Об истолковании так называемого династического параллелизма

Е. Я. Клименков

«Математические методы и ЭВМ в исторических исследованиях», сб. статей под ред. И. Д. Ковальченко, М., Наука, 1985

Хронологические ряды правителей до сих пор, по существу, не изучались методами количественного анализа ¹, в известной мере по причине их ограниченной информативности, связанной с принципиально единичным характером монархического правления. В настоящее время, однако, появились основания для более детального их исследования в связи с проблемой так называемого династического параллелизма.

В последнее время в печати стали появляться работы ^2-3, посвященные вопросам обоснования и практического приложения некоторых новых методик формального статистического анализа исторических текстов и хронологических рядов. Предлагаемые в этих работах методики при условии их критического использования, по-видимому, могут в ряде случаев найти полезные применения в качестве вспомогательных инструментов текстологического исследования. Однако в указанных работах результаты приложения этих методик интерпретируются авторами М. М. Постниковым и А. Т. Фоменко в духе гипотезы о недостоверности традиционной древней хронологии и делается попытка с помощью предложенных методик построить научно убедительные доказательства этой гипотезы ⁴. Особое внимание при этом уделяется обсуждению вопроса о близости хронологических рядов, образуемых длительностями персональных правлений, которые рассматриваются как относительно надежные количественные характеристики, наименее подверженные влиянию симпатий и политической ориентации сообщавших о них хронистов. Параллельные хронологические ряды, известные до работ М. М. Постникова и А. Т. , Фоменко, на первый взгляд отличало поразительное соответствие продолжительностей правлений. Однако значительный произвол при обработке используемой исторической информации, неоправданные деформации длительностей правлений, перестановки правителей и т. д., а главное, отсутствие точной количественной оценки степени близости сравниваемых последовательностей чисел делали эти династические параллелизмы совершенно бездоказательными.

В упомянутых работах М. М. Постникова и А. Т. Фоменко предприняты попытки подвести более прочный фундамент под тезис династического параллелизма. В них предлагается методика статистической оценки степени близости династических последовательностей и накладываются известные ограничения на допустимый произвол при построении таких последовательностей. Возникает вопрос: достигают ли поставленной цели авторы этих работ и является ли корректным их подход? Попробуем в этом разобраться.

Обратимся к наиболее важному династическому параллелизму, приведенному в совместной работе М. М. Постникова и А. Т. Фоменко, — параллелизму между последовательностями правителей ранней и поздней Римских империй, условно разграниченных периодом политического кризиса III в. (в указанной работе — империи II и империи III). Поскольку центр тяжести аргументации авторов работы смещен в сторону формальных числовых соотношений, мы основное внимание уделим здесь не содержательной, а формальной, цифровой стороне дела и не будем обсуждать такие важные неформальные аспекты, как, скажем, насколько правомерно считать полноправным правителем империи императора, провозглашенного в провинции, за пределы которой его власть вообще никогда не распространялась, и т.п. Чтобы ясно было дальнейшее изложение, остановимся на терминологии. Под «династией» авторы обсуждаемой работы понимают последовательность фактических правителей государства (включая и соправителей) «безотносительно к их титулатуре и родственным связям». Чтобы развернуть этих «династов» в ряд, принимается принцип упорядочения по серединам сроков правлений. Последовательность чисел, задающих длительности персональных правлений «династии», именуется «династическим потоком», а ее подпоследовательности, получаемые отбрасыванием некоторых соправителей, — «династическими струями». От «струи» требуется, чтобы она была монотонной (середины сроков, входящих в струю правлений, должны монотонно возрастать) и полной (весь период, охваченный «струей», покрывается ею без пробелов; перекрытия допустимы). В упомянутой работе оговаривается со ссылкой на неточности хронистов, что в единичных случаях допустимы: пробелы, не превышающие года; перестановки двух соседних правителей; объединение последовательных правителей (в числе не более трех) в одного фиктивного. Как видим, ограничения на «династическую струю» накладываются не слишком жесткие. Эти ограничения дополняет требование, «чтобы ни одна струя не содержала двух различных вариантов одного и того же правления».

По словам М. М. Постникова и А. Т. Фоменко, в каждом из «потоков» ранней и поздней Римских империй были «выделены все его струи», которые далее попарно сравнивались посредством вычисления величины, названной коэффициентом рассогласования КРП. Этот коэффициент, измеряемый в %, определяется как меньшее из двух чисел a и b : e = min(a, b), где a есть среднее арифметическое:

относительных рассогласований отдельных звеньев сравниваемых «струй» x₁, x₂, … , x_n и x'₁, x'₂, … , x'_n

а для получения b следует поменять местами x_i и x'_i ⁵. Подчеркнем, что если x_i отклоняется от x'_i не более чем на 2, то вклад i-го звена сравниваемых «струй» в КРП равен нулю.

С помощью указанной методики авторы упомянутой работы сумели выделить из «династических потоков» ранней и поздней Римских империй по «струе» с КРП, равным e = 3% (см. табл. 1, прил. 4). Что утверждается относительно этой пары «струй»? Во-первых, что она «оптимальна» (имеет минимальный для данных «династических потоков» КРП), а во-вторых, что полученное для этих «струй» значение е «означает практически полное совпадение двух струй». При этом авторы ссылаются на результаты применения такой же методики к числовому анализу «нескольких тысяч пар династических потоков и их струй древних и средневековых государств», из которых следует, что нижней границей возможных величин КРП для «струй» из независимых «династических потоков» является значение 15%.

Следует ли отсюда вывод об отсутствии независимости между «династическими потоками» ранней и поздней Римских империй? Как показывает нижеследующий анализ, для такого вывода нет оснований.

Прежде чем перейти к обсуждению вопроса по существу, заметим, что «параллельным струям», приведенным в табл. 1, прил. 4 можно предъявить ряд достаточно серьезных упреков. Однако их детальный разбор занял бы слишком много места и не во всем был бы уместен в данной работе. Поэтому не будем останавливаться на таких вопросах, как степень обоснованности привлечения в «струю» ранней империи деятелей республиканского Рима (Серторий, Помпеи и пр.) или использования в «струе» поздней империи варварских королей (Одоакр, Теодорих) и влиятельных деятелей империи, никогда не бывших императорами (Аэций, Рецимер). В конечном счете это вопросы, выводящие обсуждение в плоскость неформальной полемики, и обсуждать их здесь не представляется возможным.

