Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Bychkov/theory_adapted1.html
Дата изменения: Wed May 2 20:08:57 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:31:54 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: hst |
ОБЪЯСНЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ Слои звезд, в которых образуются абсорбционные линии, как правило, близки к состоянию термодинамического равновесия. Во всяком случае это относится к линиям, по которым проводится спектральная классификация. Поэтому термодинамические методы активно применяются при анализе звездных атмосфер. Конечно, полная задача об эквивалентной ширине спектральных линий не сводится только к термодинамике. При ее решении необходимо учитывать также перенос излучения, профиль коэффициента поглощения, движение газа, вращение звезды и другие процессы. Но существует обстоятельство, позволяющее упростить полную задачу, сохраняя ее физическое содержание. Дело в том, что эквивалентная ширина связана с числом поглощающих атомов, причем при заданных значениях атомных параметров эта связь однозначна и монотонна. Поэтому решение вопроса о населенности нижнего уровня перехода позволяет понять некоторые качественные аспекты спектральной классификации. Напомним, что при переходе к более горячим атмосферам определенные линии сначала усиливаются, затем проходят через максимум, а потом начинают ослабляться. Каждая линия имеет свою температуру максимума. Поставим следующие вопросы:
1 ФОРМУЛЫ САХА И БОЛЬЦМАНА. Этих двух формул вполне достаточно для первого знакомства с термодинамикой звездных атмосфер. Формула Больцмана описывает населенность возбужденных состояний, а формула Саха - состояние ионизации химического элемента. Первая выведена в предположении постоянства числа частиц, а вторая учитывает химические реакции, то есть возможное исчезновение старых частиц и появление новых.
1.1 Формула Больцмана и статистический вес. Формула Больцмана связывает друг с другом населенности дискретных уровней иона или атома:
Статистическим весом называют число различных состояний
атома, имеющих одну и ту же энергию. В случае атома
водорода вес энергетического уровня с номером k равен
1.2 Формула Саха .Формула Саха описывает равновесное состояние ионизации:
В приложении к
звездным атмосферам температуру удобно измерять в
электрон-вольтах:
Теперь обсудим важное отличие формулы Саха от формулы
Больцмана. Если (5) переписать в виде
В условиях звездных атмосфер численное значение gtr
лежит в диапазоне от 105 до 108. Следовательно, заметная
ионизация всех химических элементов имеет место при температурах,
в несколько раз меньших потенциала ионизации атома. Например, в
звездах спектрального класса А0 водород ионизован более, чем
наполовину, хотя температура их атмосфер в 12-15 раз меньше
потенциала ионизации атома водорода.
1.3 Проблема суммы по состояниям. Вернемся к формуле (6) и рассмотрим внимательнее сумму
Объясняется полученный парадокс просто: атом, взаимодействующий с
другими частицами, имеет только ограниченное число уровней, а
схема с бесконечным множеством состояний вблизи границы ионизации
- это идеализация, справедливая только для уединенного атома. В
атмосферах звезд обычно реализуется не более 20-30 уровней, и
вклад суммы S редко превышает слагаемое g0. Не ставя своей
целью выполнение рафинированных расчетов, мы примем простое
решение, положив сумму по соcтояниям равной весу нижнего уровня:
Все сказанное относится не только к атому водорода, но и к любой
атомной системе, так как все состояния с высокой степенью
возбуждения близки к соcтояниям атома водорода или
водородоподобным ионам.
2 ЛИНИИ ГЕЛИЯ.
Самой простой системой является атом водорода, и вполне логично было бы начать изложение именно с его бальмеровской серии. Однако пойти по такому пути нам мешает принятая в предыдущем разделе гипотеза о его полной ионизации. Исследуя поведение субординатных линий в области высоких температур, мы должны рассмотреть конкуренцию ионизации и возбуждения. Но формула (10) не позволяет корректно учесть уравнение Саха для водорода. Поэтому мы начнем с гелия: изучение его субординатных переходов вполне допустимо в рамках сделанных предположений. К тому же для задач спектральной классификации, как мы убедились выше, гелий значительно интереснее водорода, так как его линии более чувствительны к температуре, а их интенсивность ближе к интенсивности линий других химических элементов3.
