Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Bychkov/theory.pdf Дата изменения: Wed May 2 20:08:57 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:20:37 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п

Объяснение спектральной классификации.
Бычков К.В. 11 декабря 2002 г.

Слои зв?здD в которых образуются абсорбционные линииD как праE вилоD близки к состоянию термодинамического равновесияF Во всяком случае это относится к линиямD по которым проводится спектральная классификацияF Поэтому термодинамические методы активно применяE ются при анализе зв?здных атмосферF КонечноD полная задача об эквивалентной ширине спектральных лиE ний не сводится только к термодинамикеF При е? решении необходимо учитывать также перенос излученияD профиль коэффициента поглощеE нияD движение газаD вращение звезды и другие процессыF Но существуE ет обстоятельствоD позволяющее упростить полную задачуD сохраняя е? физическое содержаниеF Дело в томD что эквивалентная ширина свяE зана с числом поглощающих атомовD прич?м при заданных значениях атомных параметров эта связь однозначна и монотоннаF Поэтому решеE ние вопроса о насел?нности нижнего уровня перехода позволяет понять некоторые качественные аспекты спектральной классификацииF НапомE нимD что при переходе к более горячим атмосферам определ?нные линии сначала усиливаютсяD затем проходят через максимумD а потом начиE нают ослаблятьсяF Каждая линия имеет свою температуру максимумаF Поставим следующие вопросыX IF Почему линии быстро ослабляются при переходе от максимума к более низким температурамc PF Почему ослабление в сторону высоких температур происходит знаE чительно медленнееc QF Как связана температура максимума со структурой атомаc Ответы на них мы можем получитьD не выходя за рамки термодинамикиF

I


1

Формулы Саха и Больцмана.

Этих двух формул вполне достаточно для первого знакомства с терE модинамикой зв?здных атмосферF Формула Больцмана описывает насеE л?нность возбужд?нных состоянийD а формула Саха " состояние иониE зации химического элементаF Первая выведена в предположении постоE янства числа частицD а вторая учитывает химические реакцииD то есть возможное исчезновение старых частиц и появление новыхF
1.1 Формула Больцмана и статистический вес.

Формула Больцмана связывает друг с другом насел?нности дискретE ных уровней иона или атомаX

n2 g2 = exp n1 g1

E1 - E kT

2

.

@IFIFIA

Здесь nj обозначает число атомов на j Eм энергетическом уровнеD Ej " его энергиюD gj " статистический весF Количество атомов рассчитываем на единицу объ?маD то естьD n " плотность числа частицF Статистическим весом называют число различных состояний атомаD имеющих одну и ту же энергиюF В случае атома водорода вес энергеE тического уровня с номером k равен

gk = 2k 2 .

@IFIFPA

В более сложных системах различают термы и уровни 1 F Реально в кажE дом атоме существуют уровниF Вес уровня определяется его полным моE ментом J X gJ = 2J + 1 . @IFIFQA В отличие от уровняD терм " воображаемое понятие и представляет соE бой среднее положение нескольких близко расположенных уровнейF Вес терма определяется суммарным спином электронов S и их суммарным орбитальным моментом LX

g

LS

= (2S + 1)(2L + 1) .

@IFIFRA

Вес терма равен сумме весов всех составляющих его уровнейF
1
Их следует отличать от

энергетических уровней

P


1.2

Формула Саха

F Формула Саха описывает равновесное состояние ионизацииX

ni ne 2Ui (2 mT )3/2 - = e na Ua h3

P /kT

.

@IFPFIA

Как и в случае формулы БольцманаD число частиц пропорционально стаE тистическому весуF Нас интересует полное число ионов или атомовD поE этому вместо веса отдельного энергетического уровня фигурирует сумма по состояниямX Ua = g0 + gex exp (-Eex /k T ) . @IFPFPA
ex

Здесь g0 " вес основного состоянияD а индексом ?ex? помечены веса и энергии возбужд?нных состоянийD по которым выполняется суммироваE ниеF Аналогично вычисляется сумма по состояниям иона Ui F Множитель P равен статистическому весу электрона " числу возможных проекций его спинаF В приложении к зв?здным атмосферам температуру удобно измерять в электронEвольтахX T TeV = . 11605 K Подставляя в @IFPFIA численные значения атомных константD приходим к формуле ni ne Ui 3/2 = B TeV e-P /TeV B 6 1021 . @IFPFQA na Ua Начиная с этого места условимсяD что если температура измеряется в любых энергетических единицахD но не в градусахD то в этих же единицах выражены все потенциалы " ионизации и возбужденияF Теперь обсудим важное отличие формулы Сах? от формулы БольцE а манаF Если @IFPFIA переписать в виде

ni 2Ui (2 mT )3/2 - = e na Ua h3 n e

P /kT

,

то мы увидим аналогию с @IFIFIAD но в правой части присутствует дополE нительный безразмерный множитель

gtr =

(2 mk T )3 h3 n e
Q

/2

.