Что же касается тех формальных требований, которые предъявляют к «династическим струям» М. М. Постников и А. Т. Фоменко, то здесь в отношении табл. 1, прил. 4 могут быть сделаны некоторые существенные замечания. В частности, хотя в работе это нигде не оговаривается, под полнотой «струи», как следует из табл. 1, прил. 4, понимается не просто отсутствие пробелов между правлениями, фиксированными на хронологической шкале, а возможность закрыть оказавшиеся в «струе» пробелы посредством произвольного сдвига того или иного правления.

Примером могут служить «правители» поздней империи (табл. 1, прил. 4): Гонорий (i = 20), Аэций (i = 21), Валентиниан III (i = 22) ⁶. Гонорий умер в 423 г. ⁷ Валентиниан III — Август с 425 г., — убит в 455 г. ⁸ Однако в табл. 1, прил. 4 в качестве срока его правления принимается значение x'₂₂ = 18, т. е. отсчет периода правления ведется не с момента провозглашения Августом, а с 437 г. — года формального совершеннолетия и венчания с дочерью императора Феодосия II (437–455 гг.).

Аэций — патриций и magister militum — обладал фактической властью на западе империи до своей смерти в 454 г. Неоспоримое личное влияние и звание патриция получил в 433 г., после гибели последнего своего соперника Бонифация ⁹. Однако принятый в табл. 1, прил. 4 срок правления х'₂₁ = 21 не может относиться к периоду (433–454 гг.), ибо нарушается условие полноты «струи»: 10-летний интервал (423–433 гг.) не покрывается ни одним правлением «струи». Следовательно, «правление» Аэция в табл. 1, прил. 4 сдвинуто во времени и формально отсчитывается с 423 по 444 г. Конечно, от содержания рассматриваемого исторического периода при подобном сдвиге ничего не остается. Ибо такого рода сдвиги невозможно интерпретировать как простое смещение шкалы времени, поскольку другие правления остаются без сдвига, и содержательные исторические связи периода деформируются и рвутся. Например, сдвиг «правления» Аэция влечет соответствующие сдвиги и походов Аттилы (традиционная дата победы Аэция над Аттилой на Каталаунских полях — 451 г.) и связанного с ними правления восточного императора Маркиана (450–457 гг.), тогда как правление Валентиниана III, не менее тесно связанное и с Аттилой и с Маркианом, оставляется без сдвига ^10.

Можно было бы продолжить разбор недочетов параллельных «струй», приведенных М. М. Постниковым и А. Т. Фоменко, но поскольку одним лишь перечислением их погрешностей, очевидно, нельзя показать неубедительность рассматриваемой методики в применении к правителям Римской империи, проанализируем эту методику более систематически.

Прежде всего обратим внимание на исключительную многочисленность соправителей, особенно в поздней Империи. Ясно, что это обстоятельство обеспечивает гораздо больше возможностей, при попытках построения параллельных «династических струй», чем в случае жесткого «потока», лишенного соправителей. Имеется и еще один источник дополнительной свободы маневра при построении требуемой последовательности правителей. В своей совместной работе авторы сетуют как на одну из «причин нарушения четкой формальной картины» на то обстоятельство, что очень часто трудно с определенностью установить время начала правления (например, считать его «от момента фактического прихода к власти или от момента формальной интронизации»). Думается, однако, что как раз это обстоятельство помогает успешно выходить из затруднений при построении параллельных «струй», как хорошо показывает обсуждавшийся нами пример: благодаря наличию подходящей даты бракосочетания повзрослевшего Валентиниана III (437 г.) удалось уйти от непригодного для «струи» традиционного срока его правления (425–455 гг.).

Оправдан вопрос: не с этой ли гибкостью «династического потока» связано успешное построение параллельных «струй», приведенных в работе? Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо иметь количественный показатель гибкости «династического потока». Введем его на основании следующих соображений.

Если рассматриваемая «династия» лишена соправителей и срок каждого правления однозначно определен, то при построении «династической струи» на каждом очередном i-м шаге (i = 1, 2, … , n; n — число элементов в «струе») имеется лишь один возможный вариант продолжения «струи» — i-й правитель с фиксированным сроком правления х_i. В случае же, когда в «династии» есть соправители или для одного и того же правителя можно использовать различные значения продолжительности его правления, имеется несколько возможных вариантов продолжения «струи» на i-м шаге, из которых можно выбрать наиболее подходящее значение х_i. При этом, очевидно, повышается вероятность W_i «совмещения» х_i, с тем значением х'_i, которое случайным образом реализуется на i-м шаге другой «струи».

Под «совмещением» х_i с х'_i в соответствии с определением коэффициента рассогласования (1), (1') следует понимать случай, когда отклонение значения х_i от х'_i не превышает 2, т. е. когда вклад i-го звена сравниваемых струй в коэффициент рассогласования равен нулю: a_i = b_i = 0.

Каждое правление, входящее в «династический поток», за исключением последнего, может служить исходной позицией для очередного шага в «струе», где это правление используется. Причем шаг с такого исходного правления может быть сделан либо на единственное следующее правление, либо на какое-нибудь одно из нескольких правлений наследовавших соправителей, т. е. иметь один или несколько вариантов продолжения «струи». В соответствии с этим будем понимать под «j-м шагом династического потока» совокупность вариантов продолжения «струи» с (j−1)-го правления «династии» (j = 2, 3, … , N; N — полное число различных правлений в «династии»). Вероятность «совмещения» на j-м шаге W_j зависит от количества возможных вариантов шага и от статистического веса каждого из этих вариантов. Если 1-е правление «династии» формально считать вариантом 1-го шага, то для данной «династии» число различных возможных шагов равно полному числу N различных правлений, входящих в «династию».

В качестве требуемого показателя гибкости «династического потока» примем среднюю по всем шагам «династии» вероятность «совмещения», для определения которой воспользуемся геометрическим средним

Этот показатель будем измерять в процентах и назовем коэффициентом вариантности «династического потока» (КВП).

Для получения вероятности «совмещения» на j-м шаге W_j надо знать распределение сроков правлений. В своей работе ¹¹ А. Т. Фоменко приводит график распределения сроков правлений Европы и Средиземноморья, построенный для других целей в результате обработки имеющейся информации о продолжительностях правлений за период 3000 г. до н.э. — 1400 г. н.э. (см. рис. 1, прил. 1; в дальнейшем будем называть его П-распределением). Заметим, однако, что П-распределение строилось по таблицам ¹², где не учтена информация о фактических правителях, не являвшихся монархами, таких, как Аэций и Рецимер, которые использовались в «династиях» М. М. Постниковым и А. Т. Фоменко. Указанные таблицы также, как правило, не содержат исчерпывающих сведений о возможных вариациях сроков правлений — факторе, весьма существенном для 'правителей Римской империи (см. прил. 2). Тем не менее, полагая, что обусловленная этими причинами ошибка не слишком велика, воспользуемся П-распределением, чтобы получить вероятность «совмещения» любого возможного значения срока правления х (х — натуральное число) с произвольной реализацией целочисленной случайной величины, подчиняющейся П-распределению. Эту вероятность отождествим с суммой относительных частот сроков правлений, попадающих в отрезок [х−2;х+2]:

Здесь p_x — относительная частота срока правления, равного х (число правлений продолжительностью х, отнесенное к полному числу правлений, учтенных в распределении).

