Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hbar.phys.msu.ru/hbar/optmicro/lec05.pdf Дата изменения: Tue Apr 15 00:00:00 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:43:42 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 8

Спецкурс Оптические микрорезонаторы. Лекция 5. Моды диэлектрического шара
М.Л.Городецкий 15 апреля 2008 г.

1

Волны в сферических координатах

В сферических координатах r; ; с параметрами Ламэ h r основные векторные операторы имеют вид:

ru a @ u er C I @ u e @r r @ I @ @r Ur A C r ? U a r @r r I r ? U a r sin @ @sin @
2 2

a sin

@

A

h

r

aI

,

h



a

r

и

ru
2

I @ @rU A @ Ur e C r @r @ I a rI @@r r @ u C r sin @r
2 2 2

I @u C r sin @ e I @ @sin U A I @ U sin @ C r sin @ U A @ U I I @ Ur @ @ @ er C r sin @
@ @


(1)

rU @r
2

A e

sin

@u @



I C r sin
2

2

@u @
2

(2)

Вводя, как это было описано во второй Главе, вектора Mlm и Nlm , получаемые из решения скалярного волнового уравнения lm с использованием векторной функции f r (такие векторные потенциалы называются потенциалами Дебая), можно получить полное решение векторного волнового уравнения в сферических координатах. Двумя независимыми соленоидальными решениями являются векторные функции:

a

^ M a r ? @r A a iL I i I ^ (3) N a k r ? M a k r ? r ? @r A a k r ? L ^ где r радиус-вектор, а L a ir ? r оператор углового момента. Вектора M и N взаимно ортогональны и образуют базис. Векторы M и N соленоидальны (r ? @M; NA a H). Общеприняты обозначения:
1


тах

H-тип (поперечно электрические TE-моды), E $ M, Er E-тип (поперечно магнитные TM-моды), E $ N, Hr Решением скалярного уравнения Гельмгольца в сферических координа-

aH C

aH

@ @ r r @r @r
2 2

I





I C r sin
2

@ @
`m



sin



@ @



I C r sin
2

2

@ @
2

2

k

2

aH

(4)

являются функции вида:

где Y`m ницу:

@ ; A

a

AY`m @; Aw` @kr

A

(5)

шаровая сферическая функция, обычно нормируемая на еди2

Y`m @; AY`?m @; A d d
0 0

a

`` mm
0

0

Y`m @; C`m P
m `

0

0

A a C`m P`m@os Ae @` mA3 a P`RC I @` C mA3 ;
s

im

(6)

присоединенные полиномы Лежандра, w` k r радиальная сферическая функция. Натуральный индекс ` будем называть полярным индексом или номером моды (в приближении волновой оптики он соответствует числу длин волн укладывающихся на большом круге резонатора ` 9 na=), целое число m азимутальным индексом. Волны eijmj и e ijmj соответствуют двум вырожденным модам, бегущим по окружности резонатора в противоположных направлениях.

@A

P

2
2.1

Сферические функции
Радиальные функции

Сферические радиальные функции

wHH
Заменой переменных

A удовлетворяют P C x wH C @I `@`xC IA Aw a H:
2

wm @z

уравнению: (7)

w` @xA

a Px f @xA @ Aa @A

r

(8)

уравнение превращается в уже рассмотренное уравнение для цилиндрической функции Бесселя полуцелого номера f x Z`+1=2 x . Поэтому основные свойства сферических функций следуют из свойств цилиндрических функций Бесселя. 2


Также, как и в цилиндре, общим решением скалярного уравнения Гельмгольца является линейная комбинация двух сферических функций, каждая из которых, естественно, также подчиняется уравнению (7):

Здесь j` x J x сферическая функция Бесселя, которая огра2x `+1=2 p Y`+1=2 x сферическая функничена в нуле j` 0` , а y` x 2x ция второго рода (Неймана), которая при приближении к нулю стремится к минус бесконечности. Вдали от нуля это осциллирующие ограниченные функции. Сферические радиальные функции третьего рода сферические первые и вторые функции Ханкеля вводятся по аналогии с цилиндрическими координатами:

@ Aa

p

w` @xA

@HA a

@A

a

Cj j` @xA C Cy y` @xA:

(9)

@Aa

@A

h h

(1)

`

(2)

`

@xA a j` @xA C iy`@xA @xA a j` @xA iy`@xA

(10)

