается узконаправленным пучком света, который отражается на экране в виде светового пятна. Если частота тока совпала с частотой крутильных колебаний, то пятно расплывается в полоску света. Этот опыт показал, что электроны обладают одновременно магнитным и механическим моментами.

Барнетт выполнил в некотором смысле обратный эксперимент. В нем раскручивался, а потом быстро останавливался проводящий цилиндр. В момент остановки в образце появлялся электрический ток.

Магнитный момент квантуется аналогично механическому. Подставляя в (1.1) условие квантования (15.1.7) и меняя обозначение n_φ на m_l, получим

 

 

Знак здесь, в отличие от (1.4), не имеет значения, так как квантовое число m_l принимает равные по модулю положительные и отрицательные значения.

Таким образом, магнитный момент стационарной орбиты является целым кратным от магнетона Бора (1.3.4). В силу (1.4) связь между абсолютной величиной и проекцией момента (12.3.5), распространяется и на магнитный момент атома. Следовательно, проекция вектора μ на направление внешнего магнитного поля может иметь 2l+1 значение.

 

 

Сказанное иллюстрирует рис.18.1.2.

Важную роль в развитии атомной физики сыграли опыты Штерна и Герлаха по исследованию отклонения атомных пучков в неоднородном магнитном поле. Схема опыта приведена на рис.18.1.3. В сосуде, где создан глубокий вакуум, печка K испускает атомы некоторого химического элемента. С помощью диафрагм B и B' создается резко ограниченный

 

 

пучок. Прежде чем попасть на фотопластинку P, пучок проходит через неоднородное магнитное поле, создаваемое электромагнитом со специально профилированными наконечниками N и S. Сила, действующая на атом,

 

,

 

согласно (1.3.3), зависит от угла между H и m. Следовательно, пучок должен расщепиться на 2l+1 компоненту.

Опыты Штерна и Герлаха действительно обнаружили расщепление атомного пучка и, тем самым, подтвердили квантование момента. Они же показали, что атомы иногда проявляют свойства, необъяснимые в модели орбитального момента. В экспериментах с водородом, щелочными металлами, серебром, золотом отсутствовала несмещенная компонента, и число пучков оказывалось равным двум, то есть, четным. У всех перечисленных элементов собственный орбитальный момент равен нулю, поэтому следовало ожидать только одной - несмещенной компоненты. Кроме того, расстояние между следами пучков на фотопластинке в этих случаях становилось вдвое больше.

 

 

На рис. 18.1.4 приведены два случая. Слева - расщепление, объясняемое в модели орбитального момента при l=2: видно пять компонент с несмещенным пучком в центре. Справа - расщепление на два пучка, причем тому же самому значению магнитного поля отвечает вдвое бóльшее расстояние между ними, чем на левом рисунке.

18.2 Внутренний момент электрона

 

Четное число проекций момента возможно только в том случае, если его абсолютная величина имеет полуцелое значение. В 1925 г. Уленбек и Гаудсмит предложили гипотезу спина, или внутреннего момента электрона. По аналогии с l введем безразмерный вектор s, абсолютная величина которого может быть равна нулю и положительному целому либо полуцелому числу:

 

(2.1)       s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, :

 

Целому значению s, как и l, соответствует нечетное число проекций, среди которых обязательно присутствует компонента, равная нулю. В случае полуцелого спина набор проекций получается четным, и нулевой компоненты нет. Результаты опытов Штерна и Герлаха для перечисленных выше элементов получают свое объяснение при s = ½.

Гиромагнитное отношение электрона γ_e в случае внутреннего момента вдвое больше, чем для орбитального:

 

(2.2)       μ = -2μ₀s.

 

Спин - новая характеристика частицы, наряду с массой и зарядом. Он является более фундаментальной величиной, чем орбитальный момент, который может принять разные значения, в зависимости от условий эксперимента. Спин любой частицы всегда сохраняет свое значение, меняться может лишь его проекция на выбранное направление.

Итак, внутренний механический момен