В случае, когда на рассматриваемом шаге имеется несколько (k) возможных вариантов срока правлениях⁽¹⁾, х⁽²⁾, … , х^(k) вероятность «совмещения» на этом шаге примем равной сумме относительных частот сроков правлений, попадающих в область, покрытую хотя бы одним из совокупности отрезков [х⁽¹⁾−2, х⁽¹⁾+2], … , [х^(k)−2, х^(k)+2] (т. е. в объединение A = И[х^(l)−2, х^(l)+2], причем относительная частота, отвечающая каждому значению х, попадающему в область A, должна учитываться в сумме лишь однократно:

Таким образом, в зависимости от числа возможных вариантов j-го шага соответствующая вероятность «совмещения» W_j вычисляется или по формуле (3) (единственный вариант), или по формуле (4) (несколько вариантов).

Прежде чем перейти к вычислению КВП ранней и поздней Римских империй, остановимся на важном неформальном вопросе учета различных вариаций срока одного и того же правления. Эти вариации связаны, как правило, с неоднозначностью начальной даты правления, ибо оканчиваются правления, за редким исключением, в год смерти правителя. Например, для уже упоминавшегося Валентиниана III (ум. в 455 г.) вместо традиционной даты начала правления (425 г.) М. М. Постников и А. Т. Фоменко принимают дату его совершеннолетия и бракосочетания (437 г.), но могли бы принять и дату смерти Аэция (454 г.), фактического обладателя власти на Западе. Вот уже три возможных срока правления Валентиниана III: 1, 18 и 30.

Другой пример. Юлиан II Отступник (ум. в 363 г.) — Цезарь и соправитель Констанция II с 355 г.; провозглашен Августом в 360 г.; стал единовластным правителем империи после смерти Констанция II в 361 г. Вариации срока правления: 2, 3, 8.

Еще больше «степеней свободы» у Константина I Великого (ум. в 337 г.). Облечен титулом Цезаря после смерти Констанция I Хлора в 306 г. (именно эту начальную дату используют авторы обсуждаемой работы); стал Августом в 307 г.; сделался хозяином Рима и Запада империи после гибели Максенция (312 г.); единовластный правитель империи после победы над Лицинием (324 г.). Налицо четыре вариации срока правления Константина I: 13, 25, 30, 31. (Причем возможности варьирования срока этим не исчерпаны: в случае необходимости можно было бы привлечь еще и даты смерти «старших Августов» — Максимиана Геркулия, которому обязан был титулом Августа сам Константин, Галерия и т. д.)

Нет нужды говорить, насколько существенно для построения параллельных «струй» наличие подобных вариаций срока. Например, в параллельных «струях», приведенных М. М. Постниковым и А. Т. Фоменко (см. табл. 1, прил. 4), в «струе» поздней империи в качестве начальной даты правления Константина I (i = 9; ум. в 337 г.) авторы принимают год его провозглашения Цезарем (306 г.), но не год, когда он получил титул Августа (307 г.). Зато в качестве начала правления Юлиана II Отступника (i = 11; ум. в 363 г.) принимается не 355 г., когда он стал Цезарем и соправителем Констанция II на Западе, и не 360 г., когда он провозгласил себя Августом, а год смерти Констанция II (361 г.), т. е. год начала единовластия Юлиана.

Что же касается начала правления Каракаллы (ранняя Империя, i = 29; ум. в 217 г.), то в качестве такового в упомянутых «струях» принимается не год начала его единовластия (212 г. — год убийства Геты), не год смерти Септимия Севера, когда фактическая власть в Империи перешла к Каракалле (211 г.), не год его провозглашения Августом (198 г.) и не год, когда он получил титул император-дестинат (предназначенный в императоры) (197 г.), и даже не год, когда Каракалла стал Цезарем (196 г.), а год прихода к власти его отца Септимия Севера — 193 г. Насколько сложней была бы задача отыскания «династического параллелизма», не будь столь широкого выбора вариаций сроков правлений.

В прил. 2 мы приводим перечень правлений, допускающих вариации сроков, которые следует учитывать при вычислении КВП Римской империи. Перечень не претендует на исчерпывающую полноту; он ограничен временными рамками используемых ниже «династий»; по неформальным соображениям в него не включены некоторые возможные вариации сроков ряда правлений из рассматриваемых «династий», а также совсем не отмечены соправители-Цезари, никогда не провозглашавшиеся Августами.

Вычислим теперь КВП ранней и поздней Римских империй в рамках условий, накладываемых М. М. Постниковым и А. Т. Фоменко на «династические струи». Подчеркнем, что и в отборе «династов», и в выборе вариаций сроков правлений мы руководствуемся уровнем требований авторов обсуждаемых работ не потому, что считаем эти требования (привлечение в «династии» правителей-неимператоров и т. п.) убедительно обоснованными, а с целью ясно показать, что такой подход в применении к Римской империи не достигает цели.

В табл. 2 и 3, прил. 4 приведены упорядоченные по серединам сроков перечни правлений, используемых нами в обеих «династиях», с указанием их вариаций и обозначений. Перечни не являются исчерпывающими, поскольку некоторые кратковременные узурпаторы, не влияющие заметно на общую картину (Сабиниан, Сильван и т. д.), в «династии» не включались. «Династия» ранней империи начинается с Августа, не включая деятелей периода республиканского Рима, и завершается Децием II, принадлежащим уже периоду политического кризиса III в. (Число правлений N = 43). Чтобы достаточно полно учесть варианты шагов, производимых с последних правлений «династии», дополним ее четырьмя последующими правлениями, которые, однако, не будут использоваться как исходные для какого-нибудь шага и не изменят числа шагов N = 43. Их номера в табл. 2, прил. 4 (44–47) взяты в скобки. «Династию» поздней империи, чтобы не делать чрезмерно громоздкой вспомогательную таблицу шагов, для наших целей достаточно будет начать с Константина I Великого, замкнув ее Ромулом Августулом (N = 56). Как и «династию» ранней империи, дополним ее тремя последующими правлениями, (номера в табл. 3, прил. 4: 57–59), не изменяющими числа шагов N = 56.