На бесконечности сферические функции третьего рода ведут себя как сферические расходящиеся волны.

j y h h

` `

(1)

m

(2)

m

I sin x ` @xA % x P I @xA % x os x ` P i ei x `= @xA % x i @xA % x e i x `=
( 2) ( 2)



(11)

Как и в случае цилиндрических функций Бесселя и Неймана, первый нуль сферических функций с большим номером появляется при значениях аргумента близких к ` = , при этом приближения для нулей получаются те же, что и для цилиндрических с формальной заменой m на ` =. В этой области хорошо работают приближения, использующие функции Эйри:

CI P

a CI P

j` @xA y` @xA

a

r r

P Px

1=

3

a

P Px

1=

P ei P fi

4 1= 4 1=

3

@ xA C O@` A
1

5 5

3

3

@ xA C O@` A
1

(12)

Эти приближения хороши для описания поля внутри резонатора около поверхности. 3


Для больших значений номера и аргумента, когда ваться аппроксимациями Дебая:

x<

можно пользо-

H jm @xA yH @xA
m

e u 9 Ppxs I C O@x A e u ym @xA 9 p I C O@x A xs jm @xA
1 1 1

s 9 x jm @xAI C O@x A s 9 x ym @xAI C O@x A s s u a C erth p x sa
1 2 2

(13)

Этими приближениями можно пользоваться для описания выпадающего поля вне резонатора около его поверхности. Ниже приводятся основные свойства сферических функций, часто используемые при аналитических преобразованиях [1, 2]:

` `CI w` w` a w C w` x x` P` C I w` w` C w` a x ? x? x H w` x dx a w` w` w` a P P w`
H w`

a
1

+1

1

(14)

+1

3

3

2

2

2

1

+1

2

W @j` ; y`

A j` @xAy`H @xA j`H @xAy` @xA a xI
j @xA
0

I C x `@` C IA w` C x x
2 2 2

H w` w

!
`

2

(15)

Следует заметить, что сферические функции, вообще говоря, проще цилиндрических функций, поскольку явно выражаются через элементарные:

j y y

1

0

1

a @xA a @xA a @xA a a

sin x x sin x os x x os x x x os x sin
2

x

j` @xA y`

x`

I @xA a x x
`

I !` x @@x sin x x
@ @x
!`

2

x

x

os
x

x

(16)

4


2.2

Функции Рикатти-Бесселя

В теории рассеяния на сфере (теория Ми) также часто используются функции Риккати-Бесселя, определямые через обычные сферические функции следующим образом:
` @xA ` @xA ` @xA

a xj` @xA a xy` @xA a ` @xA i` @xA a C I `@`xC IA w a H
2

xh` @xA;
(1)

(17)

через них запись некоторых выражений получается проще. Функции РиккатиБесселя подчиняются дифференциальному уравнению:

wHH

(18)

На бесконечности эти функции превращаются в простой синус и косинус.

`

H

W
2.3

a @

`

; ` A
`

1

` x ` a @` C IA ` ` x ` @xAH` @xA `H @xA` @xA a I
+1

(19)

Угловые сферические функции

Присоединенные функции Лежандра

P

m `

@ A

подчиняются уравнению:
2

@I AwHH P
2

wH

C `@` C IA I m

!
2



w

aH

(20)

Обычно присоединенные функции Лежандра выводят из полиномов Лежандра P` , уравнение для которых получается из приведенного выше при m . Они определяются формулой Родрига [2]:

aH

@A

P

m `

d` A a P`I`3 d` @ IA` ; mP @ @A a @ IAm@I Am= d d`mA : P` @
2 2 2

(21)

Явные выражения для присоединенных полиномов малого порядка имеют вид:

P

1 1

aI @xA a @I x A =
0 0 212

P @xA

P

2 1

ax @xA a Qx@I x A
0 1

P @xA

P @xA
0 2

212

=

P

2 2

a @xA a

I @Qx IA P P@I x A
2 2

(22)

В определении присоединенных функции Лежандра часто не используется фазовый множитель Кондона-Шортли m (например, в справочнике [1]), введение которого однако упрощает рассмотрение теории углового момента в квантовой механике.

