Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://genphys.phys.msu.su/rus/pub/books/gplect2.pdf Дата изменения: Mon Nov 1 03:25:54 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 22:54:50 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 8

Университетский курс общей физики
В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев

МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
ЛЕКЦИИ
Под редакцией профессора В.А.Алешкевича

МОСКВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ 1998


УДК 530.1

Механика сплошных сред. Лекции. (Университетский курс общей физики) Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А., изд-во Физического факультета МГУ, 1998 г., 92 стр., илл. Пособие содержит лекции по механике сплошных сред, которые являются составной частью раздела 'Механика' курса общей физики. Для студентов физических специальностей университетов и высших учебных заведений.

Виктор Александрович Алешкевич Леонид Григорьевич Деденко Владимир Александрович Караваев Механика сплошных сред. Лекции. (Университетский курс общей физики) Под редакцией В.А.Алешкевича

Оригинал-макет подготовлен Издательской группой физического факультета МГУ (тел. 939-5494). Подписано в печать . Сдано в набор . Формат B5, гарнитура Times, печать ризо, Объем 5,75 печ.л., тираж 1000 экз. Издательство Физического факультета МГУ. Лиценция ЛР-021293 от 18.06.98. Москва, 119899, Воробьевы горы, МГУ им. М.В.Ломоносова, физический факультет.

ISBN 5-8279-0001-X

ї Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А., 1998 ї Виноградов М.П. (обложка и оформление), 1998 ї Физический факультет МГУ, 1998


Предисловие
На кафедре общей физики ведется работа по подготовке и изданию оригинального курса 'Общая физика', предназначенного для студентов физических специальностей вузов. Курс будет охватывать четыре раздела: 'Механика', 'Молекулярная физика', 'Электромагнетизм' и 'Оптика', соответствовать новым учебным программам, разработанным на физическом факультете МГУ, и отражать современные тенденции и технологии физического образования. Отличительной особенностью данного курса является то, что в нем наиболее последовательно в методическом отношении проводится точка зрения о существенном единстве основных форм обучения физике: лекций, лабораторных экспериментов и семинарских упражнений. Лекции по каждой теме начинаются с демонстрации основных экспериментальных фактов, которые затем анализируются и обобщаются в виде физических законов и соотношений. Такой 'экспериментальный' подход к изложению материала закрепляется при выполнении лабораторных экспериментов, цель которых - научить студентов навыкам самостоятельной постановки и решения физических проблем, проведению экспериментальных исследований, включая компьютерное моделирование, а также методам интерпретации и анализа экспериментальных данных. Более глубокое понимание основных физических явлений и закономерностей достигается на семинарских занятиях. В соответствии с поставленными задачами каждый раздел курса будет состоять из четырех пособий: 'Лекции', 'Лекционный эксперимент', 'Лабораторный эксперимент', 'Семинарские занятия'. Пособия, написанные в едином методическом ключе, будут комплектоваться видеозаписями лекционных демонстраций и дискетами с описанием модельных экспериментов. Лекции по механике сплошных сред являются частью готовящегося к изданию курса 'Механика' и могут рассматриваться как самостоятельное учебное пособие по данной теме. Лекции написаны на основе курсов, читаемых авторами на физическом факультете МГУ. Поскольку раздел 'Механика сплошных сред' невозможно изложить без применения соответствующего математического аппарата, то он является одним из самых сложных разделов курса общей физики. Изложение материала построено на индуктивном методе, в рамках которого студенты вначале изучают более простые темы 'Гидростатика' и 'Аэростатика', а затем изучают динамику движущихся жидкостей и газов. В конце студенты знакомятся с основными уравнениями гидродинамики, получающимися как обобщение частных случаев движения сплошных сред. Это, по нашему мнению, позволит им достаточно легко адаптироваться при изучении механики сплошных сред в курсе теоретической физики. Авторы выражают глубокую благодарность профессору В.П. Кандидову, доценту С.А.Шленову и доценту С.С.Чеснокову за любезно предоставленные результаты численного моделирования формирования изображения главного здания МГУ с учетом турбулентных атмосферных искажений, доценту М.В.Семенову за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания, а также К.Б.Бегун, М.П.Виноградову и А.А.Якуте за подготовку рукописи к изданию.



Лекция 1 ЛЕКЦИЯ 1

5

Деформации твердого тела. Понятие о тензоре деформаций. Абсолютно упругое тело и его деформации. Коэффициент Пуассона. Упругие напряжения. Модули Юнга и сдвига. Деформации при изгибе и кручении. Устойчивость тел при деформациях. Энергия упругих деформаций. В механике твердого тела предполагалось, что под действием приложенных сил в теле возникают деформации, однако они не принимались в расчет при описании движения этого тела как целого. Во многих важных случаях учет деформаций является определяющим, например, когда речь идет о целой области физики о механике сплошной среды или о расчете прочности многочисленных конструкций и деталей машин и механизмов, базирующемся на отдельной инженерной науке, называемой сопротивление материалов и т.д. В этой лекции мы рассмотрим поведение твердых тел, которые деформируются под действием приложенных сил. Надо отметить, что основные положения механики деформируемых твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, были разработаны в начале XIX в. и составляют основу современной теории упругости. Опыт показывает, что под действием приложенных сил тела в той или иной степени меняют свою форму и объем, что на микроскопическом уровне означает относительное смещение атомов, составляющих тело. Для удобства описания деформаций мысленно разобьем тело на физически малые объемы (иногда их будем называть частицы), содержащие, однако, большое число атомов. В отсутствие деформаций атомы находятся в состоянии теплового равновесия, а все малые объемы в механическом равновесии. Тогда сумма сил и моментов сил, действующих на выделенный объем со стороны примыкающих к нему других объемов, будет равна нулю. Изменения положений атомов при деформациях приводят к тому, что в теле возникают внутренние силы, или внутренние напряжения, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Важно отметить, что внутренние силы, как силы молекулярного взаимодействия, являются короткодействующими. Только соседние атомы или молекулы эффективно взаимодействуют друг с другом. Это упрощает ситуацию, поскольку позволяет считать, что силы, действующие на малый объем, приложены к ограничивающей его поверхности. Элементарные деформации. Коэффициент Пуассона. При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям растяжению (сжатию) и сдвигу. Обратимся к опыту. Закрепим один конец резинового шнура длиной l , имеющего квадратное сечение, и потянем за другой конец с постоянной силой. Шнур придет в новое положение равновесия с длиной l 1 > l (рис. 1.1). Такую простейшую деформацию можно охарактеризовать относительным удлинением
= l1 - l , l

(1.1)

При этом растяжению соответствует > 0 , а сжатию < 0 .


