I. Основные понятия теории излучения

Описание поля излучения основано на представлении об интенсивности, как энергии, протекающей перпендикулярно плоской поверхности единичной площади за единицу времени в заданном направлении в избранном интервале частот. Полное определение интенсивности требует предварительного введения некоторых понятий.

1.1 Контрольная площадка

Назовем контрольной площадкой плоскую поверхность S небольших размеров, через которую проходит излучение. Обозначим через DS ее площадь, а n - перпендикулярный ей единичный вектор. Под направлением площадки, как обычно, будем понимать направление вектора n. Контрольная площадка может иметь физическую границу, как участок поверхности планеты. Но ее можно вообразить мысленно, например, внутри атмосферы некоторой звезды. Площадка может быть заполнена веществом, которое поглощает падающее на него излучение и переизлучает его в другом направлении. Но ее можно представить и совершенно прозрачной, даже лишенной вещества. Важно только, что через площадку проходит излучение. Направление излучения характеризуется двумя величинами: вектором k и телесным углом DW вокруг него.

1.2 Телесный угол

Опишем сферу радиуса R вокруг точки О, в которой расположен наблюдатель. На поверхности сферы выделим участок S площадью S. Отношение

называется телесным углом, под которым видна поверхность S из точки О. Диапазон DW является необходимым элементом определения интенсивности. Дело в том, что количество энергии, протекающей в любом точно фиксированном направлении (DW=0), равно нулю.

Правда, есть одно исключение - точечные источники. В астрономии понятие точечного источника является весьма важным: к ним принадлежат все звезды, кроме Солнца, а также некоторые другие источники излучения. К точечным источникам мы относим все объекты, угловые размеры которых меньше разрешения применяемой аппаратуры. Поэтому для малых телескопов протяженный объект может выглядеть как точечный. Вернемся к определению интенсивности. Величина DW должна быть настолько мала, чтобы излучение не менялось заметным образом внутри выделенного телесного угла. Если это условие выполнено, то энергия DE, прошедшая сквозь контрольную площадку в заданном направлении, пропорциональна . Иногда говорят просто об излучении в определенном направлении, неявно подразумевая некоторую величину телесного угла.

 

1.3 Интенсивность

Определение интенсивности содержит несколько моментов, каждый из которых полезно изложить отдельно. Сначала развернем площадку вдоль вектора k, затем рассмотрим произвольное направление и, наконец, обсудим соглашение о знаке проходящей через площадку энергии.

Интенсивность в направлении контрольной площадки

Излучение на рис.3 проходит в направлении вектора n. Величину DS положим настолько малой, что излучение можно считать однородным вдоль площадки. Будем вести наблюдение в течение столь короткого промежутка времени, что никакие его характеристики не успевают измениться. В таких условиях количество энергии, протекшей через площадку, пропорционально произведению DS×DW×Dt. поэтому отношение

не зависит от размеров контрольной площадки, продолжительности измерения и выбранного угла раствора. Иными словами, оно характеризует именно поле излучения в направлении вектора n.

Интенсивность в произвольном направлении

Обозначим посредством q угол между векторами k и n. В силу произвольности их относительного расположения, он может принимать любое значение между нулем и p. Рассуждения предыдущего раздела отвечают случаю q=0. Мы исключаем ситуацию, когда векторы k и n перпендикулярны (q=p/2), так как вопрос о протекании энергии вдоль ребра площадки лишен смысла. Таким образом, мы приходим к диапазону

Величина энергии, протекшей сквозь площадку при фиксированном поле, пропорциональна площади ее проекции на плоскость волнового фронта:

На рис.4 образующая горизонтального цилиндра направлена вдоль вектора k. Строго говоря, мы должны были нарисовать не цилиндр, а усеченный конус с некоторым телесным углом DW, но для иллюстрации формулы (3.2) это не имеет значения. Контрольные площадки представляют собой сечения цилиндра наклонными плоскостями. Все площадки мы видим с ребра. Стрелками обозначено направление вектора n каждой площадки. Внутри цилиндра протекает одна и та же энергия, независимо от направления площадок. Величина DE пропорциональна вертикальному сечению цилиндра. Следовательно, отношение

уже не зависит от направления контрольной площадки и может быть принято в качестве характеристики поля излучения в данном направлении.