@ IA

5


Рис. 1: Нормированные присоединенные функции Лежандра ` , ` m ;;.

a IHHH

aH I P

C`m P

m `

@A

для

6


Рис. 2: Нормированная присоединенная функция Лежандра ` , ` m .

a IHHH

a IH

C`m P

m `

@ A

для

7


Для вычисления интегралов перекрытия в теории мод сферических резонаторов полезны следущие соотношения:

1



P P P

1

m ` m ` m `

1



1

1

1

@AP`m @Ad a P` P I @` C mA3 mm C @` mA3 @AP`m @Ad a P` P I @` C mA3 `` C @` mA3 @ I @AP`m @A I d a m``C mA3A3 mm @ m
0 0 0 0 0

2

0

(23)

Использование функций Лежандра в традиционной форме в расчетах для мод высокого порядка не очень удобно из-за входящих в их выражение факториалов больших чисел, что приводит к гигантским численным множителям. Проще применять нормированные угловые сферические функции Y`m . В теории мод шепчущей галереи наибольшую роль играют моды, описываемые присоединенными функциями Лежандра у которых m `, которые мы будем далее называть фундаментальными модами:

a

Y`` @;

A a @ IA` C`` @P` IA33@sin A`

ei` ;

(24)

где двойной факториал числа означает в зависимости от четности этого числа произведение всех четных или нечетных чисел до него:

Разлагая вблизи экваториальной плоскости в ряд Тейлора, беря в разложении Стирлинга для факториала

sin

@PnA33 a P ? R ? T : : : ? Pn a Pn n3 @Pn IA33 a I ? Q ? R : : : ? @Pn IA a @PnA3 Pn n
2

:

(25)

n

39 P

p

n

n n

e

I I I C IPn C PVVn C O@n A
3 2 2



(26)

только первый член и пользуясь известным пределом получаем:

@I C
4

x=`A`


3e
2

,

Y

` `

a @ IA

`



` R

1=4
3

Для мод у которых ` пользоваться конечным рядом [1]:

I @=PP A ) p, где p a `
2

`

9 @ IA

`



m

(27) небольшое число порядка 1 можно

` R

1=
3

e

`( =2 )2 =

:

P

m `

@A a @ IAp

P`` p @

I A p3 @I A p= p IA@ PA@p C p@?pR @P`p IA@P` P?
2

p@p IA P ? @P` IA QA p QA
4

p



2

::: ;

!

(28)

8


но удобнее в этом случае следующее приближение, связывающая присоединенные функции Лежандра с функциями Эрмитта:

Y`m @;

A 9 @ IA

m



где H = . С использованием этой аппроксимации моду можно представить как Гаусс-Эрмиттов пучек, циркулирующий благодаря полному внутреннему отражению в экваториальной плоскости резонатора. В некоторых случаях для расчета свойств мод с не слишком малым ` m полезно следующее приближение вблизи = :

aP

` R

1=
3

4

Hp @`

12

=

@H AA pPIp p3

e m

02

=

2

e

im

;

(29)

P

m `

@os A

2

c`m

a a @ IAm

9

c`m

os H `@` C IA m @
(+

h

`m

`m (` m)! (`+m)!!(` m (` m)!
1)!!(



; ; при четных ` m; ; при нечетных ` m: ;
2 1)!! )!!

aP @` mA P

i

;
(30)

Что, с использованием разложения Стирлинга приводит к простому приближению:

Y`m
3

I @; A 9 @ IA
m

s

`

os

h

H

@` mA e P

i

im

(31)

Сферические гармоники

Выражения для компонентов поля в гауссовой системе единиц, таким образом, при выбранной зависимости от времени в виде e i!t и от азимутального угла в виде G eim (сопряженная мода, бегущая во встречном направлении получается заменой m на m) запишутся в следующем виде: TE-мода

eT b

E

a a C

TE

@ Y`m @; A CT E sin Y`m @; Aw`@krAe C i @ w` @krAi ; w` CT E kIc `@` C IAY`m @; A w` @rkrA er C @ Y`m @; A @ @r r @@rkrAA e @ ! im @ @r w` @krAA (32) sin Y`m @; A r @ r e : m
0

!

