Глава 8. Радиоастрономия и космология

8.1. Основные сведения о космологических моделях

8.2. Статистические подсчеты радиоисточников. Зависимость logN-logS

8.1. Основные сведения о космологических моделях

Основной наблюдательный параметр, имеющий отношение к крупномасштабной структуре Вселенной и к ее моделям - постоянная Хаббла H₀. Согласно закону Хаббла, для объектов на больших расстояниях их скорости удаления от наблюдателя пропорциональны расстояниям: v = H₀l. По современным определениям, большинство исследователей принимает величину H₀ = = 75 км/(с×Мпк). Обратная величина t = H₀^-1 = 1.3ћ10¹⁰ лет - 'возраст' Вселенной (т.е. время, прошедшее с начала расширения, если расширение шло с постоянной скоростью).

Космологические модели описываются зависимостью масштабного фактора от времени R(t). Масштабный фактор вводится через величину четырехмерного линейного элемента

ds² = c²dt² - R²(t)du², (8.1)

du - элемент расстояния в сопутствующей трехмерной системе координат. Сопутствующей называется система, покоящаяся относительно вещества, находящегося в ближайшей окрестности. Введем сферическую систему координат (r, q, j) с началом в некоторой точке, покоящейся относительно вещества. Тогда, при условии однородности и изотропности

(8.2)

где r - безразмерное расстояние, k - индекс кривизны. Индекс k принимает значения -1, 0, +1: k =-1 - Вселенная с отрицательной кривизной (двумерный аналог - седло или псевдосфера), k = 0 - плоская Вселенная (называемая также Вселенной Эйнштейна-де Ситтера), k = +1 - Вселенная с положительной кривизной (аналог - сфера).

Параметр R(t) характеризует "размер" Вселенной для данного момента времени t. Он входит в дифференциал расстояния dl между двумя наблюдателями, безразмерные радиальные координаты которых отличаются на dr:

при r << 1 l @ R(t)r. (8.3)

Если k = 0 и R(t) = const, то имеем плоское евклидово простран-ство.

Относительная скорость двух наблюдателей

(8.4)

т.е. выражается законом Хаббла.

Движение фотона в этой системе происходит по геодезической линии, которая определяется уравнением ds² = 0:

(8.5)

Если фотон излучается в отдаленной точке r_e в момент времени t_e, то он придет к наблюдателю, находящемуся в точке r = 0, в момент t₀. Момент t₀ определяется из уравнения геодезической

(8.6)

где - обратная гиперболическая функция (ареа-синус). Таким образом, момент времени t₀ зависит только от r_e. Пусть наблюдаемый источник излучает монохроматическую волну и один гребень волны излучен в момент t_e, а следующий (через один период) - в момент t_e + Dt_e; первый гребень придет в точку r = 0 в момент t₀, а следующий - в момент t₀ + Dt₀. Из уравнения геодезической

(8.7)

Если за период волны R(t) не успеет заметно измениться, то

(8.8)

и изменение частоты фотона составит

(8.9)

Если R(t) растет со временем (Вселенная расширяется), то z > 0, l растет, и наблюдается красное смещение. Таким образом, красное смещение - естественное следствие эволюции Вселенной.

Эволюция фактора R(t) выводится из уравнений гравитационного поля. Предполагается, что известна средняя плотность вещества во Вселенной r. Приведем без вывода некоторые соотношения

(8.10)

для настоящего момента времени