6
d d
1

Механика сплошных сред
Деформацию сдвига можно наблюдать в опыте с резиновым кубиком, если закрепить, например, его нижнее основание, а к верхнему основанию приложить касательную силу (рис. 1.2). Деформация в этом случае будет характеризоваться параметром = tg , (1.2) зависящим от угла сдвига , который в большинстве практически важных случаев мал, и . Отметим также известный факт, что при растяжении резинового шнура его поперечный размер d уменьшается до величины d1. Такое поперечное сжатие характеризуется параметром



F

l l
1

Рис. 1.1

F

Рис. 1.2

=

d1 - d d . = d d

(1.3)

Опытным путем установлено, что отношениек к приблизительно одинаково для разных деформаций одного и того же материала. Поэтому в теории упругости материал характеризуется коэффициентом Пуассона
ч=-


.

(1.4)

Каково численное значение коэффициента Пуассона? Чтобы ответить на этот вопрос, подсчитаем изменение объема резинового шнура. В отсутствие деформации его объем V = ld 2 , объем же деформированного шнура
2 V1 = l 1d1 = l(1 + )d 2 (1 + ) 2 V (1 + + 2 ) .

(1.5)

В последнем выражении мы пренебрегли малыми величинами 2 , 2 и 2 . С учетом (1.4) относительное изменение объема запишется в виде
V -V V =1 + 2 V V


= (1 - 2ч ) .

(1.6)

Поскольку при растяжении ( > 0 ) объем никогда не уменьшается, то 0 < ч 1 / 2 . Для изотропных материалов, имеющих одинаковые механические свойства по всем направлениям, коэффициент Пуассона 1 / 4 ч 1 / 3 , в частности, для металлов ч = 3/10. Понятие о тензоре деформаций. В рассмотренных выше случаях мы имели дело с одномерными однородными деформациями растяжения и сдвига (вдоль одного направления),


Лекция 1

7

когда и оказывались одними и теми же для всех элементарных объемов резинового шнура. Во многих случаях ситуация гораздо сложнее: с одной стороны, деформации меняются от точки к точке (неоднородные деформации), а с другой стороны, они не являются одномерными. Последнее означает, что деформации в некоторой точке P описываются тремя деформациями растяжения 11 , 22 , 33 маленького кубика с точкой P внутри (рис. 1.3) и двумя сдвигами каждой из трех граней кубика: 12 , 13 ; 21 , 23 ; 31 , 32 . Здесь первый индекс i означает, что грань кубика перпендикулярна оси X i , второй индекс j означает, что грань сме-

X

3

P

смещения u( x 1 , x 2 , x 3 ) , являющимся при неоднородных деформациях функцией координат. Однако деформации в точке будут определены лишь тогда, когда известно смещение соседних с точкой P частиц тела. Таким образом, задание смещения всех частиц тела полностью определяет его деформацию. В самом деле, рассмотрим две бесконечно близкие точки

щается вдоль оси X j . Таким образом, X2 неоднородные деформации в каждой точке тела в общем случае характери0 зуются набором девяти величин, явX1 ляющихся функциями координат. Эти девять величин составляют тензор деРис. 1.3 формаций, однако независимы лишь шесть его величин. Рассмотрим несколько подробнее подход, используемый для описания деформации в некоторой точке P и приводящий к понятию тензора деформаций. Пусть тело находится в недеформированном состоянии, и известно положение каждой из его частиц, заданное радиус-вектором r относительно некоторой системы координат, как, например, положение точки P на рис 1.4. При деформироваX3 нии все точки тела, вообще говоря, dl? u? смещаются. Смещение каждой точки uP можно охарактеризовать вектором

dl P? r X
0
Рис. 1.4

X

2

1

P( x 1 , x 2 , x 3 ) и P ( x 1 + dx 1 , x 2 + dx 2 , x 3 + dx 3 ) , имеющие смещения u( x 1 , x 2 , x 3 )

и u = u( x 1 + dx 1 , x 2 + dx 2 , x 3 + dx 3 ) . Из рисунка нетрудно видеть, что если взаимное расположение точек в недеформированном состоянии задавалось радиус-вектором dl {dx 1 , dx 2 , dx
3

}

, то в результате деформаций новое взаим-

ное расположение определяется вектором


8

Механика сплошных сред
dl = dl + u - u = dl + du .
(1.7)

В частности, если u = u , то деформации в точке P отсутствуют. Для удобства описания деформаций возведем (1.7) в квадрат и будем оперировать с модулями векторов dl и dl . Тогда

(dl )2 = (dl)2 + 2dl du + (du )2 . (1.8) В равенстве (1.8) пренебрежем последним членом в правой части, поскольку считаем деформации малыми ( du << dl ), а проекции вектора du представим в виде сумм

( du )

i

= du i =



3

j =1

u i dx j ; x j

i = 1,2,3.

(1.9)

Выражение (1.9), по существу, описывает приращение каждой из трех проекций вектора смещения при переходе из точки P в точку P и содержит три слагаемых, каждое из которых есть произведение производной функции ui в точке P на приращение соответствующего аргумента dxj. Расписывая в (1.8) скалярное произведение в виде
dl du = dx 1 du 1 + dx 2 du 2 + dx 3 du и подставляя (1.9) в (1.8), получим
3

(dl )2 = (dl)2 + 2
где, по определению,

33 u i dx j dx i = (dl)2 + 2 U ij dx j dx i , i =1 j =1 x j i =1 j = 1

33

(1.10)

U ij =

1 2

u i u x + x j

i
j

(1.11)