2.1 Электронная плотность. В поставленной задаче населенность уровней зависит от двух параметров: температуры T и плотности числа тяжелых частиц n. Под тяжелыми частицами мы понимаем ионы и атомы, но не электроны. Строго говоря, для вычисления n мы должны просуммировать число частиц ионов и атомов всех химических элементов. Но если мы будем учитывать только водород, то сделаем ошибку лишь около десяти процентов, соответственно содержанию гелия - следующего по обилию химического элемента в звездах главной последовательности. Далее, будем считать водород практически полностью ионизованным, что вполне допустимо для рассматриваемых нами звезд горячее А0. Гелий в ОВ-звездах может быть ионизован однократно, либо двукратно, то есть, его вклад в электронную плотность составляет от десяти до двадцати процентов. Пренебрегая этим вкладом, приходим к следующей простой формуле для вычисления электронной плотности:
2.2 Состояние ионизации гелия. Гелий может находиться в трех состояниях ионизации: HeI, HeII и HeIII, причем только HeI и HeII имеют дискретные уровни. Напомним, что HeI обозначает атом гелия, а HeII - его первый ион. Обозначим их относительные концентрации как x1, x2 и x3. Из их определения следует
Хотя система линейных уравнений (11) и (12) решается без труда, тем не менее физическое содержание коэффициентов fj позволяет выполнить дальнейшие упрощения.
Во-первых, в рассматриваемом диапазоне температур всегда
выполнено условие:
Теперь мы можем непосредственно заняться интересующей нас
величиной - числом атомов nl на нижнем уровне перехода.
Напомним, что все наблюдаемые в оптическом диапазоне линии гелия
относятся к субординатным, то есть, их нижний уровень является
возбужденным. Обозначим его энергию через El и введем
безразмерную величину
2.3 Скорость убывания и возрастания линий HeI. Чтобы воспользоваться формулами Саха и Больцмана, перепишем (21) для данного случая в виде
Ясно, что исследование нейтрального гелия целесообразно проводить
в области температур, которой отвечает уравнение (19).
Подставляя его решение в (23), получим
Рассмотрим область настолько низких температур, что в знаменателе
(24) можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с
единицей. Физически это означает, что гелий находится в
нейтральном состоянии, и населенность y(T) экспоненциально
растет с температурой по формуле Больцмана:
Энергия возбуждения El оптических переходов атома гелия составляет 19-20 эВ. Температура атмосфер поздних и средних подклассов В лежит в диапазоне 1-1.5 эВ. Соответственно, показатель экспоненты (25) находится в диапазоне от 15 до 20, что означает очень быстрый рост населенности с температурой.
В противоположном случае высоких температур мы пренебрегаем
единицей в знаменателе дроби (24) и приходим к:
Формула (26) описывает значительно более слабую зависимость населенности от температуры, чем (25). В самом деле, все возбужденным уровни атома гелия близки к границе ионизации: при P1=24.6 эВ значения El лежат в диапазоне от 19.5 до 21 эВ, поэтому разность P1-El не превышает 4 эВ.
Итак, нам теперь известна причина поведения спектральных линий
гелия в разных интервалах температур по обе стороны от максимума.
Теперь определим положение максимума и его зависимость от
параметров атома.
2.4 Температура максимума.
Определим температуру, отвечающую максимуму функции (24). Для удобства расчетов температуру в этом разделе измеряем в электрон-вольтах и введем новую переменную:
Произведение P1q является большой величиной: от десяти и
выше. Это позволяет нам утверждать, что на величину Tm в
гораздо большей степени влияет потенциал ионизации, чем энергия
возбуждения. В справедливости сделанного утверждения убедимся
сначала на модельном примере. Рассмотрим функцию
Ниже мы выпишем аналитическое приближение к решению уравнения (29), но сначала поставим вопрос с физической точки зрения: почему энергия возбуждения столь слабо влияет на величину Tm? Дело в том, что формула Больцмана, куда входит El, сама по себе не имеет экстремумов: чем выше температура, тем сильнее заселены возбужденным уровни относительно основного. Появление максимума обусловлено переходом атомов в ионизованное состояние. Этот процесс описывается формулой Саха и им управляет потенциал ионизации. Логарифмическая зависимость Tm от отношения P1/El происходит от эффекта насыщения возбужденного уровня. Состояния с меньшим потенциалом возбуждения заселяются при менее высоких значениях температуры и, следовательно, несколько раньше реагируют на изменение ионизации.