TM-мода:

e b

TM

a C a

CT

M

im sin Y`m CT
M

k

I

0

TM

I
c

C IAY`m @; A w` @rkrA er C ! @ @r w` @krAA @; A r @ r e
`@` m Y`m @; Aw` @krAe
9

@ Y`m @; A @ @r w` @krAA e @ r @r
(33)
!

sin

C

i

@ Y`m @; A w` @krAe ; @


w` @nk rA являются сферическими функциями Бесселя, которые равны j` @nk rA внутри шара и h` @k rA снаружи. Как и ранее, для среды с ne Ta I решения получаются формальной заменой n 3 ni =ne , k 3 ne k . Если бы зависимость от времени была выбрана в виде ei!t , убегающая на бесконечность волна описывалась бы функцией h` @k rA. Из равенства тангенциальных составляющих поля на границе при (r a a) i e i e E a E ; E a E (34)
где
0 (1) 0 0 0 0 (2) 0

i B

a

e i B ; B

a

e B

(35)

получаем соотношения:

C C

T E ;e

a a

T M ;e

j` @nk aA h` @k aA j @nk aA n CT M;i ` ; h` @k aA C
T E ;i
0 (1) 0 2 0 (1) 0

(36)

для TE и TM мод, связывающие амплитуды полей снаружи и внутри резонатора, помеченные, соответственно индексами e и i, а также характеристическое уравнение, определяющее собственные числа klq колебаний диэлектрического резонатора:

P @ yj` @yA=@ y ~~ ~ j` @yA ~

где P =n2 для колебаний TM и емый диффракционный параметр виде эти уравнения запишутся для TE:

aI

~~ a @ xh` @xA=@ x ; h` @xA P a I для TE-мод, x a ~ размера шара, y a nk ~
(1) (1)

(37)

0

k a так называa. В развернутом
0

j H @yA ~ n` j` @yA ~
для TM:

a
0 (1)

h` @xA ~; h` @xA ~
0 (1)

(1)

(38)

H~ j` @yA j` @y A ~

a

h @xA ~ n` h` @xA ~
(1)

C n n I x ~
2

;

(39)

Воспользовавшись свойствами функций Бесселя (15) характеристическое уравнение можно переписать в другой часто используемой форме для TE:

j @yA ~ n ` j` @yA ~
1

a

h` @xA ; h` @xA ~
(1) 1 (1)

(40)

для TM:

j` @yA ~ j` @y A ~
1

a

h @xA ~ n ` h` @xA ~
(1) 1 (1)

`@nnx IA ; ~
2

(41)

10


Через функции Риккати-Бесселя это харарктеристическое уравнение записывается еще проще:

H nP ` @yA` @xA
4

` @yA`H @xA a H

(42)

Собственные частоты диэлектрического шара

Корни трансцендентных уравнений (37,42) являются комплексными числами, при этом малая мнимая часть определяет излучательную добротность моды (потери на излучение с выпуклой поверхности). Численный расчет сферических функций, даже очень высоких номеров [3] и, соответственно, численное решение уравнения (37) не составляет особых проблем, поэтому как и для цилиндра получим здесь лишь очень простую и физически прозрачную аппроксимацию, дающую к тому же приближения достаточные для большинства приложений. Мнимая часть корней, которая определяет так называемую излучательную добротность резонатора, связанную с потерей энергии на излучение в окружающее пространство в реальных резонаторах очень мала, а, следовательно, она является малым параметром в уравнении (37). Полагая x xH ixHH , xH ) xHH , и, раскладывая в точке xH все функции, получим систему из двух действительных уравнений для нахождения действительной и мнимой частей. Уравнение для действительной части можно также просто получить, если пренебречь в характеристическом уравнении действительными частями сферической функции Ханкеля, то есть фактически заменить снаружи резонатора сферические функций Ханкеля, описывающие на бесконечности убегающую волну, на функцию Неймана.

~a~ C ~ ~

~

~

@P IAj` @yAy`@xA C x@

H H P nj` @yAy` @xA j` @yAy` @xAA

aH

:

(43)

Такая замена эквивалентна предположению, что на некотором расстоянии от резонатора много большем его радиуса находится отражающий экран. Преобразуя производные от сферических функций в функции меньшего номера получаем уравнение, удобное для численного решения:

xH @P n j` @nxH A y` @xH
1

A j` @nxHAy` @xHAA C `@I P Aj` @nxHA y` @xHA a H
1

:

(44)