Это не что иноеD как число квантовых состояний электронаD связанное с его перемещением в пространствеF В формуле Больцмана такие мноE жители сокращаютсяD так как при возбуждении число частиц оста?тся прежнимF А формула Сах? описывает реакции с изменением числа чаE а стиц2 D поэтому множитель gtr оста?тсяF В условиях зв?здных атмосфер численное значение gtr лежит в диаE пазоне от 105 до 108 F СледовательноD заметная ионизация всех химичеE ских элементов имеет место при температурахD в несколько раз меньших потенциала ионизации атомаF НапримерD в зв?здах спектрального класE са АH водород ионизован болееD чем наполовинуD хотя температура их атмосфер в IP!IS раз меньше потенциала ионизации атома водородаF
1.3 Проблема суммы по состояниям.

Верн?мся к формуле @IFPFPA и рассмотрим внимательнее сумму

S=
ex

gex exp (-Eex /k T )

@IFQFIA

для атома водородаF На первый взгляд может показатьсяD что она невеE лика по сравнению с g0 F НапримерD в уже упоминавшихся зв?здах класE са АH численное значение g1 exp (-E1 /k T ) оставляет менее HFI7 от g0 D а экспоненциальный множитель в следующих слагаемых ещ? меньшеF Однако энергия возбуждения имеет верхний предел " потенциал иониE зации атомаF СледовательноD для любого Eex справедливо

exp (-Eex /k T ) > exp (-P /k T ) .
Заменив в @IFQFIA энергии возбуждения на потенциал ионизацииD полуE чим очевидное неравенствоX


S > exp (-P /k T ) Ч 2
j =1

j2 .

Теперь стало совершенно ясноD что такая сумма не существуетX она бесE конечно велика3 Объясняется полученный парадокс простоX атомD взаимодействуюE щий с другими частицамиD имеет только ограниченное число уровнейD а схема с бесконечным множеством состояний вблизи границы ионизаE ции " это идеализацияD справедливая только для уедин?нного атомаF В
2
Один атом превращается в пару ион-электрон

R


атмосферах зв?зд обычно реализуется не более PH!QH уровнейD и вклад суммы S редко превышает слагаемое g0 F Не ставя своей целью выполнеE ние рафинированных расч?товD мы примем простое решениеD положив сумму по сотояниям равной весу нижнего уровняX

Ua = g0 .

@IFQFPA

Аналогичная формулаD конечноD справедлива и для ионаF Вс? сказанное относится не только к атому водородаD но и к любой атомной системеD так как все состояния с высокой степенью возбуждения близки к сотояниям атома водорода или водородоподобным ионамF

S


2

Линии гелия.

Самой простой системой является атом водородаD и вполне логично было бы начать изложение именно с его бальмеровской серииF Однако пойти по такому пути нам мешает принятая в предыдущем разделе гипоE теза о его полной ионизацииF Исследуя поведение субординатных линий в области высоких температурD мы должны рассмотреть конкуренцию ионизации и возбужденияF Но формула @PFIFIA не позволяет корректно учесть уравнение Сах? для водородаF Поэтому мы начн?м с гелияX изучеE а ние его субординатных переходов вполне допустимо в рамках сделанных предположенийF К тому же для задач спектральной классификацииD как мы убедились вышеD гелий значительно интереснее водородаD так как его линии более чувствительны к температуреD а их интенсивность ближе к интенсивности линий других химических элементов3 F
2.1 Электронная плотность.