Теперь модифицируем формулу (30) таким образом, чтобы
она описывала максимум функции (28). Конечно, точного
решения мы не получим, но нашей целью, напомним, является
получение аналитического выражения, качественно правильно
описывающего зависимость Tm. Прологарифмируем уравнение
(29):
3 БАЛЬМЕРОВСКАЯ СЕРИЯ АТОМА ВОДОРОДА
По аналогии с задачей о гелии, исследуем вопрос о населенности n2 второго уровня атома водорода - нижнего уровня всех переходов бальмеровской серии. Как мы убедимся ниже, решения этих задач имеют сходные черты: немонотоннная зависимость населенности возбужденных уровней от температуры; наличие максимума, положение которого определяется, главным образом, потенциалом ионизации атома; медленное уменьшение от максимума к высоким температурам и быстрое падение в сторону холодных звезд. Главной причиной такого поведения населенностей является сходство структуры энергетических уровней водорода и гелия:
Тем не менее, для водорода требуются специальные
расчеты, так как здесь неприменимо предположение (10) о
независимости электронной плотности ne от температуры. Водород
является основным донором электронов в звездах спектральных
классов O, B и A. Поэтому в рассматриваемой задаче необходимо
вычислять ne одновременно с населенностью уровней.
3.1 Состояние ионизации водорода
Мы предполагаем, что все электроны происходят только за счет
ионизации водорода. Следовательно, их число равно числу протонов:
Формула Саха с учетом
(34)
дает квадратное уравнение для
xa:
3.2 Зависимость от плотности и от температуры
Полную плотность водорода n в наших расчетах будем считать постоянным параметром. В действительности плотность атмосферы разная у звезд разных спектральных классов:
Как видно из таблицы, в диапазоне от B5 до F0 величина n меняется примерно в 40 раз. Тем не менее, мы будем пренебрегать вариациями плотности по сравнению с влиянием температуры на населенность уровней. В самом деле, при переходе от класса B5 к F0 температура атмосферы уменьшается примерно вдвое: от 15500 K до 7400 K. При этом экспоненты exp(-E2/TeV) и exp(-P/TeV) падают, соответственно, в 4·103 и 7·104 раз. Поэтому для звезд главной последовательности в первом приближении эффект плотности можно не рассматривать. Для определенности параметр n примем равным плотности атмосферы звезды класса А0:
3.3 Населенность второго уровня Преобразуем уравнение (35) к виду
3.4 Высокие и низкие
температуры Снова, как и в случае гелия, убеждаемся, что функция xa(T) не монотонна. В области высоких температур, когда правая часть (39) мала, то есть выполнено условие
В области предельно низких температур (f << 1) ионизационное равновесие
сдвинуто в сторону атомов:
Итак, функция y(T) возрастает при переходе к самым холодным звездам и убывает
в области предельно высоких температур. Следовательно, она имеет максимум.
Перейдем к определению температуры максимума.
3.5 Температура максимума
населенности Выполним замены переменных, которые нам несколько упростят вычисления. Максимум функции y(T) приходится на ту же температуру, что и минимум обратной ей величины
Сочетание экспоненциального и степенного множителей в выражениях для f в
приводит к тому, что уравнение
Теперь проверим выполнимость условия . Подставив в , получим
Температура максимума населенности n2, как следует из ,
определяется, главным образом, потенциалом ионизации
4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Итак, на примере линий водорода и гелия в звездах классов O, B и A мы убедились, что методы термодинамики, выражающиеся в простых формулах Саха и Больцмана, позволяют описать различие спектров у звезд с разной температурой. Анализ эффектов давления, то есть различия спектров звезд разной светимости при одной и той же температуре, требует привлечения сведений из атомной физики и теории переноса излучения в линиях и континууме. Footnotes:
1Их следует отличать от энергетических уровней 2Один атом превращается в пару ион-электрон
3Линии
водорода являются самыми сильными во всех звездах горячее F0.
|