Это уравнение имеет много корней, которые помечают, начиная с наименьшего, индексом q . Высокодобротные моды с малым порядком q в геометрическом приближении представляют собой волну, бегущую внутри резонатора вдоль его внутренней поверхности, испытывающую многократное полное внутреннее отражение. Легко понять, что моды с малыми потерями могут существовать лишь до тех пор, пока угол падения такой бегущей волны больше чем угол полного внутреннего отражения #i =n. Таким

sin@ A a I

11


образом, из резонансного условия для продольной компоненты волнового вектора k #i an 9 `, получаем, что моды шепчущей галереи возможны лишь при x < `, а поскольку при скользящем падении nk a 9 `, то `=n < x < `. Если бы отражение происходило не от диэлектрических стенок, а от стенок окружающего вещества c ; 3 I, то характеристическое уравнение имело бы для мод шепчущей галереи одинаковый простой вид: j` nk`q a и решения nk`q a t q , где t q корни функции Бесселя, ` = . При полном внутреннем отражении поле моды немного (на глубину меньшую длины волны) проникает в окружающее пространство и спадает вне его p по экспоненте приблизительно как G eik? (r a) e n2 1k0 (r a) . Этот результат следует из равенства тангенциальных компонент волнового вектора k на границеq резонатора с окружающей средой. Для скользящей волны: p 2 2 k0 kjj ik0 n2 . kjj nk0 , kc

sin@ A

a

@ AaH a CI P

a

a

a

a

I

H~ y` @xA y` @xA ~

a

p

n

2

I

(45)

Этот результат можно получить и непосредственно из асимптотических разложений Дебая для функции Ханкеля [1]) при x < `. Различие между модами T E и T M появляется из-за разных направлений вектора E на границе, и, соответственно, разных граничных условий. Будем искать решения вблизи нуля функции Бесселя в виде

~~ t a nxH

9 t q ?:

(46) (47)

Тогда

j` @nxA ~

Подставляя эти приближения в характеристическое уравнение и, пренебрегая членами порядка x 1 , получим:

`@ 9 ? @ jn@nxA x

~

?T

23

Полученное приближение M , имеет точность порядка = , приемлемую для многих оценок. Корень t q можно легко найти численно или рассчитать приближенно из приближения для нулей функции Эйри q , которой можно аппроксимировать функцию Бесселя при больших значениях порядка ` [2]:

a pnP n I H a t q C ?T E jT nx ~
E TM

j

2

(48)

f @z

Q 9 q C PH q P P Q@Rq IA q 9 f V
t
1=
3

q

2





13

=

C O@
z



23

=

A
!

(49)

Aa

z

23

=

S I C RV

z

2

S QT

z

4

C UUIPS VPWRR

6

C

:::

12


Разными авторами предложены и другие способы нахождения приближений для действительной и мнимой части корней (см. например [4, 5]. В работе [6] получены асимптотики решений, дающие точность порядка O ` 3 . Приведем здесь лишь пять первых членов, дающих точность порядка O ` 2 .

@A

@A
q

yl ~ c c

0

1

c c c

2

3

4

c e e

5

4

a nxlq a q @ =PA = ~ a nP a Q@n PH IAq a n P @PPT QAq a QSHn P @I P A@P C a n q @R n C e A RH q @RH@QSIn Qn C a a n @I P A@n C IPn
2 2 3 2 4 2 3 2 2 4 6 4 2 8 4 2

13

C

I
k
=0

@n IA
2

ck

( +1) 2

k

=

k =

P

3

P

IRHH
2

IA C @n IA @IH C q A
2 2 3

5

a UHHHn @I A@Pn Unn ITn C STn n PVA
10 8 6 4 2 6

n P

Qn IA RUW@n IA SHRHHH VA
2

3

q

3

e A
5

8

(50)

При работе с микросферами часто требуется решать обратную задачу вычислять индекс моды ` по размерному параметру x. Оборачивая предыдущие формулы можно получить следующую аппроксимацию:

`

a yC ~ C

q

q nP

= nP ~ C @n IA = C q y P TH P = @Pn P Pn IA y ~ C O @y A ~ = P T@n IA 1=

y ~

3

2

13

2

12

2

2

2

23

1

2

32

(51) (52)

В таблице приведены примеры вычисления действительной части размерного параметра xH k0 a, характеризующего собственные частоты сферического резонатора с показателем преломления n : в разных приближениях для мод порядка ` . В первой колонке указан тип моды, во второй результаты численного решения методом Ньютона комплексного характеристического уравнения (37), в третьей результат решения действительного уравнения (43), в четвертой расчет с использованием аппроксимации Шиллера с учетом пяти выписанных членов и в последней колонке простая аппроксимация (46), полученная выше.