В поставленной задаче насел?нность уровней зависит от двух параE метровX температуры T и плотности числа тяж?лых частиц nF Под тяж?E лыми частицами мы понимаем ионы и атомыD но не электроныF Строго говоряD для вычисления n мы должны просуммировать число частиц ионов и атомов всех химических элементовF Но если мы будем учитыE вать только водородD то сделаем ошибку лишь около десяти процентовD соответственно содержанию гелия " следующего по обилию химическоE го элемента в зв?здах главной последовательностиF ДалееD будем считать водород практически полностью ионизованнымD что вполне допустимо для рассматриваемых нами зв?зд горячее АHF Гелий в ОВEзв?здах моE жет быть ионизован однократноD либо двукратноD то естьD его вклад в электронную плотность составляет от десяти до двадцати процентовF Пренебрегая этим вкладомD приходим к следующей простой формуле для вычисления электронной плотностиX

ne = n ,
которой и будем пользоваться в дальнейшемF
2.2 Состояние ионизации гелия.

@PFIFIA

Гелий может находиться в тр?х состояниях ионизацииX resD ress и resssD прич?м только res и ress имеют дискретные уровниF НапомнимD
3
Линии водорода являются самыми сильными во всех зв?здах горячее F0.

T


что res обозначает атом гелияD а ress " его первый ионF Обозначим их относительные концентрации как x1 D x2 и x3 F Из их определения следует

x1 + x2 + x3 = 1 .
Формула Сах? да?т два уравнения а

@PFPFIA

x2 = f1 , x1

x3 = f2 . x2

@PFPFPA

Обе функцииD f1 и f2 D содержат экспоненциальные множителиX

fj = aj exp (-Pj /k T ) .

@PFPFQA

Здесь aj ! тоже функции температуры ( T 3/2 )D но они меняются знаE чительно медленнееD чем экспонентаF Хотя система линейных уравнений @PFPFIA и @PFPFPA решается без труE даD тем не менее физическое содержание коэффициентов fj позволяет выполнить дальнейшие упрощенияF ВоEпервыхD в рассматриваемом диапазоне температур всегда выполE нено условиеX f2 < f1 . @PFPFRA ВоEвторыхD экспоненциальная зависимость fj позволяет рассматривать сравнительно ч?тко очерченные диапазоны температурыD в каждом из которых можно пренебречь тем или иным состоянием ионизацииF ВыпиE шем решение @PFPFIA и @PFPFPA в явном видеX

1 = 1 + f1 (1 + f2 ) , x1 1 1 =1+ + f2 , x2 f1 1 1 1 =1+ 1+ . x3 f2 f1
Отметим вытекающее из @PFPFPA полезное тождествоX

@PFPFSA @PFPFTA @PFPFUA

x3 = f1 f2 . x1
Теперь рассмотрим различные диапазоны изменения f1 и f2 F IF f1 f2 x2 X

@PFPFVA

1F В этом случае можно пренебречь x3 по сравнению с x1 и x1 + x2 1 .
U @PFPFWA


PF f1 f2

1F Здесь пренебрегаем x1 по сравнению с x2 и x3 X x2 + x3 1 .
@PFPFIHA

Каждое из уравнений @PFPFWA и @PFPFIHA значительно прощеD чем @PFPFIAF Теперь мы можем непосредственно заняться интересующей нас веE личиной " числом атомов nl на нижнем уровне переходаF НапомнимD что все наблюдаемые в оптическом диапазоне линии гелия относятся к субординатнымD то естьD их нижний уровень является возбужд?ннымF Обозначим его энергию через El и введ?м безразмерную величину

y=

nl , nHe

@PFPFIIA

где nHe " полное число частиц гелияD просуммированное по всем состоE яниям ионизацииF Рассмотрим сначала переходы нейтрального гелияF
2.3 Скорость убывания и возрастания линий HeI.

Чтобы воспользоваться формулами Сах? и БольцманаD перепишем а @PFPFIIA для данного случая в виде

y=
или

nl nHeI , nHeI nHe x1 (T , n) .