тензор деформаций. Из его определения видно, что он является симметричным тензором (Uij= Uji). Для описания деформаций в каждой точке P можно выбрать такую систему координат, в которой только три диагональные компоненты тензора U11, U22 и U33 будут отличны от нуля. Как и в случае тензора инерции, для каждой точки тела P существуют свои три главные оси, относительно которых формула (1.10) имеет наиболее простой вид:
2 2 (dl ) 2 = (dl) 2 + 2U 11 dx 1 + 2U 22 dx 2 + 2U 33 dx 3 = 2 2 2 = dx 1 (1 + 2U 11 ) + dx 2 (1 + 2U 22 ) + dx 3 (1 + 2U 33 ) . 2

(1.12)

В качестве примера рассмотрим деформацию сдвига в резиновом кубе, изображенном на рис. 1.2. Для удобства нанесем на его боковую грань прямоугольную сетку, разбивающую эту грань на маленькие квадратики со сторонами, параллельными ее диагоналям (рис. 1.5а). При деформации квадратики превращаются в прямоугольники (рис. 1.5б). Если под dl и dl понимать длины диагоналей элементарных квадратика и прямоугольника соответственно, то эти длины можно связать формулой (1.12) только в системе координат, оси которой Х 1 и Х2 направлены вдоль ребер элементарных ячеек (ось Х 3 перпендикулярна плоскости чертежа).


Лекция 1

9

X

1

X dl

2

dl ?

а

Рис. 1.5

б

Обобщая полученный результат, следует сказать, что при произвольных деформациях главные оси в любой точке P должны быть направлены параллельно ребрам элементарного прямоугольного параллепипеда, который при деформации остается прямоугольным параллепипедом. Деформации сдвига относительно главных осей координат отсутствуют. Ниже мы установим связь между деформациями сдвига и недиагональными компонентами тензора деформаций. Выясним далее физический смысл диагональных компонент U11, U22 и U33. Относительное удлинение каждого ребра параллелепипеда равно соответствующей диагональной компоненте тензора деформаций. В самом деле,
i = dx
i

1 + 2U dx
i

ii

- dx

i

= 1 + 2U

ii

- 1 U ii .

(1.13)

Пусть в окрестности точки P(x1,x2,x3) деформации таковы, что параллелепипед со сторонами dx1, dx2 и dx3 превращается в другой параллелепипед. Для наглядности рассмотрим картину деформации в плоскости X1X2 (рис. 1.6а). Смещения вершин прямоугольника при деформации изображены соответствующими векторами. Длины прямоугольника в направлении главных осей X1 и X2 изменились до величин

dx 1 = dx 1 + u 1 (x 1 + dx 1 , x 2 ) - u 1 ( x 1 , x 2 ), dx 2 = dx 2 + u 2 ( x 1 , x 2 + dx 2 ) - u 1 ( x 1 , x 2 ).
Из (1.14) легко вычисляются относительные удлинения:
1 = dx1 - dx 1 u ( x + dx1 , dx 2 ) - u1 ( x1 , x 2 ) u1 =11 = = U11 , x 1 dx1 dx1 dx 2 - dx 2 u ( x , x + dx 2 ) - u 2 ( x1 , x 2 ) u 2 2 = =212 = = U 22 . x 2 dx 2 dx 2

(1.14)

(1.15)

Соотношение (1.13) позволяет связать изменение элементарного объема с диагональными компонентами тензора. Объем элементарного параллелепипеда
dV = dx 1 dx 2 dx 3 = dx 1 dx 2 dx
3

1 + 2U

11

1 + 2U

22

1 + 2U

33

(1.16)


10
объема при малых деформациях ( U
ii

Механика сплошных сред
<< 1 ), как следует из (1.16), равно

и также изменяется при деформациях. Относительное изменение этого
dV - dV U 11 + U 22 + U 33 . (1.17) dV Важно отметить, что при сдвиге объем тела не меняется. Поэтому при деформациях сдвига сумма диагональных компонент тензора деформаций (иногда употребляют термин 'след тензора'), приведенного к главным осям, равна нулю (см. ниже). Поясним далее физический смысл недиагональных компонент тензора деформаций. Пусть параллелепипед испытывает деформацию, в результате которой прямоугольник на рис. 1.6 б превращается в паралле-

X

2

X

2

P? dx
2

dx? 2 dx? 1 dx
1

2

P



1

X
а

1

X

1

Рис. 1.6

б

лограмм. В рассматриваемом примере мы отвлекаемся, как и ранее, от смещения частиц вдоль оси Х3. Легко подсчитать углы 1 и 2 , на которые повернулись стороны параллелограмма относительно сторон прямоугольника. Они, очевидно, равны
1 tg 1 = u 2 ( x 1 + dx 1 , x 2 ) - u 2 ( x 1 , x 2 ) u 2 = , x 1 dx 1 u 1 ( x 1 , x 2 + dx 2 ) - u 1 ( x 1 , x 2 ) u 1 = . x 2 dx 2

2 tg 2 =

Тогда угол сдвига
a = a1 + a 2 = u1 u 2 + = 2U12 = 2U 21. x 2 x1

Таким образом, недиагональные компоненты тензора деформаций определяют сдвиговые углы в соответствующих плоскостях. Упругие тела. Как уже отмечалось выше, при деформациях возникают внутренние напряжения, которые, в общем случае, зависят не только от деформаций,


Лекция 1

11

но и от скоростей, с которыми эти деформации происходят. В этом легко убедиться, если взять полимерное вещество, которое в обычных условиях медленно растекается подобно замазке. Можно без особых усилий изменить его форму, если делать это медленно. Однако, если из этого вещества вылепить шарик, то легко обнаружить, что такой шарик обладает хорошими упругими свойствами, подскакивая после удара об пол практически на ту же высоту, с которой он был брошен без начальной скорости. Этот опыт показывает, что напряжения, подобно силам вязкого трения, возрастают по мере увеличения скорости деформации. В ряде практически важных случаев напряжения определяются только деформациями. Такие тела называются абсолютно упругими телами, или упругими телами. Замечательным свойством таких тел является способность полностью восстанавливать свою форму после снятия внешних усилий, прикладываемых к телу. Рассмотрим, например, растяжение (или сжатие) стержня (рис. 1.1) под действием силы F, приложенной перпендикулярно к торцевой грани с площадью сечения S. При последовательном возрастании нагрузки вначале деформации развиваются равномерно по длине стержня и растут пропорционально нагрузке, т.е.
l -l F = 1 = = . l S