Как и в совместной работе М. М. Постникова и А. Т. Фоменко наряду с императорами включим в «династию» поздней империи ряд влиятельных деятелей, не носивших титулов Цезаря и Августа, но обладавших фактической властью в империи (в табл. 3, прил. 4 нетитулованные «правители» заключены в квадратные скобки; краткие сведения о них даны в прил. 2-А). Не будем также избегать ранних восточных императоров, использование которых имело место в указанной работе, в «струе» поздней империи (см. табл. 1, прил. 4: i = 19, Аркадий).

В обсуждаемой работе допускается также «объединение последовательных правителей (в числе не более трех) в одного фиктивного» (не больше одного объединения на «струю»); такие объединения употреблены в приведенных там параллельных «струях». Ограничимся включением в наши «династии» по одной такой объединенной паре, допускающей необходимые неформальные обоснования (см. примечания к табл. 2, З, прил. 4).

Для вычисления КВП составим вспомогательные таблицы насыщенности шагов вариантами в «потоках» ранней и поздней Римских империй (см. табл. 2а, За, прил. 4). При составлении вспомогательной таблицы все правления «династии» располагаются в столбец в соответствии с их упорядочением в «династии». Для любого j-го правления (j = 1, 2, …, N−1) следующее (j+1)-е правление является или единственным, или одним из нескольких возможных вариантов очередного шага в любой «струе», содержащей j-е правление. Выпишем в (j+1)-й строке все остальные возможные варианты шага, которые допускает j-е правление, т. е. те правления, которые следуют в «династии» за j-м и начинаются не позже, чем на следующий год после окончания j-го правления — даты, как правило, четко фиксированной. Если имеет место варьирование срока отдельного правления, связанное обычно с изменениями начальной даты (см. прил. 2), то вариации срока используются с учетом выполнения принятого принципа упорядочения: в (j+1)-ю строку не может помещаться вариация правления с более ранней серединой срока, чем у j-го правления. Расположение правлений в строке соответствует их упорядочению в «династии». Если j-е правление оканчивается раньше, чем какое-либо из предшествующих ему в «династии» (что может случиться при принятом принципе упорядочения), то правления, заносимые в (j+1)-ю строку в качестве вариантов шага, отбираются по позднейшей дате окончания предшествующего правления.

В ряде случаев в качестве самостоятельного элемента «династической струи» М. М. Постников и А. Т. Фоменко используют не отдельное правление, а непродолжительный период, охватывающий неустойчивые правления с борьбой между соправителями, который именуется «смутным периодом». Продолжительность «смутного периода» можно варьировать в известных пределах, что, конечно, повышает гибкость «династического потока». В прил. 2-Б перечислены используемые в табл. 2а, За «смутные периоды» с соответствующими условными обозначениями.

Составленные вышеуказанным образом вспомогательные табл. 2а, За, прил. 4 дают возможность легко строить «династические струи». При построении «струи» следует каждый очередной шаг совершать из 1-го столбца, т. е. выбрав на предшествующем шаге какое-либо правление из развернутых в строку вариантов шага, для совершения следующего шага надо перейти на это же правление в 1-м столбце (см. примечания к табл. 2а, За, прил. 4). Исключение составляют лишь элементы «смутный период» и «объединенная пара», которые вообще не представлены в 1-м столбце. Если на очередном шаге выбирается такой элемент, то следующий шаг производится непосредственно с него на любое нижележащее правление, стоящее в 1-м столбце, которое удовлетворяет принятому принципу упорядочения и условию полноты.

Здесь заметим, однако, что построенная нами вспомогательная таблица не содержит в себе всех возможных «струй», поскольку она предполагает фиксированный порядок правлений в «династическом потоке», тогда как в общем случае при вариациях сроков правлений относительный порядок правлений в «струях» может меняться. Следовательно, построенная вспомогательная таблица позволяет лишь оценить снизу истинную гибкость«династического потока».

По составленной вспомогательной таблице (табл. 2а, За, прил, 4) расчет КВП сводится к вычислению вероятности «совмещения» W_j для каждого j-го шага, т. е. j-й строки таблицы (j = 1, 2, … , N), по формулам (3) или (4) в зависимости от того, содержит строка один или несколько возможных вариантов шага, после чего КВП вычисляется непосредственно по определению (2). Вычисления дают, что «династические потоки» ранней и поздней империй характеризуются КВП, соответственно равными:

Представляет интерес сравнить полученные значения l_p и l_пс коэффициентом вариантности l₀ «жесткого потока» («потока» без соправителей: на каждом шаге имеется лишь один вариант продолжения), частоты появления элементов которого описываются П-распределением. Значение l₀, характеризующее П-распределение, равно:

(суммирование здесь проводится по всем допустимым значениям сроков правлений х).

Видно, что l_p в 2,7 раза, а l_п в 4,7 раза превосходят характерную величину l₀.

Какой вывод можно сделать из полученных величин l_p и l_п? КВП l имеет смысл средней вероятности «совмещения» возможных вариантов продолжения «струи» на очередном шаге этого «потока» (назовем его «потоком a») с одной произвольной реализацией случайной величины х', принадлежащей другому «потоку» («потоку b») и подчиняющейся П-распределению. Если же таких реализации в «потоке b» на данном шаге имеется несколько, например k, то на этом шаге как бы проводится k независимых испытаний на «совмещение» с заданной вероятностью «совмещения» l в каждом испытании. Вероятность «несовмещения» в k испытаниях равна (1−l)^k. Таким образом, если «поток a» с известным КВП l_a сравнивается с «потоком b» (подчиняющимися П-распределению), у которого среднее число сроков правлений, приходящихся на шаг, равно k_b (фактически это среднее число сроков правлений на строку таблицы насыщенности шагов вариантами), то средняя вероятность «совмещения» на одном шаге может быть оценена по формуле

где k(b) — натуральное число. При k(b) = 1 равенство (7), очевидно, дает <Р> = l_a.

Среднее число сроков правлений, приходящихся на шаг, рассчитывается непосредственно по табл. 2а или За, прил. 4; при этом, если k оказывается нецелым, определяются два целочисленных значения: нижнее k^н и верхнее k^в:

(b_j — число сроков правлений в j-й строке таблицы; от числа, заключенного в квадратные скобки, берется целая часть). Для «потока» ранней империи (см. табл. 2а, прил. 4) получаем: k^н_p = 2; k^в_p = 3; для поздней (таблица 3а): k^н_п = 5; k^в_п = 6.