a

a IHH

a I RSU

13


Тип TE100;m;1 TM100;m;1 TE100;m;2 TM100;m;2 TE100;m;3 TM100;m;3 TE100;m;4 TM100;m;4 TE100;m;5 TM100;m;5 TE100;m;6 TM100;m;6 TE100;m;7 TM100;m;7 TE100;m;8 TM100;m;8

xH ~

(числ. 37) 74.053609 74.536459 78.752969 79.215800 82.721724 83.159929 86.317566 86.724474 89.672687 90.037841 92.848980 93.153519 95.885049 96.102926 98.837164 98.966633

xH ~

(числ. 43) 74.053609 74.536459 78.752969 79.215800 82.721724 83.159929 86.317566 86.724474 89.672687 90.037841 92.849031 93.153614 95.887571 96.107857 98.869184 99.032736

xH ~

(прибл. 50) 74.0542 74.5420 78.7559 79.2359 82.7296 83.2032 86.3344 86.8024 89.7056 90.1684 92.9118 93.3698 95.9937 96.4472 98.9779 99.4271

xH ~

(прибл. 46) 74.1079 74.6070 78.8526 79.3518 82.8635 83.3627 86.5026 87.0018 89.9063 90.4054 93.1439 93.6431 96.2565 96.7557 99.2709 99.7701

5

Излучательные потери

Комплексные корни характеристического уравнения (37), определяющего собственные частоты, имеют следующий смысл: так как поле в диэлектрическом шаре связано с электромагнитным полем в окружающем пространстве, часть энергии колебаний постоянно уносится уходящими на бесконечность волнами. Таким образом, однажды возбужденные в резонаторе колебания затухают со временем из-за излучения(излучательные потери). Если представить корень уравнения, как k k H ik HH , то излучательную добротность, с точностью до множителя , характеризующую отношение запасенной в резонаторе энергии к энергии теряемой за период, можно рассчитать как Qизл kH = kHH xH = xHH . Физический смысл излучательной добротности можно понять следующим образом. Вблизи поверхности резонатора фазовая скорость экспоненциально спадающей волны, распространяющейся в воздухе вдоль поверхности, равна c=n. При удалении от резонатора эта компонента скорости линейно нарастает, пока на расстоянии n a не сравнивается со скоростью света. На этом расстоянии излучение будет отрываться от резонатора с потерей энергии окружающее пространство. Для реальных микрорезонаторов излучательные потери пренебрежимо малы. Раскладывая характеристическое уравнение до первого порядка относительно xHH , получаем:

P

a

a

P a ~ P~

@

IA

QHH T QHH T

E M

~H ~H a x ` @x A@n IA P xH ` @xH A@n IA l@l C IA H` @xH A ~~ ~ a H C ` @xH A P nx ~ ~
2 2 2 2 2 2 2 2



(53)

14


Задание 5.1 Получите это выражение для излучательной добротности.

Используя приближение Дебая для функции Неймана при получить еще более грубую оценку:

>x

, можно

QT QT

E ;изл

M;

~H s= s 9 x @n s IA e P s ~H ` 9 x @n s IA `@n CH IA C xH e изл P x ~ ~ p sa xH ~
2 2 2( arctanh( ) ) 2 2 2 2 2 2 2 2

2(



arctanh(

s=

)

s

)

(54)

В обоих случаях подставлять следует, естественно, решения или приближения xH для, соответственно, TE или TM мод. Аналогичные формулы были предложены в работах [7, 8], однако, как будет видно из иллюстративного расчета ниже, точность такого приближения весьма невелика и для не слишком высоких порядков, для которых как раз интересно рассмотрение излучательных потерь, ошибка составляет десятки процентов. Причина состоит в том, что это выражение очень чувствительно к точности используемого приближения размерного параметра xH (входит под экспоненту), кроме того, использованное приближение имеет большую погрешность при больших q . Поэтому в наше время, когда численный расчет специальных функций проблемы не составляет, можно рекомендовать к применению лишь выражения (53). В следующей таблице приведены примеры вычисления добротности тех же мод порядка ` , для которых выше были рассчитаны собственные частоты, как и прежде показатель преломления диэлектрического шара n : . В первой колонке указан тип моды, во второй результаты численного нахождения методом Ньютона корней комплексного характеристического уравнения (37), в третьей результат расчета по формуле (53) c использованием численного решения для xH (43), в четвертой расчет по приближенной формуле (53) с использованием приближения для корней (46), в пятой с использованием более точного приближения для корней (50), что позволяет несколько улучшить ситуацию.