(1.18)

Величина = F / S называется нормальным напряжением в торцевом сечении стержня. Пропорциональность деформаций соответствующим напряжениям выражает закон Гука. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом удлинения и для каждого материала определяется опытным путем. Так как численные значения гораздо меньше , то весьма малая величина. Поэтому обычно вводят модуль упругости (модуль Юнга) E = 1, и закон Гука окончательно записывают в виде
= / E. (1.19) Опыт показывает, что этот закон выполняется лишь в определенном интервале напряжений. Если растягивать стержень, последовательно увеличивая от нуля приложенную к нему силу, то каждый раз, после снятия на-

грузки, деформация исчезает. Однако, при некотором напряжении s ? s

у

появляется заметное остаточное удлинение. Это напряжение s у называется пределом упругости. На рис. 1.7 изображена зависимость деформаций от напряжений, называемая диаграммой растяжений. Следует отметить, что закон Гука выполняется только в части области упругости области пропорциональности, когда 0 п . При возрастании нагрузки наблюдается явление текучести, т.е. рост удлинения образца при постоянной нагрузке s т , называемой пределом текучести. Отметим, что течение материала происходит равномерно по всей длине стержня. За пределами области текучести дальнейшее удлинение стержня сопровождается увеличением . Однако деформации будут распределены уже неодинаково по длине стержня (рис. 1.8) в некотором месте можно заметить образование шейки. При напряжении M , называемом пределом прочности, в этом ослабленном сечении происходит разрыв.


12

Механика сплошных сред
То напряжение, которое данный материал может выдержать на практике, не разрушаясь и не получая опасной деформации, называют допустимым и обозначают [ ] . Обычно [] < п , и все расчеты проводят на основе закона Гука. Чтобы обеспечить прочность при всех обстоятельствах, допустимое напряжение выбирается как часть предела прочности, в частности,

м т у п

0

п у
Рис. 1.7



для металлов [ ] = 0,2 M , а для дерева

[]

= 0,1 M .

F

Рис. 1.8

Следует отметить, что наибольшие деформации, которые может выдержать материал, определяются протяженностью области текучести. Если область текучести велика, то материал называется пластичным. Такой материал, как, например, сталь, способен выдерживать большие нагрузки без разрушения. Наоборот, если область текучести невелика, то этот материал хрупок. Хрупкие материалы, например,

чугун, разрушаются при деформациях п . Однако в ряде случаев и пластичные материалы могут разрушаться при малых деформациях e ' e п (например, сталь при температуре ниже 450С). Аналогичными свойствами обладают и деформации сдвига. В частности, в области пропорциональности связь между деформацией и касательным напряжением (рис. 1.2) задается соотношением

B? B

l

A

A?

O

C?

C l?

=

1F = , GS G

( 1. 20)

l 2



D D?
Рис. 1.9

d 2

F касательное S напряжение, аналогичное по смыслу введенному выше нормальному напряжению, а G модуль сдвига, являющийся, как и модуль Юнга, характеристикой материала.

в котором =


Лекция 1 Таблица. Характеристики упругости и прочности, 108 Н/м2
Материал Модуль упругости E 2000 2200 2200 Модуль сдвига G 770 850 850

13

Предел П Предел проредел и пропорност текучести причрастяциональТ ности П жении М 1,3...1,6 5,0 и выше 7,5 и выше 1,8...2,6 0,7 0,05 3,3...4,0 до 10 и выше до 17 22 1,2...2,4 0,14...0,18

Сварочная сталь Пружинная сталь незакаленная Пружинная сталь закаленная Медь Серый чугун Свинец

1100...1300 415...440 750...1050 140...180 290...400 55...80

В таблице приведены характеристики упругости и прочности некоторых материалов. Из этой таблицы можно сделать два важных вывода. Во-первых, поскольку предел пропорциональности s п на 2-3 порядка меньше модуля упругости, то в области упругости деформации
у < 10
-3

ч 10

-2

.

Во-вторых, просматривается корреляция между величинами модуля Юнга E и модуля сдвига G чем больше E, тем больше и G. Это не случайно, так как между обеими величинами существует связь. Чтобы ее установить, рассмотрим растяжение маленького кубика с длиной ребра dx = l , как это изображено на рис. 1.9. Обратим внимание на то, что квадратная грань ABCD параллелепипеда, находящегося внутри рассматриваемого кубика, превращается при деформации в ромбическую грань A B C D . Совершенно ясно, что параллелепипед испытывает сдвиговую деформацию, а его объем при этом практически не изменяется (см. также формулу (1.17)). Величину угла сдвига можно легко связать с деформацией удлинения = l / l и коэффициентом Пуассона ч = -


/ . Из треугольника A OD следует, что

l l + 2 2 = 1+ = 1+ . tg + = l d 4 1 + 1 - ч - 2 2

(1.21)

Поскольку << 1 , то


14
tg + 1 + 4 1

Механика сплошных сред
(1.22)

= 1 + 2 . cos 4 Приравнивая правые части (1.21) и (1.22), находим
2

= 2 =

(1 + ч 1 - ч

)

(1 + ч ) .

(1.23)

В последней формуле учтено, что ч << 1 Сила F, растягивающая кубик (рис. 1.10), создает нормальное напряжение
F

F 2

B
F

F 2

1 l l cos F 2 4 = . (1.24) = = l l l l 2 Поскольку деформации в формуле (1.23) пропорциональны напряжениA

l?