Таким образом, оценка средней вероятности «совмещения» струй «потока» поздней империи со струями «потока» империи ранней <P(п|р)> ограничена снизу и сверху значениями <P_н> и <P_в> которые могут быть вычислены по формуле (7), где для показателя k используются соответственно значения k^н_p = 2; k^в_p = 3, а для КВП — значение l_п = 0.47:

Аналогично в качестве нижней и верхней оценок средней вероятности «совмещения» потока ранней империи с «потоком» поздней империи (k^н_п = 5; k^в_п = 6, l_р = 0.27) имеем

Из равенств (8), (9) следует, что в качестве величины средней вероятности «совмещения» на отдельном шаге для «династических потоков» ранней и поздней Римских империй с достаточной уверенностью можно принять приближенное значение <Р> ≈ 0.8. Введение этой усредненной оценки для системы двух «потоков» оправдано тем в большей степени, чем ровнее статистические характеристики шагов системы. Причем, если система допускает такое взаимное расположение «потоков» друг относительно друга, при котором локальные понижения гибкости (зоны обедненности шагов вариантами) одного «потока» могут в значительной мере компенсироваться высокой локальной гибкостью другого, то полученная выше оценка имеет смысл и в том случае, когда каждый «поток» в отдельности испытывает заметные колебания насыщенности шагов вариантами. Именно так обстоит дело с «потоками» ранней и поздней Римских империй. Полученная величина <Р> позволяет оценить вероятность «совмещения» струй из этих «потоков». Если срок каждого отдельного правления n-членных «династических струй» рассматривать как статистически независимую реализацию случайной величины, пренебрегая некоторой положительной корреляцией сроков соседних правлений, связанной по большей части с повышенной генерацией кратковременных правлений в периоды кризисов, то оценкой вероятности «совмещения» двух «струй» в целом (во всех n их звеньях) может служить величина <Р>³⁰. Например, для «струй» из 30 элементов получаем оценку вероятности «совмещения», по порядку величины равную Р₃₀ ≈ <Р>³⁰ ≈ 0.8³⁰ ≈ 10⁻³.

Это весьма высокая вероятность, поскольку из системы «потоков» ранней и поздней Римских империй можно извлечь много больше, чем 10³ различных пар 30-членных «династических струй», среди которых поэтому могут найтись и пары с требуемым «совмещением» или близким к нему. Ниже мы приведем новый пример такой пары. Здесь лишь в дополнение к сказанному заметим, что, хотя в отдельно взятом «потоке» число струй растет в основном за счет ветвления в зонах с широким выбором вариантов, в системе двух «потоков» существенную роль начинает играть возможность отмеченной выше взаимной компенсации локальных изменений гибкости «потоков».

Следует указать, что наиденное выше значение средней вероятности «совмещения» <Р> получено в результате анализа «точного совмещения» в предположении, что относительное рассогласование звеньев сравниваемых «струй» (1') точно равно нулю: a_i = b_i = 0. Если ослабить это требование, задавшись некоторым отличным от нуля допустимым уровнем погрешности рассогласования, то это приведет к увеличению коэффициентов вариантности, а следовательно, и вероятности <Р>. Отметим также, что при составлении «династии» поздней империи в рамках требований совместной работы М. М. Постникова и А. Т. Фоменко ничто принципиально не препятствует расширить список используемых влиятельных деятелей империи, формально не являвшихся императорами (таких, как Кастин, Феликс, Руфин, Евтропий и пр.), границу между которыми и, скажем, Аэцием, признанным в указанной работе полноправным «династом», можно провести лишь весьма условно. При этом возросло бы количество возможных вариантов на отдельных шагах, что, в свою очередь, способствовало бы росту коэффициента вариантности l_п.

Перечисленные обстоятельства лишь усиливают основной вывод, что успешное построение параллельных «династических струй» ранней и поздней Римских империй может быть вполне понято с вероятностной тонки зрения и не свидетельствует о якобы аномально высоком уровне корреляции между «династическими потоками». Поэтому сам факт построения параллельных «струй» не может служить основой для радикальных хронологических выводов, тем более что такое построение может быть осуществлено не единственным образом. Приведем, например, построенные нами новые параллельные «струи» из тех же «династических потоков» (см. табл. 4, прил. 4), существенно отличные от «струй», представленных М. М. Постниковым и А. Т. Фоменко в их совместной работе (табл. 1, прил. 4).

Наша «династическая струя» ранней империи построена так, что, за исключением отдельных кратковременных правлений длительностью ~1, она практически совпадает со «струей» ранней империи из работы М. М. Постникова и А. Т. Фоменко на общем для них временном интервале. Тем отчетливее видно при сравнении с табл. 1, прил. 4, что каждое правление из «струи» ранней империи может быть попарно сопряжено с совсем другим правлением поздней империи. Причем построенные нами параллельные «струи» табл. 4, прил. 4, по своим формальным характеристикам превосходят представленные в табл. 1, прил. 4, хотя М. М. Постников и А. Т. Фоменко и квалифицировали приводимые ими «струи» с коэффициентом рассогласования e = 3% как «оптимальные».

Обладая практически такой же длиной — 28 элементов (в «струях» табл. 1, прил. 4 — 29 элементов), «струи» табл. 4, прил. 4 характеризуются коэффициентом рассогласования, равным всего e = 0.7 %. При этом в них не используются деятели периода республиканского Рима и отсутствуют столь существенные недочеты, как отмеченное выше осложнение с Аэцием в «династической струе» поздней империи в обсуждаемой работе. (Имеется лишь незначительный пробел между правлениями Констанция III (i = 15; ум. в 421 г.) и Иоанна i = 16), провозглашенного Августом в 423 г.; пробел закрывается при сдвиге правления Констанция III на 2 года). Элемент «смутный период» в параллельных «струях» табл. 4, прил. 4 используется лишь однократно в отличие от «оптимальных династических струй» в работе М. М. Постникова и А. Т. Фоменко, где при практически той же длине «струй» «смутные периоды» используются четырежды ¹³.

Приведенный нами новый пример параллельных «династических струй», конечно, не является единственным. Причем развитая выше вероятностная методика оценок позволяет при построении параллельных «струй» получать определенную предварительную информацию.

Оценим, например, сколько членов п должна содержать «струя» из «династического потока» ранней империи, чтобы вероятность построения параллельной «струи» из другой части того же «потока» была равна, скажем, Р_n = 10⁻³. Необходимые параметры «потока» известны: l_р = 27%, k_p = 2;3. Будем считать, что эти значения также характеризуют и те части «потока», из которых извлекаются «струи». Ограничимся оценкой снизу (k^н_p = 2) средней вероятности «совмещения» на одном шаге; согласно (7) имеем <P> = 1−(1−l)_р^{k(н, р)} ≈ 0.47. Искомую оценку числа элементов «струи» находим из равенства Р_n ≈ <Р>ⁿ  = 10⁻³.