~

~

a IHH

a I RSU

5.1

Нормировка поля в резонаторе

Для теоретического анализа различных эффектов, связанных с модами типа шепчущей галереи, удобно нормировать распределения полей, например так, чтобы квадрат амплитуды был равен энергии:

i



`mq

aP




V

0

jE @tAe@r
dv

A`mq j

0

2

dv

a jEt @tAj
2

2

(55)

При этом в резонансе:

P

0

V

je@r

A`mq j

2

I a P
15

V

jb@rA`mq j dv a I;

(56)


Рис. 3: Излучательная добротность мод разных типов и номеров ческом резонаторе

q

в сфери-

16


Тип TE100;100;1 TM100;100;1 TE100;100;2 TM100;100;2 TE100;100;3 TM100;100;3 TE100;100;4 TM100;100;4 TE100;100;5 TM100;100;5 TE100;100;6 TM100;100;6 TE100;100;7 TM100;100;7 TE100;100;8 TM100;100;8

Q

a xH=@PxHHA ~~

2.422E14 1.690E14 9.707E10 6.423E10 3.280E08 2.066E08 3.914E06 2.349E06 1.206E05 6.892E04 8.568E03 4.651E03 1.388E03 7.144E02 4.789E02 2.330E02

(37)

Q (53,43) 2.422E14 1.690E14 9.707E10 6.423E10 3.280E08 2.066E08 3.914E06 2.349E06 1.206E05 6.892E04 8.567E03 4.650E03 1.379E03 7.101E02 4.332E02 2.109E02

Q (54,46) 2.176E14 1.497E14 8.213E10 5.225E10 2.665E08 1.577E08 3.083E06 1.704E06 9.230E04 4.776E04 6.267E03 3.060E03 9.624E02 4.542E02 4.569E02 2.562E02

Q (54,50) 2.395E14 1.684E14 9.530E10 6.257E10 3.182E08 1.955E08 3.729E06 2.143E06 1.114E05 5.994E04 7.428E03 3.755E03 1.091E03 5.271E02 4.505E02 2.352E02

Поскольку распределение поля является решением задачи на собственные значения в ограниченной области (если пренебречь излучением), распределения полей для разных мод практически ортогональны:




V

R

0

e@r

A`

0

m0 q

0

e? @rA`mq C

к.с.

dv a

``
0

mm

0

q q ;
0

(57)

интегрирование здесь и далее ведется по объему резонатора и некоторой прилегающей области, вне волновой зоны, где выпадающее поле заметно. Хотя формальное интегрирование поля моды по всему объему в открытом резонаторе из-за наличия мнимой части k и встречает математические сложности (интеграл на бесконечности расходится), выбирая конечный физический объем интегрирования, или, полагая излучательную добротность равной бесконечности эту непринципиальную проблему можно обойти. Для микрорезонаторов практически эти условия выполняются, если r na и r a $ . В тех случаях, когда излучательная добротность играет ключевую роль, можно воспользоваться для нормировки более строгим подходом, который обсуждается в Главе 2. В случае полей типа T E для вычисления удобнее брать интегралы для электрической, а в случае T M - магнитной компоненты.


jET E ; HT M j dv a @jET E; ; HT
2



M ;

G PC`m
2

4

j C jE
2

T E ;

; HT
2

M ;

j Adv
2 2

1



1

m I @P` @AA
2 2

m

2

d

C
17



1





1

@ P`m @ @

A @I Ad

5

w` @krAr dr
2 2


a P a

a `@` C IA


@P @AA PC`m @` C mA3 m @` mA3
C`m
2 2 1 1



m `

2



w` @krAr dr
2 2

I C `@` C IA I P`@` C IA m! w @krAr C P` C I `
2 2 2 2 2

m



m

!

d



w` @krAr dr
2 2

2

dr
(58)

Из этого расчета следует, что отношение энергии, приходящаейся на компоненту E к E для больших ` и m в TE моде, а также для других компонент составляет:

