Слои звезд, в которых образуются абсорбционные линии, как правило, близки к состоянию термодинамического равновесия. Во всяком случае это относится к линиям, по которым проводится спектральная классификация. Поэтому термодинамические методы активно применяются при анализе звездных атмосфер.

        Конечно, полная задача об эквивалентной ширине спектральных линий не сводится только к термодинамике. При ее решении необходимо учитывать также перенос излучения, профиль коэффициента поглощения, движение газа, вращение звезды и другие процессы. Но существует обстоятельство, позволяющее упростить полную задачу, сохраняя ее физическое содержание. Дело в том, что эквивалентная ширина связана с числом поглощающих атомов, причем при заданных значениях атомных параметров эта связь однозначна и монотонна. Поэтому решение вопроса о населенности нижнего уровня перехода позволяет понять некоторые качественные аспекты спектральной классификации. Напомним, что при переходе к более горячим атмосферам определенные линии сначала усиливаются, затем проходят через максимум, а потом начинают ослабляться. Каждая линия имеет свою температуру максимума. Поставим следующие вопросы:

1. Почему линии быстро ослабляются при переходе от максимума к более низким температурам?
2. Почему ослабление в сторону высоких температур происходит значительно медленнее?
3. Как связана температура максимума со структурой атома?

Ответы на них мы можем получить, не выходя за рамки термодинамики.




        Этих двух формул вполне достаточно для первого знакомства с термодинамикой звездных атмосфер. Формула Больцмана описывает населенность возбужденных состояний, а формула Саха - состояние ионизации химического элемента. Первая выведена в предположении постоянства числа частиц, а вторая учитывает химические реакции, то есть возможное исчезновение старых частиц и появление новых.




        Формула Больцмана связывает друг с другом населенности дискретных уровней иона или атома:

n2 n1 =  g2 g1 exp ж и  E1-E2 kT ц ш  .

(1)

Здесь n_j обозначает число атомов на j-м энергетическом уровне, E_j - его энергию, g_j - статистический вес. Количество атомов рассчитываем на единицу объема, то есть, n - плотность числа частиц.

        Статистическим весом называют число различных состояний атома, имеющих одну и ту же энергию. В случае атома водорода вес энергетического уровня с номером k равен

gk=2k2 .

(2)

         В более сложных системах различают термы и уровни¹. Реально в каждом атоме существуют уровни. Вес уровня определяется его полным моментом J:

gJ=2J+1 .

(3)

        В отличие от уровня, терм - воображаемое понятие и представляет собой среднее положение нескольких близко расположенных уровней. Вес терма определяется суммарным спином электронов S и их суммарным орбитальным моментом L:

gLS=(2S+1)(2L+1) .

(4)

        Вес терма равен сумме весов всех составляющих его уровней.

.
        Формула Саха описывает равновесное состояние ионизации:

nine na =  2Ui Ua  (2p mT)3/2 h3 e-P/kT .

(5)

        Как и в случае формулы Больцмана, число частиц пропорционально статистическому весу. Нас интересует полное число ионов или атомов, поэтому вместо веса отдельного энергетического уровня фигурирует сумма по состояниям:

Ua=g0+ е ex  gexexp(-Eex/kT) .

(6)

        Здесь g₀ - вес основного состояния, а индексом <<ex>> помечены веса и энергии возбужденных состояний, по которым выполняется суммирование. Аналогично вычисляется сумма по состояниям иона U_i. Множитель 2 равен статистическому весу электрона - числу возможных проекций его спина.

        В приложении к звездным атмосферам температуру удобно измерять в электрон-вольтах:

TeV=  T 11605 K  .

        Подставляя в (5) численные значения атомных констант, приходим к формуле

nine na =B  Ui Ua TeV3/2e-P/TeV        B ' 6 1021.

(7)

        Начиная с этого места условимся, что если температура измеряется в любых энергетических единицах, но не в градусах, то в этих же единицах выражены все потенциалы - ионизации и возбуждения.

        Теперь обсудим важное отличие формулы Саха от формулы Больцмана. Если (5) переписать в виде

ni na =  2Ui Ua  (2p mT)3/2 h3ne e-P/kT ,

то мы увидим аналогию с (1), но в правой части присутствует дополнительный безразмерный множитель

gtr=  (2pmkT)3/2 h3ne  .

        Это не что иное, как число квантовых состояний электрона, связанное с его перемещением в пространстве. В формуле Больцмана такие множители сокращаются, так как при возбуждении число частиц остается прежним. А формула Саха описывает реакции с изменением числа частиц², поэтому множитель g_tr остается.