@PFQFIA

y=

gl El exp - g1 kT

@PFQFPA

При переходе от @PFQFIA к @PFQFPA мы учли то обстоятельствоD что насел?нE ность возбужд?нных уровней значительно нижеD чем основногоD иD следоE вательноD мы можем принять число атомов гелия в основном состоянии равным полному числу атомов гелияF ДействительноD температура даE же самых горячих ОEзв?зд не превышает R эВD а потенциал возбуждения даже самых низких уровней нейтрального гелия выше IW эВF Поэтому равновесная насел?нность его возбужд?нных уровней содержит экспоE ненциальный множитель exp(-19/4) < 0.01F Но и такая оценка ещ? заE вышенаF Линии нейтрального гелия наиболее заметны у зв?зд класса ВD температура которых не превышает PFS эВ и тот же множитель меньшеD чем exp(-19/2.5) < 0.001F ЯсноD что исследование нейтрального гелия целесообразно проводить в области температурD которой отвечает уравнение @PFPFWAF Подставляя

V


его решение в @PFQFPAD получим

y=

gl g1

exp -

El kT

P1 1 + a1 (n, T ) exp - kT

.

@PFQFQA

Функция y (T ) не монотоннаD она имеет максимумF Тем самым она отE ражает реальные свойства линий гелияD которые усиливаются при переE ходе от поздних к ранним подклассам ВD а затем ослабляются у более горячих зв?здF Рассмотрим область настолько низких температурD что в знаменатеE ле @PFQFQA можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с единиE цейF Физически это означаетD что гелий находится в нейтральном состоE янииD и насел?нность y (T ) экспоненциально раст?т с температурой по формуле БольцманаX y exp (-El /k T ) . @PFQFRA Энергия возбуждения El оптических переходов атома гелия составE ляет 19-20 эВF Температура атмосфер поздних и средних подклассов В лежит в диапазоне 1-1.5 эВF СоответственноD показатель экспоненты @PFQFRA находится в диапазоне от IS до PHD что означает очень быстрый рост насел?нности с температуройF В противоположном случае высоких температур мы пренебрегаем единицей в знаменателе дроби @PFQFQA и приходим кX

y

1 exp a(n, T )

P1 - E kT

l

.

@PFQFSA

Оно описывает убывающую функцию температуры @напомнимD что мноE житель a(n, T ) пропорционален T 3/2 AF Здесь мы видим результат влияE ния двух факторовF С одной стороныD увеличивается насел?нность возE бужд?нного уровня относительно основного состояния по формуле @IFIFIAD но с другой " усиливается ионизация гелияF В рассматриваемом преE дельном случае концентрация атомов гелия x1 зависит от температуры как P1 1 1 x1 exp @PFQFTA f1 a(n, T ) kT в согласии с @PFPFSA при f1 1F Ионизация нейтральных атомов здесь игE рает б? ольшую рольD чем усиление возбужденияF Главная причина в томD что потенциал ионизации больше энергии возбуждения любого дискретE ного уровняF W


Формула @PFQFSA описывает значительно более слабую зависимость насел?нности от температурыD чем @PFQFRAF В самом делеD все возбужд?нE ным уровни атома гелия близки к границе ионизацииX при P1 = 24.6 эВ значения El лежат в диапазоне от IWFS до PI эВD поэтому разность P1 -El не превышает R эВF ИтакD нам теперь известна причина поведения спектральных линий гелия в разных интервалах температур по обе стороны от максимумаF Теперь определим положение максимума и его зависимость от параметE ров атомаF
2.4 Температура максимума.

Определим температуруD отвечающую максимума функции @PFQFQAF Для удобства расч?тов температуру в этом разделе измеряем в электронE вольтах и введ?м новую переменнуюX

z=

g1 1 . gl y

Будем искать минимум z как функции аргумента =1/TeV F В силу моE нотонной зависимости как z от y D так и от TeV D задача о минимума y (TeV ) эквивалентна задаче о максимума z ()F ИтакD ищем значение D при котором выражение

z = exp(El ) 1 + A(n)

- 3 /2

exp(-P1 )

@PFRFIA

имеет минимумF Здесь мы выписали зависимость от температуры в явE ном виде и ввели множитель

A(n) =

Ui B . Ua n

Проинтервьюировав @PFRFIA по и приравняй производную нулюD прихоE дим к уравнению

exp(P1 ) = A(n)

3 - 3/2 2

+ (P1 - El ) . El

@PFRFPA

Оно без труда решается численными методамиD если задать конкретные значения параметровF Но наша задача заключается в другомX надо полуE читьD хотя бы приближ?нноD аналитическую зависимость температуры максимума Tm от P1 и El F IH