Интенсивностью называется предел отношения (3.3), когда Dt, DS и DW стремятся к нулю:

Ниже, в десятом разделе этой главы мы уточним последнее определение, включив зависимость интенсивности от частоты или от длины волны излучения.

Интенсивность может зависеть от времени, от положения точки в пространстве и от направления. Если поле излучения не меняется во времени, то оно называется стационарным. В этом случае интенсивность от времени не зависит. Аналогично, интенсивность не зависит от пространственных координат в случае однородного поля излучения и не зависит от направления, если поле излучения изотропно.

Соглашение о знаке энергии

Интенсивность всегда считается положительной величиной, то есть DE cosq > 0. В то же время cosq может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Это заставляет нас приписывать определенный знак проходящей через площадку энергии:

.

Если θ - острый угол, то говорят об "исходящем" из площадки излучении (ΔE > 0). В противном случае считают, что излучение "входит" в нее. Этой терминологии мы будем придерживаться в дальнейшем. Правда, нужно помнить, что она условна, так как определяется выбором знака направления вектора n. Сменив направление n на противоположное, мы превращаем "входящее" излучение в "исходящее" и наоборот.

1.4 Поток

Поток является мерой полной энергии, протекающей через контрольную площадку. Разобьем полный телесный угол 4π на N участков малого размера:

.

Далее, измерим энергию E_i, которая проходит через площадку в каждом направлении ΔΩ_i, и найдем сумму

с учетом соглашения (3.5) о знаке ΔE_i. В пределе (4.1) превращается в интеграл

по всем направлениям с учетом знака dE. Во время суммирования по углам мы полагали величины DS и Dt настолько малыми, что энергия DE пропорциональна произведению DS×Dt.

Потоком F называется предел отношения

при стремящемся к нулю знаменателе:

Сопоставляя определения интенсивности (3.4) и потока (4.2), приходим к важной формуле

выражающей поток через интенсивность.

Отметим отличие интенсивности от потока. Хотя понятие интенсивности мы ввели с помощью контрольной площадки, тем не менее, интенсивность является характеристикой только поля излучения и никак не зависит от измерительного прибора. Мы говорим об интенсивности излучения в произвольно выбранном направлении, не уточняя, как именно расположен измерительный прибор. Наоборот, бессмысленно говорить о 'потоке в некотором направлении', так как при его вычислении выполняется суммирование по всем углам. Правда, величина потока зависит от направления контрольной площадки. Но мы всегда будем предполагать, что контрольная площадка S направлена вдоль луча зрения на источник света.

1.5 Поле излучения источника малых угловых размеров

В астрономических приложениях часто нужно знать интенсивность и поток излучения, создаваемого источником, угловой размер которого мал. Например, радиус Солнца равен 15΄ = 4.36∙10^-3 рад. Характеристики излучения изотропного и однородного источника малых угловых размеров могут быть найдены сравнительно простым путем. На рис. 5 источник света, линейный радиус которого равен R, расположен на большом расстоянии r>>R от наблюдателя. При малых угловых размерах справедливо

и угловой радиус источника равен

.

Последняя формула справедлива, если мы пренебрегаем различием длин дуги и стягивающей ее хорды. Площадь, занимаемая источником на сфере, в том же приближении можно оценить как pR², откуда стягиваемый им телесный угол W₀, согласно определению (1.1), получается равным

.

Светимость источника обозначим L. Через поверхность сферы радиуса r, центр которой совпадает с источником излучения, за единицу времени проходит количество энергии, равное L, а через единицу поверхности, соответственно, L/4πr². Согласно приведенному выше определению, эта величина и есть поток излучения F:

.

При выводе этой формулы мы воспользовались предположением об изотропии источника излучения.

Перейдем к вычислению интенсивности. Согласно предположению об однородности, с любого участка единичной площади, расположенного на поверхности источника в единицу времени исходит одна и та же энергия, которую мы обозначим I₀. Вне диска источника излучения нет. В силу его малых угловых размеров, мы можем полагать величину cosθ равной единице при θ < θ₀. В этом случае (4.3) сводится к

 

.

Из (5.1) - (5.3) получаем явное выражение для I₀:

.

Теперь мы можем записать окончательную формулу для интенсивности как функции направления:

 

_,

где I₀ дается формулой (5.4).