Заметим, что принятая величина вероятности построения параллельных «струй» (10⁻³) невелика для полученного значения n = 9 и данного «потока», ибо число различных 9-членных струй, которые можно извлечь из соответствующей части «потока» ранней империи (примерно половина объема «потока»), имеет порядок величины 10² (см. прил. 3). Тем не менее можно привести пример подобного «династического параллелизма» с коэффициентом рассогласования e = 7%, заметно меньшим, чем уровень 15%, указанный в работе М. М. Постникова и А. Т. Фоменко в качестве нижней границы коэффициентов рассогласования «струй» из независимых «династических потоков» (см. табл. 5, прил. 4).

В обсуждаемых работах в подкрепление числового параллелизма «династических струй» развивается также тезис и о так называемом сопутствующем «событийном параллелизме». Здесь не представляется возможным исчерпывающим образом обсуждать этот вопрос, однако, чтобы проиллюстрировать, сколь мала доказательная ценность подобного «событийного параллелизма», заметим следующее. При желании в построенных нами параллельных «струях» табл. 5, прил. 4 даже без предварительной формализации биографий можно также начать усматривать определенный «событийный параллелизм»:

• Клавдий — Марк Аврелий («сочинители»);
• Нерон — Коммод (любители собственных цирковых побед, «разорители империи»);
• Гальба — Пертинакс (престарелые блюстители законности, жертвы преторианцев);
• Отон — Дидий Юлиан («преторианские протеже»);
• Виттеллий — Песценний Нигер (ставленники провинций);
• Веспасиан — Септимий Север («восстановители империи»);
• Тит — Гета (положительные сыновья «восстановителей империи»);
• Домициан — Каракалла (отрицательные сыновья «восстановителей империи»).

В противовес указанному «событийному параллелизму» в работах М. М. Постникова и А. Т. Фоменко большинство правителей, использованных в табл. 5, прил. 4, и численно и событийно попарно сопрягаются с совершенно другими правителями. Можно ли делать далеко идущие выводы на базе столь многозначного параллелизма?

Рассмотренные примеры (табл. 4, 5, прил. 4) показывают, сколь велика гибкость «династических потоков» Римской империи, особенно «потока» поздней империи, и с какой осторожностью надо подходить к выводам из обнаруживающихся параллелизмов такого рода. По-видимому, именно высокой гибкостью «династического потока» поздней империи объясняется и то обстоятельство, что он участвует также в некоторых других «династических параллелизмах», указанных М. М. Постниковым и А. Т. Фоменко.

В заключение коснемся появившейся позже еще одной статьи А. Т. Фоменко ¹⁴, в которой сделана попытка получить меру близости l(а, b) сравниваемых «династий» а и b, исходя из сохранившихся данных об исторических «династиях». При этом, однако, построенное в работе эмпирическое распределение возможных летописных образов реальных «династий», именуемых автором виртуальными вариациями, распределение, на основе которого рассчитывается мера l(а,b), самым непосредственным образом зависит от учитываемых в модели видов ошибок хронистов. Учет других видов ошибок неизбежно приведет не только к значительному изменению общего числа виртуальных вариаций «династий», но и к существенной деформации построенного распределения, а следовательно, — к существенному изменению величины l(а,b).

Например, А. Т. Фоменко принимает в расчет ошибки трех видов: а) перестановка двух соседних правителей; б) замена двух правителей одним, длительность правления которого равна сумме длительности их правлений; в) неточность в вычислении длительностей правления. Такой выбор, очевидно, носит субъективный характер. В самом деле, почему бы не учесть, например, еще ошибочное превращение летописцами одного реального правителя в двух разных, т. е. ошибку, даже более возможную, чем замена двух правителей одним, ибо ее истоки могут, в частности, корениться в распространенных в древности пережитках сельскохозяйственной магии, таких, как, скажем, обычай ранних фараонов строить себе по истечении определенного срока царствования ложную усыпальницу, обновляя свою божественную силу псевдозахоронением и новой коронацией (так называемое «празднество Сед» ¹⁵). Учет же в модели А. Т. Фоменко такой ошибки или других подобных ей влечет за собой коренную перестройку получаемого распределения и ведет к совершенно иным значениям меры l(а,b).

Следует также отметить, что в данной модели все виртуальные вариации «династий» берутся с одним и тем же статистическим весом вне зависимости от того, приводится ли данная «династия» непосредственно хронистом, или получается из нее как результат действия, например, ошибки вида (б) на каждое правление «династии». Однако степень доверия к той и другой виртуальной вариации, очевидно, различна, ибо возможность указанной сквозной ошибки хрониста весьма ограничена.

Тем не менее в предложенной модели вклад в плотность распределения и той и другой виртуальной вариации одинаков, т. е. неявно используется гипотеза равновероятности виртуальных вариаций. Но можно ли при этом быть уверенным, что получаемое таким способом распределение приводит к правильной мере?

Что касается проверки модели посредством вычислительного эксперимента, о которой говорится в этой работе А. Т. , Фоменко, то из приводимых автором данных невозможно сделать однозначного вывода о ее работоспособности.

Таким образом, степень обоснованности новой модели представляется недостаточной: нет уверенности, что она лучше схватывает существо дела, чем прежний подход.

В заключение подчеркнем, что конкретные методики статистического анализа нарративно-цифровой информации древней истории, разрабатываемые А. Т. Фоменко, представляют определенный интерес как дополнительный инструмент исследования, позволяющий в ряде случаев извлекать объективную информацию, заключенную в повествовательном и цифровом материале источников, и с этой точки зрения заслуживают дальнейшего развития. Однако интерпретировать получаемую при этом информацию следует с той степенью осторожности, которая позволила бы действительно эффективно использовать положительные стороны указанных методик.