= F / l 2 . Это напряжение передается на грани AB и BC параллелепипеда, однако силы, действующие на каждую из граней, имеют не только нормальную к грани, но и направленную вдоль грани составляющую F. Касательное напряжение оказывается при этом равным
С

Рис. 1.10

ям, а = 2 , то
. (1.25) E Сравнивая последнее равенство с соотношением (1.20) и учитывая, что = tg , находим искомую связь между модулями Юнга и сдвига: G= E . 2(1 + ч ) = 2(1 + ч

)

(1.26)

В рассмотренном примере следует обратить внимание на то, что величина и направление силы, приложенной к некоторой площадке, зависят от ориентации и величины этой площадки. Так, на грань l Ч l куба действует сила F, перпендикулярная к грани, в то время как на грань параллелепипеда

l Ч l действует сила F/2, направленная под углом 45 o к этой грани. Этот частный вывод получит далее обобщение при обсуждении способов задания сил, действующих на каждый из элементов тела. Посмотрим, что будет происходить с тем же кубиком, если его растягивать одновременно силами, приложенными ко всем его граням. В этом случае относительные удлинения каждого из его ребер будут определяться соотношениями:
1 = 1 2 - ( 2 + 3 ) / ч - - 3= 1 , ч ч E E


Лекция 1
2 = 3 = 2 - ( 1 + 3 ) / ч - 1- 3= 2 , ч ч E E 3 2 - ( 1 + 2 ) / ч - - 3= 3 . ч ч E E

15
(1.27)

Формулы (1.27) описывают деформации кубика при его всестороннем растяжении или сжатии. Если напряжения одинаковы ( 1 = 2 = 3 = ), то деформации также будут одинаковы: 1 = 2 = 3 = , и
s(1 - 2 / m) . E В результате всесторонней деформации объем кубика станет равным e=

V = l 3 (1 + )3 V (1 + 3) , а его относительное изменение составит величину
DV 3(1 - 2 / m) s = 3e = s= . V E k k= E 31 - 2 / ч ) (

(1.28)

Параметр

(1.29)

называется модулем всестороннего сжатия и играет важную роль в теории упругости. Важно отметить, что хрупкие материалы, подвергнутые всестороннему давлению, на которое дополнительно накладывается растяжение, сжатие или сдвиг, обнаруживают значительные пластические деформации. Такие деформации играют существенную роль, например, в процессах образования рельефа земной коры: граниты и базальты, хрупкие в обычных условиях, текут под действием колоссального давления в глубинных слоях Земли. Деформации растяжения и сдвига возникают в практически важных случаях изгибов балок строительных конструкций и скручивания валов машин и механизмов. Изгиб балок. Балка, т.е. стержень, испытывающий изгиб, деформируется таким образом, что первоначально прямая ось балки О1О2 становится криволинейной; эта ось называется нейтральF ной линией (рис. 1.11). Рассмотрим изгиб балки d под действием внешней 0 1 силы F, пренебрегая ее O1 O2 весом. Все волокна, лежаx щие ниже этой линии, y 2 удлиняются (в них возниdx кают растягивающие напряжения), а волокна, Рис. 1.11


16

Механика сплошных сред

лежащие выше этой линии, сжимаются (в них возникают сжимающие напряжения). Между растянутыми и сжатыми волокнами находится нейтральный слой. При этом два первоначально параллельных и находящихся на расстоянии dx друг от друга сечения при изгибе образуют некоторый угол d . Для удобства описания распределения деформаций и напряжений свяжем со стержнем систему координат с началом в некоторой точке О нейтральной линии О1О2 и осями x и y, направленными вдоль нейтральной линии и в поперечном сечении соответственно. Легко видеть, что деформации в некотором сечении x = const линейно нарастают вдоль оси y от 1 < 0 до 2 > 0 . Это дает основание в соответствии с законом Гука записать распределение напряжений в виде (1.30) ( x , y ) = ( x ) y , где неизвестный коэффициент пропорциональности, меняющийся, вообще говоря, от сечения к сечению. Распределение напряжений (1.30) в произвольном сечении стержня можно изобразить графически. Для этого в каждой точке сечения проведем перпендикулярно к нему вектор, модуль которого равен силе, действующей на площадку dS: df = dS (рис. 1.12а), т.е. = df / dS. Рассмотрим равновесие части балки, расположенной слева от сечения. Начало координат поместим в плоскости, вдоль которой действует сила реакции опоры. Предположим, что балка имеет вертикальную плоскость симметрии, как это изображено на рис. 1.12 б, и внешние силы лежат в этой плоскости. Нейтральный слой пересекает сечение балки по прямой n1n2. Для равновесия выделенной части балки необходимо, чтобы выполнялись следующие известные из статики условия. Во-первых, сумма всех горизонтальных сил должна быть равна нулю, т.е.



df =



dS = ( x ) ydS = 0 .

(1.31)

Поскольку интеграл (1.31) вычисляется по площади поперечного сечения балки, то понятно, что нейтральная ось n1n2, на которой лежит начало координат, должна проходить через центр масс этого поперечного сечения. Во-вторых, сумма всех вертикальных сил может быть равна нулю, если в сечении, кроме нормальных напряжений, будут действовать и касательные напряжения , чтобы скомпенсировать силу реакции опоры N, т.е.

F 1 O1 O N y
а

x dS df 2
Рис. 1.12

y

n

1

n

2

dy
б

dS y


Лекция 1
N=

17



dS .

(1.32)

В большинстве случаев касательные напряжения при изгибе малы по сравнению с нормальными и при расчете балки на прочность не учитываются. В-третьих, сумма моментов всех сил относительно любой точки должна быть равна нулю. Если в качестве такой точки выбрать центр масс рассматриваемого сечения, то это условие запишется в виде:

N x - y dS = 0 .
циент пропорциональности ( x) =

(1.33)

Если подставить сюда распределение напряжений (1.30), в котором коэффи 2 ( x) (y2 - расстояние между нейтральy2

ным слоем и наиболее растянутым нижним волокном), то мы приходим к условию
M( x ) = 2 (x) 2 (x) 2 y dS = y J , y2 2

(1.34)

где

J=



y 2 dS

(1.35)

момент инерции поперечного сечения относительно центральной оси n1n2, M(x) = Nx момент силы реакции. Отношение J/y2 зависит от размеров и формы сечения и называется осевым моментом сопротивления:
I= J y2 ,

(1.36)

h

а уравнение (1.34) можно представить в виде
M = 2 I . (1.37) Для расчета прочности балок необходимо знать распределение напряжений , возникающих при известных моментах внешних сил. Оно может быть получено из (1.34) в виде ( x , y ) =

b

Рис. 1.13

d

M( x) y. (1.38) J Моменты инерции прямоугольного и круглого поперечных сечений равны 1 1 bh 3 , J o = d 4 , 12 64 а соответствующие им осевые моменты сопротивления J= I=

(1.39)