        В условиях звездных атмосфер численное значение g_tr лежит в диапазоне от 10⁵ до 10⁸. Следовательно, заметная ионизация всех химических элементов имеет место при температурах, в несколько раз меньших потенциала ионизации атома. Например, в звездах спектрального класса А0 водород ионизован более, чем наполовину, хотя температура их атмосфер в 12-15 раз меньше потенциала ионизации атома водорода.

        Вернемся к формуле (6) и рассмотрим внимательнее сумму

S= е ex  gexexp(-Eex/kT)

(8)

для атома водорода. На первый взгляд может показаться, что она невелика по сравнению с g₀. Например, в уже упоминавшихся звездах класса А0 численное значение g₁exp(-E₁/kT) оставляет менее 0.1% от g₀, а экспоненциальный множитель в следующих слагаемых еще меньше. Однако энергия возбуждения имеет верхний предел - потенциал ионизации атома. Следовательно, для любого E_ex справедливо

exp(-Eex/kT) > exp(-P/kT) .

        Заменив в (8) энергии возбуждения на потенциал ионизации, получим очевидное неравенство:

S > exp(-P/kT)×2 ? е j=1  j2 .

        Теперь стало совершенно ясно, что такая сумма не существует: она бесконечно велика!

        Объясняется полученный парадокс просто: атом, взаимодействующий с другими частицами, имеет только ограниченное число уровней, а схема с бесконечным множеством состояний вблизи границы ионизации - это идеализация, справедливая только для уединенного атома. В атмосферах звезд обычно реализуется не более 20-30 уровней, и вклад суммы S редко превышает слагаемое g₀. Не ставя своей целью выполнение рафинированных расчетов, мы примем простое решение, положив сумму по соcтояниям равной весу нижнего уровня:

Ua=g0 .

(9)

        Аналогичная формула, конечно, справедлива и для иона.

        Все сказанное относится не только к атому водорода, но и к любой атомной системе, так как все состояния с высокой степенью возбуждения близки к соcтояниям атома водорода или водородоподобным ионам.

Самой простой системой является атом водорода, и вполне логично было бы начать изложение именно с его бальмеровской серии. Однако пойти по такому пути нам мешает принятая в предыдущем разделе гипотеза о его полной ионизации. Исследуя поведение субординатных линий в области высоких температур, мы должны рассмотреть конкуренцию ионизации и возбуждения. Но формула (10) не позволяет корректно учесть уравнение Саха для водорода. Поэтому мы начнем с гелия: изучение его субординатных переходов вполне допустимо в рамках сделанных предположений. К тому же для задач спектральной классификации, как мы убедились выше, гелий значительно интереснее водорода, так как его линии более чувствительны к температуре, а их интенсивность ближе к интенсивности линий других химических элементов³.



        В поставленной задаче населенность уровней зависит от двух параметров: температуры T и плотности числа тяжелых частиц n. Под тяжелыми частицами мы понимаем ионы и атомы, но не электроны. Строго говоря, для вычисления n мы должны просуммировать число частиц ионов и атомов всех химических элементов. Но если мы будем учитывать только водород, то сделаем ошибку лишь около десяти процентов, соответственно содержанию гелия - следующего по обилию химического элемента в звездах главной последовательности. Далее, будем считать водород практически полностью ионизованным, что вполне допустимо для рассматриваемых нами звезд горячее А0. Гелий в ОВ-звездах может быть ионизован однократно, либо двукратно, то есть, его вклад в электронную плотность составляет от десяти до двадцати процентов. Пренебрегая этим вкладом, приходим к следующей простой формуле для вычисления электронной плотности:

ne=n ,

(10)

которой и будем пользоваться в дальнейшем.



        Гелий может находиться в трех состояниях ионизации: HeI, HeII и HeIII, причем только HeI и HeII имеют дискретные уровни. Напомним, что HeI обозначает атом гелия, а HeII - его первый ион. Обозначим их относительные концентрации как x₁, x₂ и x₃. Из их определения следует

x1+x2+x3=1 .

(11)

        Формула Саха дает два уравнения

x2 x1 =f1 ,        x3 x2 =f2 .

(12)

        Обе функции, f₁ и f₂, содержат экспоненциальные множители:

fj=ajexp(-Pj/kT) .

(13)

        Здесь a_j - тоже функции температуры ( ч T^3/2), но они меняются значительно медленнее, чем экспонента.

        Хотя система линейных уравнений (11) и (12) решается без труда, тем не менее физическое содержание коэффициентов f_j позволяет выполнить дальнейшие упрощения.

        Во-первых, в рассматриваемом диапазоне температур всегда выполнено условие:

f2 < f1 .

(14)

        Во-вторых, экспоненциальная зависи