Интенсивность и поток по‑разному описывают изменение поля излучения по мере удаления источника. Как следует из (5.2), поток уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния r. Амплитуда интенсивности I₀, согласно (5.4), от расстояния не зависит, но уменьшается диапазон углов θ₀, в котором интенсивность отлична от нуля.

Точечный источник излучения

Чтобы перейти к случаю точечного источника, надо радиус R устремить к нулю. В результате амплитуда I₀ из (5.4) становится неограниченно большой, а область, в которой интенсивность отлична от нуля, согласно (5.5), стягивается в точку. Таким образом, для описания точечного источника интенсивность оказывается неудобным инструментом, и ею следует пользоваться только для протяженных источников.

Понятие потока лишено такого недостатка. В формулу (5.2) входит только одна характеристика источника - светимость L. Поток не зависит от радиуса объекта, поэтому он применим равно как для протяженных, так и для точечных источников излучения.

Итак, в случае протяженного источника мы можем измерить интенсивность и поток излучения, а в случае точечного - только поток.

1.6 Средняя интенсивность и плотность энергии

Средняя интенсивность J определяется как деленный на 4π интеграл от интенсивности по всем направлениям:

В случае изотропного поля излучения интенсивность как постоянную величину можно вынести за знак интеграла. Учитывая, что телесный угол полной сферы равен 4π, получим

Средняя интенсивность, в отличие от потока, не зависит от направления контрольной площадки, так как мы суммируем именно интенсивность, а не прошедшую через площадку энергию.

Важной характеристикой излучения является плотность энергии U. По своему смыслу она не зависит от направления. Но для ее вычисления введем промежуточную величину U_Ω -плотность энергии квантов летящих в направлении k внутри конуса с телесным углом ΔΩ. За время Dt через площадку DS, расположенную перпендикулярно рассматриваемому направлению, проходит количество энергии, равное произведению UΩ на объем параллелепипеда площадью DS и высотой cDt, где с - скорость света. Воспользовавшись (3.4), получим

Проинтегрировав последнее выражение по всем направлениям, приходим к окончательному результату:

Таким образом, средняя интенсивность связана с плотностью энергии излучения.

1.7 Интегрирование по угловым переменным.

В разделе 1.5 мы нашли связь между интенсивностью и потоком, не выполняя вычислений интегралов по направлениям. Нам это удалось сделать в силу единственной причины: источник излучения предполагался настолько малым, что мы могли принять sinθ ≈ θ и cosθ ≈ 1. Но в случае источника произвольных размеров необходимо развить математический аппарат, позволяющий нам фактически выполнить интегрирование в (4.3) и других подобных выражениях.

Сферическая система координат

Вычисление интеграла типа (4.3) требует введения системы координат на сфере. Отсчет углов производится от большого круга PQ, называемого 'нулевым меридианом', и от точки P на нем, называемой 'полюсом'. На рис.6 изображена сфера с центром в точке О, полюсом Р и нулевым меридианом. Большой круг E означает экватор. Плоскость экватора проходит через центр сферы перпендикулярно радиусу OP. Экватор пересекает нулевой меридиан в точке Q.

Пусть M - произвольная точка на сфере. Проведем через P и M меридиан (большой круг) и обозначим как R его точку пересечения с экватором, а θ - угол между OP и OM. Использование той же буквы, что и для угла между введенными выше векторами k и n является традиционным и не приводит к путанице. Более того, в проводимых ниже расчетах мы будем выбирать систему отсчета таким образом, что OP и OM действительно будут иметь смысл n и k. Плоскость экватора при этом совпадает с контрольной площадкой. Угол θ принимает значения из диапазона

.

Если точка M находится в верхней полусфере (как на рис.6), то θ<π/2, а если в нижней, то θ>π/2. Положению M на экваторе отвечает θ=π/2, на 'северном' (P) полюсе θ=0, а на 'южном' θ=π.

Направление нулевого меридиана PM определяется углом φ, отсчитываемом в плоскости экватора между OQ и OT:

.

Итак, положение любой точки на сфере можно задать с помощью углов θ и φ, изменяющихся в диапазоне (7.1).