то есть основная доля энергии приходится на компоненту E . Для интегрирования по проще всего один раз продифференцировать по частям и затем воспользоваться дифференциальным уравнением для функций Лежандра (20). Интегрирование по r проведем в пределах от нуля, до виртуальной поверхности радиусом a, на которой j` k na обращается в H нуль. При этом j` k na 9 j` y .

jET E; j dv a jHT E; j dv a jHT jET E; j dv jHT E; j dv jHT P` a @P``@CC IA I 9 ` m C I=P ; IAm m

2 2 2 2





M ; M ;

j dv jET j dv a jET
2 2



M ; M ;

j dv j dv
2 2

(59)

@

A

? @A aP
2

~

@ ~A

~ a

j` @knrAr dr
2 2

a

3



0

@ j ` @ @


A 9 a j @ P? `
2 3 2 2 2

knaA:

(60)

Задание 5.2 Покажите, что отношение компонент:

jHT E; j dv a jET M; j jHT E;r j dv jET M;r j 9 @nk a@Ank a`A@` C IA 9 q
2 0 2 0 2



2

dv dv

P

23

=

(61)

Таким образом, можно с хорошей степенью приближения считать, что практически вся энергия в резонаторе сосредоточена у TE моды в компонентах поля E и Hr и у TM моды в компонентах H и Er . Таким образом, при введенной нормировке вида (56) нормировочные константы в выражениях (32,34) имеют вид:

CT Ej

TM

a p pP@` C IA `
0

?T EjT M a = j` @nxT Ej
32 2

TM

A
cq `
11 6

(62)

Вычислим приближение эффективного объема моды резонатора для фундаментальной моды ` m:

V

T E ;ef f

a jEjE j dv 9 max j
2 2



a



32

=

P = @` C IAtHq eiH` @q A a 3 H t q ` = = ei` @q A
23 3 12 53 2

=

3

n

18


V

T M ;ef f

a



c jB j dv n jEmax j
2 2 2 2

9

= P = tH q t q ` = = @` C
32 23 3 12 53

где численные коэффициенты c1::5 0.061, 0.131, 0.184, 0.230, 0.272. Здесь мы учли, что P`` ` , воспользовались формулой Стирлинга для вычисления факториалов и использовали аппроксимацию сферических функций функциями Эйри (12), пренебрегая малым дополнительным сдвигом максимумов относительно такой аппроксимации. Полученное выражение хорошо работает уже при ` ! . Точный численный расчет [9] показывает, что при уменьшении ` эффективный объем убывает лишь до некоторого минимального значения, а потом опять начинает расти. Для других мод с ` T m вычисления аналогичны, но надо учесть, что функции Лежандра имеют абсолютный максимум не в нуле, а вблизи углов Ѓm=`. В этом заключается некоторое неудобство эффективного объема, вводимого через максимум электрического поля, то есть через поле в какой-то одной точке внутри резонатора. Кроме того, надо иметь в виду, что у мод, имеющих более одного максимума по радиусу (q > ), абсолютным максимумумом является первый, а не ближайший к поверхности. Как будет показано далее, например, при исследовании внутреннего рассеяния и нелинейности характерной является параметр, имеющий также размерность объема:

@HA a @P

IA33

a

eiH` @q A a 3 H IA ei` @q A
2 3 2

cq `

11 6

=

3

n

(63)

SH

a

sin a

I

V

NL

a jejjejjedvdv j

2 2 2



?2

(64)

Список литературы
[1] Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Л?ш, Специальные таблицы, Наука, Москва, 1964. [2] М. Абрамовиц и И. Стиган, Москва, 1979. [3] E. Gillman and H. Fiebig, Computers in physics 2, 62 (1988). [4] C.C. Lam, P.T. Leung, and K. Young, J. Opt. Soc. Am. B 9, 1585 (1992). [5] B. R. Johnson, J. Opt. Soc. Am. A [6] S. Schiller, Appl. Opt.
32 10
функции. Формулы, графики,

Справочник по специальным функциям

с формулами, графиками и математическими таблицами

,

Наука,

, 343 (1993).

, 2181 (1993).
резонаторы и открытые волноводы

[7] . . Вайнштейн, Открытые Советское радио, 1966.

, М.,

[8] А.Н. Ораевский, Квантовая электроник

32

, 377 (2002). , 033806 (2003).

[9] J. R. Buck and H. J. Kimble, Phys. Rev. A

67

19