Произведение P1 является большой величинойX от десяти и вышеF Это позволяет нам утверждатьD что на величину Tm в гораздо больE шей степени влияет потенциал ионизацииD чем энергия возбужденияF В справедливости сделанного утверждения убедимся сначала на модельE ном примереF Рассмотрим функцию

w = exp(El ) [1 + B exp(-P1 )]
Она отличается от @PFRFIA темD что зависящий от температуры множиE тель A-3/2 замен?н некоторой константой C F Температура максимума w выражается аналитическиX

T

w m

= ln C

P

1

P1 El

. -1

@PFRFQA

w Мы видимD что Tm зависит от P1 D в основномD линейноD а от El " тольE ко логарифмическиF Можно надеятьсяD что @PFRFQA правильно переда?т и основные черты решения @PFRFPAD так как множитель 3/2 меняется знаE чительно медленнееD чем exp(P1 ) и в первом приближении его можно заменить постоянной величинойF Ниже мы выпишем аналитическое приближение к решению уравE нения @PFRFPAD но сначала поставим вопрос с физической точки зренияX почему энергия возбуждения столь слабо влияет на величину Tm c Дело в томD что формула БольцманаD куда входит El D сама по себе не имеет экстремумовX чем выше температураD тем сильнее заселены возбужд?нE ным уровни относительно основногоF Появление максимума обусловлено переходом атомов в ионизованное состояниеF Этот процесс описывается формулой Сах? и им управляет потенциал ионизацииF а Логарифмическая зависимость Tm от отношения P1 /El происходит от эффекта насыщения возбужд?нного уровняF Состояния с меньшим поE тенциалом возбуждения заселяются при менее высоких значениях темE пературы иD следовательноD несколько раньше реагируют на изменение ионизацииF Теперь модифицируем формулу @PFRFQA таким образомD чтобы она описывала максимум функции @PFRFIAF КонечноD точного решения мы не получимD но нашей цельюD напомнимD является получение аналитиE ческого выраженияD качественно правильно описывающего зависимость Tm F Прологарифмируем уравнение @PFRFPAX

P1 = ln A(n) -

3 3 ln + ln + (P1 - El ) - ln(El ) . 2 2
II


Среди слагаемых правой части по величине выделяется первоеF ДейE ствительноD численное значение около единицыD а сумма под знаком логарифма в третьем слагаемом и произведениеEl " порядка десятиF В то же время величина A(n) в условиях зв?здных атмосфер при плотE ности n 1015ч16 составляет A(n) 105ч6 F Отношение весов нижнего и верхнего уровней не превышает двойкиX спин S не меняетсяD а орбитальE ное квантовое число L либо также оста?тся прежнимD либо меняется на единицуF Отношение gi /ga в случае гелия равно двумF СледовательноD мы не сделаем большой ошибкиD пренебрегая в правой части всеми слаE гаемымиD кроме первогоF В результате получим приближ?нную оценкуX

0

ln A(n) . P1

С помощью 0 напишем выражение для константы C X

C = A(n)

- 3 /2 0

и подставим его в @PFRFQAF В результате получим

T

m

=

P1 ln A(n) + ln P1 - ln ln A(n) + ln
3 2 3 2 P1 El

. -1

@PFRFRA

Снова видна сильная зависимость от потенциала ионизации и слабая " от энергии возбужденияF

IP


3

Бальмеровская серия атома водорода

По аналогии с задачей о гелииD исследуем вопрос о насел?нности n2 второго уровня атома водорода " нижнего уровня всех переходов бальE меровской серииF Как мы убедимся нижеD решения этих задач имеют сходные черE тыX немонотоннная зависимость насел?нности возбужд?нных уровней от температурыY наличие максимумаD положение которого определяетсяD главным образомD потенциалом ионизации атомаY медленное уменьшеE ние от максимума к высоким температурам и быстрое падение в стороE ну холодных зв?здF Главной причиной такого поведения насел?нностей является сходство структуры энергетических уровней водорода и гелияX

ћ в оптический диапазон спектра обоих элементов попадают только субординатные переходыD ћ все их возбужд?нные состояния относительно близки к границе ионизацииF
Тем не менееD для водорода требуются специальные расч?тыD так как здесь неприменимо предположение @PFIFIA о независимости электронE ной плотности ne от температурыF Водород является основным доноE ром электронов в зв?здах спектральных классов yD f и eF Поэтому в рассматриваемой задаче необходимо вычислять ne одновременно с насеE л?нностью уровнейF
3.1 Состояние ионизации водорода

Введ?м обозначения

xi =

np , n

xa =

na , n

@QFIFIA

соответственноD для относительной концентрации ионов и нейтральных атомов водородаF Здесь np " число протоновD а na " число нейтральных атомов водорода в единице объ?маF Введ?м параметр nD в этом разделе он равен плотности водорода по числу частицX

n = np + na .