1 1 bh 2 , I o = d 3 . (1.40) 6 32 Из (1.37) следует, что прочность балок возрастает при увеличении осевого момента сопротивления, причем, как следует из (1.40), прочность


18

Механика сплошных сред

балки прямоугольного сечения достигается эффективнее за счет увеличения ее высоты h. Полученные результаты позволяют рассчитать искривление осевой линии балки. Элементарный угол d , на который повернулись сечения x и x + dx, очевидно, связан с двумя деформациями 1 < 0 и 2 > 0 крайних волокон соотношением
d = ( 2 - 1 )dx 1 ( 2 - 1 )dx = , y 2 - y1 E y 2 - y1

(1.41)

где y2 y1 расстояние между крайними волокнами. Подставляя в (1.41) напряжение (1.38), получим
d = M( x) 1 2 - 1 dx . dx = EJ E y 2 - y1
x

(1.42)

u(x)

l

F

Рис. 1.14
d =

В частности, легко рассчитать изгиб невесомой горизонтальной балки, выступающей из стены (консольной балки) на расстояние l , к концу которой приложена вертикальная сила F (рис. 1.14). Как следует из (1.42), в произвольном сечении x

F (l - x ) (1.43) dx . EJ Если ось балки в каждом сечении сместилась вниз на расстояние u(x), то, очевидно, угол наклона нейтральной линии балки к горизонтальной оси в сечении x

(x) tg(x) =

du dx x .

(1.44а)

В сечении x + dx угол наклона становится несколько больше:
( x + dx) = du dx x + dx . d2 u

(1.44б)

Приращение этого угла
dx . dx 2 Приравнивая правые части (1.45) и (1.43), получаем уравнение: d2u
2

d = ( x + dx) - ( x) =

(1.45)

(1.46) dx Интегрируя два раза при условии, что u(0)=0 (конец закреплен), получаем искомое искривление балки в виде
u( x) = F EJ lx 2 x3 - 2 6 .

=

F(l - x) . EJ

(1.47)


Лекция 1

19

В частности, смещение конца балки под действием силы F, называемое стрелой прогиба, оказывается равным
1 Fl 3 . (1.48) 3 EJ Если балка имеет прямоугольное сечение, то ее стрела прогиба очень быстро уменьшается по мере увеличения высоты балки h, поскольку J ~ h3. Для экономии материала иногда используют пустотелые балки. Такая балка значительно легче цельной, а ее h осевой момент сопротивления (см. 1.36) остается достаточно большим. Для поРис. 1.15 вышения жесткости используют конструкции, называемые фермами (рис. 1.15). Фермы - это достаточно легкие ажурные конструкции, высота которых, в сильной степени определяющая момент сопротивления, может достигать десятков метров. В качестве примера на рис. 1.16 показана типичная конструкu(l) =

H

Рис. 1.16 ция подвесного моста. Необходимая жесткость такого моста обеспечивается фермами, состоящими из жестких элементов и тросов. Рекордную длину 3910 метров имеет мост, соединяющий два острова в Японии. Длина его центрального пролета L составляет 1990 метров при высоте опор H = 297 метров. Кручение валов. Деформации сдвига возникают при скручивании валов машин и механизмов, когда посредством вала передается вращательное усилие от одной части механизма к другой. Если, например, нижнее основание вала, изготовленного в виде круглого стержня радиуса R и длины l , закрепить, а к верхнему основанию приложить закручивающий момент внешних сил M, то вал деформируется. На рис. 1.17 изображены деформируемый вал и деформация сдвига элементарного объема. Очевидно, что угол сдвига зависит от удаления этого объема от оси вала. Касательные напряжения , ответственные за эти деформации, создают в сечении момент упругих сил, равный
M
уп р

=



rdf =



r dS =

R



0

rG 2 rdr .

(1.49)

Здесь учтено, что площадь элементарного кольца радиуса r и шириной dr равна dS = 2rdr, а ( r ) = ( r )G . Из условия равновесия части вала, находящейся, например, выше от рассматриваемого сечения, следует, что


20 R r M

Механика сплошных сред

r l

rd d dr dl dl dr
Рис. 1.17
M =M





уп р

(1.50)

иM

уп р

не зависит от выбора сечения вала. Зависимость ( r) должна быть линейной функцией расстояния r, т.е.

( r) = r , (1.51) где неизвестный коэффициент пропорциональности может быть определен из (1.49) при учете (1.50):
R GR 4 M уп р = M = 2 G r 3 dr = . 2 0

(1.52)

Таким образом, сдвиговые деформации
r. (1.53) GR 4 Они пропорциональны моменту внешних сил и обратно пропорциональны четвертой степени радиуса R. Из последнего соотношения легко подсчитать угол кручения , на который повернется верхнее основание стержня относительно нижнего. Из очевидного равенства l (R ) = R ( r) = 2M

с учетом (1.53) находим
= l (R ) M = , R B

(1.54)

GR 4 модуль кручения, зависящий от размеров вала и модуля 2l сдвига материала, из которого вал изготовлен. Для создания жестких валов необходимо увеличивать диаметр и сокращать длину. Для экономии материала

где B =


Лекция 1

21

валы часто делают пустотелыми, обеспечивая при этом высокую жесткость вала. В ряде случаев, наоборот, используют валы, изготовленные в виде тонких нитей, как, например, нити подвеса крутильных весов, использовавшихся Ш.Кулоном в опытах по исследованию электростатического взаимодействия и П.Н.Лебедевым - в опытах по измеD рению давления света. В этих опытах тонкие кварцевые нити закручивались на заметные углы при действии ничтожно малых моментов сил, что, конечно, обесd печивало высокую чувствительность крутильных весов. Отметим, что на практике различные строительные конструкции (балки, фермы и др.) часто F должны обладать достаточной сопротивляемостью как Рис. 1.18 к изгибу, так и к кручению. Примерами таких конструкций являются железнодорожный рельс, балка двутаврового сечения, швеллер и др. Интересно отметить, что при растяжении пружин могут одновременно возникать деформации растяжения и сдвига. Пружины с малыми углами наклона витков к горизонтали (рис. 1.18) при их растяжении вдоль оси, в отличие от стержней, испытывают деформации сдвига. При воздействии с силой F такая пружина удлиняется на величину l = F / k 1 , при этом коэффициент ее жесткости зависит от диаметра проволоки d, числа витков n, диаметра витка D и оказывается равным . (1.55а) 8nD3 При закручивании пружины, подобно валу, вокруг ее оси, когда к торцевому ее сечению прикладывается момент внешних сил M, витки пружины испытывают деформации растяжения (как при изгибе балки). В этом случае угол закручивания = M / k 2 , где коэффициент пропорциональности
k2 = Ed 4 32 nD
O

k1 =

Gd 4

(1.55б)
= d 4 64

и зависит от момента инерции круглого сечения J числа витков n и диаметра витка D.