Элемент телесного угла

Выразим элемент телесного угла ΔΩ через интервалы линейных углов Δθ и Δφ. На рис.7 сферический прямоугольник ABCD образован пересечением двух меридианов сферы радиуса R с двумя параллелями - малыми кругами, параллельными экватору. Будем считать его размеры AB и BC настолько малыми, что по форме он близок к плоскому прямоугольнику, следовательно, его площадь ΔS приблизительно равна произведению прилежащих сторон a=AB и b=BC. Введем обозначение Δθ для угла между радиусами OA и OB. Длина дуги AB равна R∙Δθ. Обозначим посредством F точку пересечения малого круга BC и оси OP. Радиус R_θ параллели BC равен

,

откуда

,

где Δφ - угол между FB и FC. Таким образом,

.

Устремив Δθ и Δφ к нулю и следуя определению телесного угла, окончательно получим

.

Во всех решаемых нами задачах мы ограничимся изотропными источниками. Их поле излучения обладает достаточно высокой степенью симметрии. По крайней мере, оно всегда цилиндрически симметрично, если полюс P сферической системы координат направлен в центр источника. Направление нулевого меридиана можно выбирать произвольно, так как при таком выборе системы координат интенсивность не зависит от азимутального угла j. Поэтому интегрирование по j в данном случае сводится просто к умножению на 2p. В дальнейшем мы будем считать, что система отсчета выбрана именно таким образом. Следовательно, интенсивность зависит только от азимутального угла q, а при интегрировании по телесному углу справедливо равенство

.

Ниже мы будем всегда пользоваться простой формулой (7.3), предполагая выполненными условия ее применимости.

1.8. Поток - мера анизотропии интенсивности

Излучение, как уже говорилось выше, называется изотропным, если его интенсивность не зависит от направления:

,

где I₀ - некоторое число.

Поток изотропного излучения через любую площадку равен нулю. Это утверждение станет очевидным, если мы выберем следующий способ суммирования энергии в (4.1). Для каждого направления сложим количество энергии, протекающей в положительную и отрицательную стороны. По предположению, они одинаковы, следовательно, их сумма равна нулю. Таким образом, мы разбили сумму (4.1) на нулевые слагаемые, значит, и полный поток равен нулю.

В равенстве нулю полного потока излучения можно убедиться и путем прямого вычисления по формуле (7.3). Вынося константу I₀ за знак интеграла, получим

.

Равенство нулю потока является необходимым, но не достаточным условием изотропии излучения. Рассмотрим, например, функцию

.

Она описывает анизотропное излучение. Однако поток равен нулю:

.

Это произошло в силу следующей причины. Мы подобрали направление контрольной площадки таким образом, что интенсивность в обоих направлениях вдоль вектора n одинакова:

.

При любом другом выборе n поток будет отличен от нуля. Следовательно, заключение о степени изотропии излучения можно сделать только после измерения потока при всех возможных направлениях контрольной площадки.

1.9 Граница изотропного источника и астрофизический поток

Пусть источник представляет собой полупространство, ограниченное плоскостью G. Будем считать, что внутри источника поле излучения является изотропным, а входящее в него справа излучение отсутствует. Таким образом, справа от границы G излучение является анизотропным. Направим вектор n перпендикулярно границе G, как на рис.8, и запишем интенсивность как функцию угла θ:

 

.

Такая модель лежит в основе теории звездных атмосфер. Вычисление потока проводим по формуле (7.3):

.

Формула, связывающая поток и амплитуду интенсивности для границы плоскопараллельной атмосферы

,
часто используется в другой форме. Ведем величину

.

Ее принято называть 'астрофизическим потоком'. Формула (9.2) теперь принимает совсем простой вид:

.

Подчеркнем, что (9.2) и (9.4) ни в коем случае не есть связь между интенсивностью и потоком. Это следует хотя бы из того, что поток - это число, а интенсивность - функция угла. Равенство числа и функции возможно только в том случае, если функция сводится к постоянной величине. Но интенсивности, равной I₀ во всех направлениях, соответствует поток, равный нулю. Соотношения (9.2) и (9.4) между потоком и амплитудой анизотропной интенсивности справедливы именно для функции I(θ) из (9.1). Для краткости иногда пишут, что 'астрофизический поток на границе излучающего тела равен интенсивности', подразумевая сказанное выше.