@QFIFPA

Принятая нами величина примерно на IH7 отличается от тойD что приE водится в справочникахD так как содержание водорода в зв?здах главной IQ


последовательности составляет около WH7F В проводимых здесь расч?тах столь небольшим различием можно перенебречьF Мы предполагаемD что все электроны происходят только за сч?т иониE зации водородаF СледовательноD их число равно числу протоновX

ne = np .

@QFIFQA

Это предположение вносит в расч?ты ошибкуD заведомо меньшую IH7D так как гелий ионизован значительно слабее водородаF Формула Саха с уч?том @QFIFQA да?т квадратное уравнение для xa X

(1 - xa )2 B = T xa 2n

3/2 eV

exp -

P TeV

.

@QFIFRA

Здесь учтеноD что вес основного состояния атома водородаD согласно @IFIFPAD равен двумX ga = 2, @QFIFSA а состояние иона не имеет вырожденияX

gi = 1.
НапомнимD что величина B известна из @IFPFQAF
3.2 Зависимость от плотности и от температуры

@QFIFTA

Полную плотность водорода n в наших расч?тах будем считать постоE янным параметромF В действительности плотность атмосферы разная у зв?зд разных спектральных классовX

Sp
lg n

yS ISFH

fH ISFH

fS ISFH

eH ISFP

eS ISFT

pH ITFI

pS ITFT

Как видно из таблицыD в диапазоне от fS до pH величина n меняется приE мерно в RH разF Тем не менееD мы будем пренебрегать вариациями плотE ности по сравнению с влиянием температуры на насел?нность уровнейF В самом делеD при переходе от класса fS к pH температура атмосферы уменьшается примерно вдвоеX от ISSHH u до URHH uF При этом экспоненE ты exp(-E2 /TeV ) и exp(-P /TeV ) падаютD соответственноD в 4ћ103 и 7ћ104 разF Поэтому для зв?зд главной последовательности в первом приблиE жении эффект плотности можно не рассматриватьF Для определ?нности параметр n примем равным плотности атмосфеE ры звезды класса АHX lg n = 15.2. @QFPFIA IR


Именно у этого класса зв?зд главной последовательности наиболее сильE на серия БальмераF
3.3 Насел?нность второго уровня

Преобразуем уравнение @QFIFRA к виду

(1 - xa )2 = f, xa
где

@QFQFIA

f = a ћ exp (-P / TeV ) , a=C ћT
3/2 eV

@QFQFPA @QFQFPA @QFQFPA

,

C = B /(2n).

Одно уравнение @QFQFIA заменяет целую систему уравнений задачи о геE лии @PFPFIAD @PFPFPAD но оно является нелинейнымF Так проявляется завиE симость электронной плотности от температурыF Введ?м безразмерную величину

y=

1 n2 , 4n

@QFQFQA

характеризующую насел?нность второго уровня атома водородаF МноE житель 1/4 в правой части введ?н для удобства последующего использоE вания формулы БольцманаF Он равен отношению статистических весов g1 /g2 F ДалееD воспользовавшись формулами Больцмана @IFIFIA и Саха @QFQFIAD выражаем y как функцию температуры и плотностиX

y = exp -

E2 TeV

ћ xa (TeV , n) ,

@QFQFRA

в которой xa (TeV , n) является решением уравнения @QFQFIA
3.4 Высокие и низкие температуры

СноваD как и в случае гелияD убеждаемсяD что функция xa (T ) не моноE тоннаF В области высоких температурD когда правая часть @QFQFIA малаD то есть выполнено условие f 1, @QFRFIA

IS


для относительной концентрации нейтрального водорода справедлива простая формулаX 1 @QFRFPA xa , f откуда следует 2n -3/2 P - E2 TeV exp . @QFRFQA y= B TeV Мы получили сравнительно медленное уменьшение насел?нности второE го уровня с ростом температурыF Как и в случае гелияD это обусловлено близостью возбужд?нного состояния к границе ионизацииF В области предельно низких температур @f 1A ионизационное равE новесие сдвинуто в сторону атомовX

xa 1.
В этом случае из @QFQFRA следует

@QFRFRA

y exp -

10.2 TeV

.