(ф-ла (1.39)),

Устойчивость упругого равновесия. Зная упругие свойства тел, мы всегда можем рассчитать деформации под действием заданных сил. Такие расчеты проводятся в курсе теоретической физики. Их основная идея сводится к следующему. Под действием внешних сил в теле возникают напряжения. Эти напряжения действуют на элементарный объем через поверхности, его ограничивающие. На рис. 1.19 изображена одна нормальная f11 и две тангенциальные силы f21 и f31, действующие на заштрихованную грань кубика. Модули этих сил равны


22

Механика сплошных сред

x

1

f dS1 f
0
21

11

f f

11 21

= 11dS1 ; = 21dS1 ;

(1.56)

f

31

f 31 = 31dS1 . Здесь индексы указывают на то, что силы приложены к площадке, перпендикулярной x1 и действуют в направ-

пряжение) и осей x2 и x3 ( 21 , 31 соответствующие тангенциальные напряжения). x2 Аналогично, но с другими индексами, записываются модули Рис. 1.19 сил, приложенных к площадкам dS2 и dS3. Полная сила, действующая на выделенный объем, зависит как от ориентации площадок, ограничивающих этот объем, так и от внутренних напряжений в той области, где находится рассматриваемый объем. Эти напряже-

x

лении оси x1 (

11

нормальное на-

3

ния описываются совокупностью девяти величин ik (i, k = 1,2,3), которые составляют тензор напряжений. В упругих телах деформации пропорциональны соответствующим напряжениям. Таким образом, сложные деформации упругих тел описываются системой линейных дифференциальных уравнений, связывающих компоненты тензора деформаций и тензора напряжений. Материальные свойства изотропных сред представлены, как правило, коэффициентом Пуассона ч (1.4) и модулем всестороннего сжатия k (1.29). Анализ такой системы уравнений позволяет не только рассчитать деформацию тел, но и ответить на вопрос, устойчивы эти деформации или нет. В качестве примера рассмотрим задачу о потере устойчивости стержня при его продольном сжатии силой F (рис. 1.20). При малых сжимающих силах сжатая стойка находится в устойчивом равновесии, так как при малом случайном отклонении от вертикали стойка, тем не менее, достаточно быстро возвращается в вертиa б в кальное положение. С увеличением наFFкр грузки случайные отклонения исчезают медленнее. При F = Fкр наступает состояние безразличного равновесия: прямолинейная форма еще устойчива, но устойчивым уже будет и изогнутое состояние стержня (пунктир на рис. 1.20б). Такое раздвоение Рис. 1.20


Лекция 1

23

равновесия, характеризующееся двумя его формами, Fкр F называется бифуркацией. Новая криволинейная форма равновесия при F > Fкр будет устойчивой. Однако в u этом случае в стойке возникают недопустимо большие изгибы и напряжения. Задача о выпучивании стержня при продольном сжатии была решена в XVIII веке выдающимся x математиком Леонардом a в б Эйлером. Рассчитаем, слеРис. 1.21 дуя Эйлеру, значение критической силы Fкр и форму изогнутого стержня, когда последний шарнирно закреплен за оба конца (рис. 1.21). Форма изогнутого стержня u(x) может быть получена из уравнения (1.46), в котором вместо момента поперечной силы F (l - x) для произвольного сечения x = const следует записать момент сдавливающей силы в виде M = Fu. Тогда уравнение (1.46) примет вид:
d2 u dx
2

=-

Fu . EJ

(1.57)

F Если обозначить q 2 = и обратить внимание на то, что уравнение (1.57) EJ аналогично уравнению гармонических колебаний, то можно записать u( x) = u 0 sin(qx + ) .

(1.58)

Из граничного условия u(0) = 0 следует, что = 0 . Из другого граничного условия u(l) = 0 следует
n ; n=1, 2, 3... (1.59) l Каждому значению qn соответствует своя конфигурация изогнутого стержня, представляющая собой синусоиду, имеющую n полуволн. Эти конфигурации возникают при соответствующих значениях сил, равных sin ql = 0 ,

или

qn =

. l2 При n = 1 формула (1.60) дает значение критической силы
F
кр

Fn = n

2

2 EJ

(1.60)

. (1.61) l2 Эта формула была получена Эйлером и носит его имя. Другие искривленные формы равновесия (n = 2, 3...) являются неустойчивыми, однако они могут быть реализованы, если стержень дополнительно закрепить шарнирными опорами в сечениях, где u = 0 (рис. 1.21 в).

=

2 EJ


24

Механика сплошных сред

Полученный результат имеет большое практическое значение. В силу неустойчивости стержней при их сжатии толкающие рычаги и штоки в машинах делают по возможности короче и большого сечения, в то время как тянущие штоки, имеющие большой запас прочности на разрыв, могут быть и не очень толстыми. По аналогии легко понять, что герметичные емкости, испытывающие нагрузку на разрыв (например, паровые котлы) делают более тонкостенными, чем емкости, подверженные сжатию (оболочки батискафов, подводных лодок и пр.) Энергия упругих деформаций. При деформации внешние силы совершают работу. Эта работа в общем случае идет на увеличение потенциальной энергии и на нагревание тела. Так, например, если мы будем пытаться переломить проволоку, то место ее многократного изгиба может сильно нагреться, прежде чем проволока переломится. В реальных телах возникающие dx внутренние напряжения зависят не только от величины деформаций, но и от их l скорости. Поэтому работа против таких f = l 2 сил, называемых силами 'внутреннего трения', идет на нагревание тела. С этиl ми силами и связаны пластические деформации, когда не выполняется закон Гука и существуют остаточные деформаl l ции при прекращении внешнего воздейРис. 1.22 ствия. Вычислим работу, затрачиваемую на малую деформацию элемента объема тела. При растяжении предварительно уже деформированного кубика (рис. 1.22) на величину dx элементарная работа
dA = f dx = l3d .