1.10 Спектральные характеристики излучения

Перейдем к изучению интенсивность как функции частоты. Для этого вернемся к определению (3.3). Помимо всех указанных там характеристик, будем полагать, что проходящая через контрольную площадку энергия ΔE сосредоточена в некотором интервале частот Δν, настолько узком, что величина ΔE пропорциональна Δν. Коэффициент пропорциональности I_ν называется интенсивностью, рассчитанной на единичный интервал частот:

.

Аналогично можно ввести I_λ - интенсивность в единичном интервале длин волн:

.

 

Связь между I_ν и I_λ сдует из условия

_,

Интервалы длин волн и частот связаны друг с другом соотношением

,

которое вытекает из известной формулы

,

где c - скорость света. Знак модуля в (10.2) и (10.3) присутствует по следующей причине. Дифференцирование (10.3) дает

,

то есть изменения длины волны и частоты имеют разные знаки. Поэтому знак модуля в (10.1) раскрывается как

.

Ниже нам часто придется иметь дело с интенсивностью в пределах некоторого диапазона частот, например, от ν₁ до ν₂. Обозначим ее ΔI(ν₁, ν₂):

.

Ясно, что выполнив интегрирование по длинам волн, мы получим тот же самый результат

при условии, что пределы интегрирования связаны формулой (10.3).

 

Различие положение максимумов I_ν и I_λ

На достаточно большом спектральном интервале функции I_λ и I_ν зависят от частоты (или от длины волны) немонотонно: они возрастают в области малых частот, проходят через максимум и далее убывают. Нелинейность связи между частотой и длиной волны приводит к тому, что положения максимумов I_λ и I_ν различаются. Покажем это двумя способами, выбрав сначала более наглядный. На рис.9 диапазон частот вблизи максимума I_ν разбит на равные промежутки Δν. В этой области спектра величина I_ν почти не меняется от интервала к интервалу. Но в силу нелинейной связи (10.3) одинаковым частотным интервалам соответствуют уменьшающиеся с частотой промежутки длин волн Δλ. В самом деле, согласно (10.4) имеем:

.

Итак, уменьшение интервала длин волн в области максимума I_ν сопровождается увеличением I_λ. Следовательно, максимум I_λ приходится на бόльшие частоты, чем максимум I_ν.

Тот же самый результат можно получить путем дифференцирования (10.5):

.

Из соотношения (10.3) между частотой и длиной волны вытекают следующие неравенства:

.

Поэтому в точке максимума I_ν , где

,

производная dI_λ /dν оказывается положительной. Следовательно, ее максимум лежит на более высоких частотах.

Из (10.7) ясно видно, что различие частот максимумов I_ν и I_λ обусловлено именно нелинейностью функции ν(λ). При линейной связи второе слагаемое справа было бы равно нулю, что означает совпадение максимумов.

 

Звездная величина

Звездная величина определяется потоком излучения от источника F_λ и спектральной чувствительностью приемника W(λ):

.

Здесь A - некоторая константа, численное значение которой может быть выбрано любым. Напомним, что в силу (10.5) тот же результат получится, если в качестве переменной интегрирования выбрать частоту и заменить F_λ на F_n.

Отметим важное отличие звездной величины от потока. Поток излучения через фиксированную площадку остается одним и тем же, каким бы прибором его не измеряли, в то время как звездная величина зависит от спектральной чувствительности приемника. Измерив звездную величину одного и того же источника излучения с помощью разных приборов, мы получим, вообще говоря, разные результаты. Понятие звездной величины не имеет смысла, если не указаны функция W(λ) и константа A, или, как принято говорить, не установлена фотометрическая система.

В настоящее время есть несколько фотометрических систем; причем самой распространенной из них является система UBV, или система Джонсона. Она состоит из нескольких фильтров, кривые реакции трех из них приведены на рис.10. Звездные величины в системе Джонсона определяются следующим образом

Здесь введено обозначение

Интегралы ΔB и ΔV вычисляются аналогично, только в подынтегральных функциях вместо кривой пропускания W_U(λ) надо писать, соответственно, W_B(λ) и W_V(λ). Источник излучения в системе UBV характеризуется показателями цвета U-B и B-V:

Численные значения констант A в правой части (10.9) системы Джонсона выбраны таким образом, чтобы показатели цвета U-B и B-V оказались равными нулю для звезд спектрального класса А0.