@QFRFSA

Здесь относительно большая величина потенциала возбуждения привоE дит к экспоненциально быстрому падению насел?нности второго уровня по мере уменьшения температурыF ИтакD функция y (T ) возрастает при переходе к самым холодным зв?зE дам и убывает в области предельно высоких температурF СледовательноD она имеет максимумF Перейд?м к определению температуры максимумаF
3.5 Температура максимума насел?нности

Выполним замены переменныхD которые нам несколько упростят выE численияF Максимум функции y (T ) приходится на ту же температуруD что и минимум обратной ей величины

z=
как функции обратной температуры

1 y

@QFSFIA

=

1 . TeV

@QFSFPA

Эквивалентность обеих задач вытекает из монотонности функций @QFRFSA и @QFSFPAF ИтакD @QFQFRA преобразуется в

z=

exp (E2 ) . xa (, n)
IT

@QFSFQA


Минимум функции z () ищем в области небольших значений xa F А именE ноD будем считатьD что можно пренебречь квадратом концентрацииX

x2 a

1.

@QFSFRA

В этом случае левая часть @QFQFIA становится линейнойX

(1 - xa )2 1 - 2xa .

@QFSFSA

Подставим @QFSFRA в @QFQFIA и решим полученное линейное уравнение отE носительно xa X 1 xa . @QFSFTA 2+f ЯсноD что последняя формула справедлива только при выполнении услоE вия @QFRFIAF В этой области рассмотрим функцию

w() = exp(E2 )(2 + f ).

@QFSFUA

Оно получается из @QFSFQAD если заменить точное значение xa на его приE ближение @QFSFTAF Мы исследуем на минимум функцию @QFSFUAD а затем проверим выполнение условия @QFSFRAF Сочетание экспоненциального и степенного множителей в выражеE ниях для f в @QFQFPA приводит к томуD что уравнение

dw = 0, d

@QFSFVA

выражающее требование минимума w()D не имеет аналитического реE шенияF Для дальнейших упрощений воспользуемся известным из наблюE дений фактомD что в зв?здах класса АHD где наиболее сильны линии бальмеровской серииD температура атмосферы значительноD в IH!IS раз меньше потенциалов ионизации и возбуждения водородаF Как мы уже писали в разделе @QFPAD экспоненциальные множители при таких значениE ях аргумента очень сильно меняются с температуройF Их относительные 3/2 изменения велики по сравнению с изменением множителя TeV F СледоE вательноD в первом приближении температуру в степенном множителе можно положить равной некоторой величине

T

eV

= T0 ,

@QFSFWA

которую можно подобратьD исходя из особенностей задачиF В данном случае разумно принять для T0 значениеD близкое к температуре звезды класса АHX T0 = 1 e V . @QFSFIHA IU


С уч?том сказанного продифференцируем функцию w()D удерживая только быстро меняющиеся слагаемыеX

dw = exp (E2 ) ћ [E2 (2 + f ) - aP exp(-P )] . d

@QFSFIIA

и приравняем нулю производную dw/dF В результате получим алгебраE ическое уравнениеD решением которого является температура

T

max

=

P ln 0.85ћ106 ћ T
3/2 0

. (P /E2 - 1)

@QFSFIPA

Подставляя сюда параметры атома водородаX

P = 4/3, E2
с уч?том @QFSFIHA получим

T

max

= 1.07 eV

@QFSFIQA

в хорошем согласии с наблюдениямиF Теперь проверим выполнимость условия @QFSFRAF Подставив @QFSFIQA в @QFQFPAD получим f (Tmax ) = 6.35. Соответствующее решение квадратного уравнения @QFQFIA получается равE ным xa (Tmax ) = 0.12. Таким образомD величина x2 действительно да?т малый вклад в числиE a тель левой части @QFQFIA и приближение @QFSFTA вполне оправданоF Температура максимума насел?нности n2 D как следует из @QFSFIPAD определяетсяD главным образомD потенциалом ионизации

T

max

P,

в то время как от потенциала возбуждения она зависит только логарифE мическиF Причина этого рассмотрена в разделе PFR предыдущей главыF

IV