Примечания

1. Ковальченко И. Д. Методологические проблемы применения количественных методов в исторических исследованиях. — В кн.: Источниковедение: Теоретические и методологические проблемы. М., 1969; Математические методы в исторических исследованиях: Сб. статей. М., 1972; Математические методы в исследованиях по социально-экономической истории: Сб. статей. М., 1975; Математические методы в историко-экономических и историко-культурных исследованиях: Сб. статей. М., 1977; Моисеев Н. H. Математика ставит эксперимент. М., 1979.
2. Фоменко А. Т. Некоторые статистические закономерности распределения) плотности информации в текстах со шкалой. — Семиотика и информатика, 1980, вып. 15;
3. Постников М. М., Фоменко А. Т. Новые методики статистического анализа нарративно-цифрового материала древней истории: Предварительная публикация ВИНИТИ. М., 1980.
4. Уже после того, как эта работа была написана, в печати появилась статья) М. М. Постникова («Техника и наука», 1982, № 7) и ответ на нее А. Т. Фоменко («Техника и наука», 1982, № 11). В этих публикациях, обращенных) к широкому кругу читателей, обозначилось существенное расхождение в отношении авторов к проблематике древней хронологии. Статья М. М. Постникова всецело остается в кругу идей и аргументов тезиса о «фальсификации», для подкрепления которых привлекаются некоторые результаты А. Т. Фоменко. Сам же А. Т. Фоменко в своем ответе дает ей достаточно исчерпывающую характеристику, говоря, что М. М. Постников «пропагандирует „доказательства” абсурдных утверждений и создает атмосферу сенсации вокруг данного круга научных проблем». В своем ответе А. Т. Фоменко отделяет собственную позицию от точки зрения М. М. Постникова о «подложности всей античной истории», отказываясь быть причисленным к защитникам этого тезиса. Действительно, там, где речь идет о разработке новых конкретных количественных методик анализа и датирования хронографического материала, точка зрения А. Т. Фоменко носит более конструктивный характер. Однако далее А. Т. Фоменко снова повторяет выдвинутый им ранее (в статье: Фоменко А. Т. Методика распознавания дубликатов и некоторые приложения. — Докл. АН СССР, 1981, т. 258, № 6) почти столь же парадоксальный тезис о «структуре глобальной хронологической карты», представляющей историю человечества как результат наложения четырех сдвинутых друг относительно друга одинаковых последовательностей исторических событий. Причем для обоснования этого тезиса автор указывает лишь на результаты применения предлагаемых им новых методик, ни возможности, ни границы применимости которых в должной степени не выяснены, о чем в этой же статье упоминает и сам автор.
5. Указанные формулы (1), (1') даны в более поздней работе (Фоменко А. Т. Некоторые статистические закономерности…, с. 119), где коэффициент рассогласования в назван КРП. Эти формулы являются некоторой модификацией выражений, первоначально предложенных в совместной работе М. М. Постникова и А. Т. Фоменко, в которой коэффициент рассогласования именовался КРМ. Расчет коэффициента рассогласования по тем и другим формулам при анализе «потоков» ранней и поздней Римских империй дает численно близкие результаты.
6. Хотя с неформальной точки зрения последовательное расположение таких «правителей», как современники Валентиниан III и Аэций, представляется спорным, формально это находится в соответствии с требованиями, наложенными на «струи»: перекрытия сроков правлений допустимы.
7. Низе Б. Очерк римской истории и источниковедения. СПб., 1910, с. 528–533; Федорова Е. В. Императорский Рим в лицах. М., 1979, с. 239.
8. Низе Б. Указ. соч., с. 534–539; Бикерман Э. Хронология Древнего мира. М., 1975.
9. Иордан. О происхождении и деяниях гетов: «Getica» / Коммент. Е. Ч. Скржинской. М., I960, 302–303; Жюльен Ш.-А. История Северной Африки. М., 1961, с. 302, 305.
10. В докладе на семинаре в МГУ «Количественные методы в исторических исследованиях» (октябрь 1981 г.) автор настоящей работы отметил указанное нарушение полноты «струи», не обсудив, однако, не предусмотренную в работах М. М. Постникова и А. Т. Фоменко возможность формального сдвига правлений по временной шкале (в частности, сдвига начала «правления» Аэция на 423 г.), на что обратил внимание А. Т. Фоменко. Очевидно, допустимость подобных сдвигов существенно облегчает подбор параллельных «династических струй». (Указанное в табл. 1, прил.4 альтернативное значение x₂₁ = 14, по-видимому, получено формальным вычитанием даты смерти Гонория (423 г.) из принятой условной даты начала правления Валентиниана III (437 г.) и представляет просто величину пробела, который надо закрыть «правлением» Аэция.)
11. Фоменко А. Т. Некоторые статистические закономерности…, с. 115.
12. Блер Ж. Хронологические таблицы. М., 1808, т. 1, 2.
13. В «струях» табл. 4, прил. 4 использовано право на одну перестановку соседних правителей, которое оговорили и использовали в своих «династических струях» М. М. Постников и А. Т. Фоменко: переставлены правители поздней империи — Евгений (i = 10; 392–394 гг.) и Валентиниан II (i = 11; 375–392 гг.).
14. Фоменко А. Т. Методика распознавания дубликатов и некоторые приложения. — Докл. АН СССР, 1981, т. 258, № 6.
15. Гонейм М. З. Потерянная пирамида. М., 1959.

Приложения

Приложение 1

П-распределение

В работе А. Т. Фоменко ¹ на основании обработки числовой информации, содержащейся в хронологических таблицах, построен график распределения длительностей правлений (П-распределения), который приводится на рис. 1.

На графике «по оси Ох отложены длительности правлений правителей Европы и Средиземноморья (параметр х пробегает пары: 1–2, 3–4, … , 89–90), по оси ОK отложены значения функции К(х) = (число правителей, длительности правлений которых заключены в интервале х)… Кривая описывает правления, заключенные на отрезке (−3000) (+1400)».

Рис. 1. Кривая П-распределения (полигон распределения сроков правления)

Приложение 2

Правления, допускающие вариации срока ². Вариации срока правления указываются в скобках.

Для упрощения расчетов упорядочение правлений, допускающих вариации срока, производится по какой-либо одной из возможных вариаций. Тем самым не учитывается вклад в гибкость «потока», связанный с изменением порядка правлений при варьировании сроков. Осуществляющийся в ходе расчета контроль выполнения принципа упорядочения отбрасывает варианты, влекущие изменение фиксированного порядка правлений.

Приложение 2-а

Фактические правители Римской империи, не являвшиеся императорами, использованные в «династическом потоке» поздней империи ⁴.

• Арбогаст (388–394 гг.) — magister militum, овладевший фактической властью на Западе по устранении Магна Максима и Флавия Виктора. Возвел на престол Евгения.
• Стилихон (395–408 гг.) — magister militum Запада; опекун несовершеннолетнего Гонория.
• Антоний (405–414 гг.) — префект претория; имел доминирующее влияние на Востоке на склоне правления Аркадия и в период несовершеннолетия Феодосия II.
• Бонифаций (432 г.) — magister militum Запада; кратковременный обладатель фактической власти; соперник Аэция.
• Аэций (433–454 гг.) — magister militum Запада; приобрел почти неограниченную власть после гибели Бонифация.
• Аспар (~450–471 гг.) — magister militum на Востоке; фактически — активный соправитель Маврикия и Льва I, которого сам возвел на престол.
• Рецимер (456, 457–472 гг.) — magister militum Запада, «делатель» последних императоров: устранил Авита, Майориана, Антемия, помыкал Либием Севером и Олибрием.
• Гундобад (472–474 гг.) — magister militum; племянник Рецимера и его преемник по командованию федератами Запада; возвел на престол Гликерия.
• Орест (475–476 гг.) — magister militum Запада; изгнал Юлия Непота, облек императорской властью своего сына Ромула Августула.
• Одоакр — (см. прил. 2).

В «династию» поздней империи включена также одна женщина — императрица Галла Плацидия (см. прил. 2).

Приложение 2-б

«Смутные периоды» ( с_k и с'_l — условные обозначения «смутных периодов» соответственно в табл. 2а и За (k = 1, 2; l = 1, …, 4). В скобках указана продолжительность периода с возможными вариациями).

Ранняя Римская империя

1. «Смутный период» с₁ (1; 3; 5).
• Начало: 192 г. — смерть Коммода;
  194 г. — смерть Песценния Нигера.
• Конец: 193 г. — приход к власти Септимия Севера;
  197 г. — смерть Клодия Альбина, начало единовластия Септимия Севера.
• Правители «смутного периода» с₁: Пертинакс, Дидий Юлиан, Песценний Нигер, Клодий Альбин, Септимий Север.
2. «Смутный период» c₂ (~1).
• Февраль 238 г. — провозглашение императором Гордиана I.
  Июнь 238 г. — смерть Бальбина и Пупиена, начало единовластия Гордиана III.
• Правители «смутного периода» c₂: Максимин Фракиец Гордиан I Гордиан II, Бальбин, Пупиен.

Поздняя Римская империя

1. «Смутный период» с'₁(3).
   • 363 г. — смерть Юлиана II Отступника.
   • 366 г. — смерть Прокопия.
   • Правители «смутного периода» с'₁: Иовиан, Валентиниан I Валент II Прокопий.
2. «Смутный период» с'₂(~1).
   • 432 г. — Бонифаций приходит к власти.
   • 433 г. — Аэций овладевает фактической властью на Западе «Смутный период» с'₂, охватывает период вооруженной борьбы между Бонифацием и Аэцием.
3. «Смутный период» с'₃ (1; 3).
   • Начало: 454 г. — смерть Аэция;
     456 г. — низложение Авита.
   • Конец: 457 г. — провозглашение императором Майориана.
   • Правители «смутного периода» с'₃: Валентиниан III, Петроний Максим Авит, [Рецимер].
4. «Смутный период» с'₄ (2).
   • 465 г. — смерть Либия Севера.
   • 467 г. — провозглашение императором Антемия.
   • «Смутный период» с'₄ соответствует периоду вакантности западного престола Номинально власть на Западе принадлежала Льву I, фактически же — Рецимеру.

Приложение 3

Для оценки порядка величины числа различных «струй», содержащихся в реальном «династическом потоке», достаточно ограничиться рассмотрением соответствующего модельного случая, когда это число найти не представляет труда. В частности, при k ≈ 2 в качестве модельного может служить «поток» характеризуемый таблицей насыщенности шагов вариантами в 1-й строке которой помещается один срок правления, а в строках от 2-й до N-й — по два срока. Если при этом не используются элементы «смутный период» и фиктивные «объединенные правления», а «струи» строятся по алгоритму, указанному в работе, то число S_n различных «струй» длиной n, которые можно извлечь из «потока», содержащего n элементов определяется рекуррентной формулой:

S_n = S_n−1+S_n−2; S₁ = 1; S₂ = 2.

Если длина «струй» n меньше объема «потока» N (n < N) то число различных n-членных «струй» равно Sⁿ_N = (N−n)S_n. В частности, при n = 9, N = 20 имеем S⁹₂₀ = 605.

Приложение 4

* «Династию» ранней империи в соответствии с допущениями совместной работы М. М. Постникова и А. Т. Фоменко дополним также объединенной «парой» Веспасиан — Тит (х = 12), обозначив ее: a₁₀ a₁₁ (12).

* «Династию» поздней империи дополним объединенной парой Валентиниан I — Валент II (х = 14), обозначив ее b₁₂ b₁₃(14).

* В записи отдельных правлений в некоторых строках табл. 2а, За, во избежание нарушения принятого принципа упорядочения используются не все возможные вариации сроков.

Если исходное или результирующее правление очередного шага допускает вариации сроков, то при построении «династической струи» должен производиться контроль выполнения принципа упорядочения.

В процессе построения «династической струи» по табл. 2а, За при выборе на очередном шаге правления, не стоящего в 1-м столбце, для совершения следующего шага необходимо перейти на то же правление в 1-й столбец, сохраняя выбранную вариацию срока, даже если она не указана в записи этого правления в 1-м столбце. Например, при выборе в строке j — 2 табл. За правления Констанция II с вариацией срока 24, b₈(24), переходим в 1-й столбец на элемент b₈ (строка j = 8), не изменяя выбранного срока 24, хотя эта вариация и отсутствует в записи элемента b₈, в 8-й строке (ее отсутствие там связано с нарушением принципа упорядочения при шаге с предшествующего правления Магненция b₇(3); в случае выбора вариации b₈(24) правление Магненция обходится).

1. Фоменко А. Т. Некоторые статистические закономерности распределения плотности информации в текстах со шкалой. — Семиотика и информатика, 1980, вып. 15, с. 115.
2. Низе Б. Очерк римской истории и источниковедения. СПб., 1910; Федорова Е. В. Императорский Рим в лицах. М., 1979; Иордан. О происхождении и деяниях гетов: «Getica» // Коммент. Е. Ч. Скржинской. М., 1960; Жюльен Ш.-А. История Северной Африки. М., 1961; Бикерман Э. Хронология Древнего мира. М., 1975; Машкин Н. А. История древнего Рима. М., 1948.
3. В приведенных сроках правления Августа учтено «правило Кассини», уменьшающее срок на год. См.: Селешников С. И. История календаря и хронология. М., 1972, с. 190, 191.
4. Низе Б. Указ. соч.; Федорова Е. В. Указ. соч.; Иордан. Указ. соч.; Жюльен Ш.-А. Указ. соч.; Бикерман Э. Указ. соч.; Машкин Н. А. Указ. соч.; Сергеев В. С. Очерки по истории древнего Рима. М., 1938, т. 1, 2.