(1.62)

В (1.62) учтено, что =

l d( l) dx = , а d = . l l l

Поскольку, как следует из рис. 1.7, () - нелинейная функция деформаций, то полная работа, затрачиваемая на приведение тела в деформированное состояние, равна


A

A = l

3




0

( )d .

(1.63)

По аналогии, работа при сдвиге задается интегралом вида:
A = l
3




0

( )d .

(1.64)


Рис. 1.23

На диаграмме (1.23) работа A численно равна заштрихованной площади. Опыт, однако, показывает, что если деформации выйдут за область упругости, то при снятии внешних нагрузок


Лекция 1
в теле будут существовать остаточные деформации ост (рис. 1.24). Чтобы их устранить, надо приложить сжимающую силу ( < 0) . Такое неоднозначное поведение деформации в зависимости от приложенных напряжений носит название упругого гистерезиса. При периодически повторяющих-



25


ост

ся деформациях диаграмма () будет иметь вид замкнутой кривой, которая называется петлей гистерезиса. Площадь этой петли, очевидно, в соответствии с законом соРис. 1.24 хранения энергии, равна количеству тепла, идущего на нагревание тела. Когда деформации не выходят за пределы линейного участка () , гистерезис отсутствует. На практике детали механизмов, испытывающие многократные, периодически повторяющиеся деформации, делают из материалов с большой величиной предела пропорциональности п. Так, например, для закаленной пружинной стали этот предел, как видно из таблицы, имеет очень большое значение: п = 7500 кг/см2. По этой причине, например, пружины клапанов двигателей делают из закаленной стали. На линейном участке, где = E , = G , интегралы (1.63) и (1.64) легко вычисляются:
1 A = l3E d = E 2 l3 , 2 0 1 A = l3G d = G 2 l3 . 2 0


(1.65)

(1.66)

В этом случае работа затрачивается только на увеличение потенциальной энергии упругой деформации. В единице объема деформированного тела запасается энергия

w =

A 1 = E2 , 3 2 l

w =

A 1 = G 2 . 3 2 l

(1.67)

Величины w и w носят название объемных плотностей энергии деформации растяжения и сдвига соответственно. Они играют определяющую роль при подсчете количества энергии, переносимой акустической волной в сплошных средах.


26

Механика сплошных сред


Лекция 2 ЛЕКЦИЯ 2

27

Жидкость и газ в состоянии равновесия. Условия равновесия. Распределение давлений в жидкости, находящейся во внешнем поле. Плавание тел. Распределение плотности и давления в атмосфере. Воздухоплавание. Центрифугирование. Под действием внешних сил в жидкостях и газах, как и в твердых телах, могут возникать внутренние напряжения. Рассматривая жидкости и газы как сплошные среды, мы отметим, что жидкости, не имея определенной формы, сохраняют практически неизменным свой объем. Во многих важных случаях их можно рассматривать как несжимаемые. Газы же не имеют ни определенной формы, ни фиксированного объема. В жидкости (далее этот термин будет использоваться и для газов, за исключением только отдельно оговариваемых случаев) при сжатии силы отталкивания между молекулами могут быть весьма значительными. По этой причине говорят не о растягивающих и сдвиговых напряжениях ij , а о давлениях p ij = - ij как об отрицательных напряжениях. Совокупность давлений
p ij , действующих на площадки, перпендикулярные осям координат и ограничивающие кубический элемент жидкости, называется тензором давлений. Опыт показывает, что в покоящейся или медленно движущейся жид-

кости тангенциальные напряжения p ij (i j) , связанные с вязкостью жидкости, отсутствуют. В этом можно убедиться, заставив, например, массивное тело, плавающее на поверхности жидкости, перемещаться вдоль поверхности под действием сколь угодно малой силы. В этой ситуации касательные напряжения, передаваемые от верхнего (увлекаемого телом) слоя к нижним слоям жидкости, пренебрежимо малы. Закон Паскаля. Если пренебречь вначале силами тяготения, действующими на каждый элементарный объем жидкости (или силами инерции, если таковые существуют), то из условий равновесия этого объема следует, что
p11 = p 22 = p 33 = p , (2.1) при этом давление p, возникающее вследствие внешнего воздействия, является скалярной величиной и одинаково во всех точках объема, занятого покоящейся жидкостью. Условие (2.1) автоматически обеспечивает не только равенство нулю суммы сил давления, приложенных к данному объему, но и равенство нулю суммарного момента этих сил. Для доказательства этого условия рассмотрим неподвижную жидкость, помещенную в цилиндрический сосуд с площадью основания S1, закрытый сверху поршнем (рис. 2.1, левый сосуд). Если надавить на поршень с силой F1, то в жидкости будут созданы внутренние напряжения (давления). Рассмотрим условия равновесия элементарного объема жидкости, имеющего форму кубика. На единицу его поверхности будет действовать сжимающая

сила f ii = - p ii n i , направленная противоположно нормали ni к i-ой поверхности (на рис. 2.1 указаны лишь две силы). Поскольку силы, действующие на


28

Механика сплошных сред

s f f
22

1

F1 f

s

2

f

22

11

F K

2

f

11

Рис. 2.1 противоположные грани кубика, равны по величине, то p11 = F1 / S1 . Равенство давлений p11 и p22 следует из условия равновесия половины кубика, выделенного более темным цветом и изображенного на фрагменте. Действи, поэтому p22 = p11. Рассматривая равновесие элементар2 ных объемов в различных точках жидкости, получим условие:
22

тельно, f11 = f

=

f

p

ii

=p=

F1 , S1

(2.2)

которое и является математическим выражением закона Паскаля. Если рассмотренный сосуд соединить при помощи трубки с другим цилиндрическим сосудом с площадью основания S2, то при открывании крана K внутренние напряжения в соответствии с законом Паскаля передадутся во второй сосуд (рис. 2.1). На поршень, закрывающий этот сосуд, жидкость будет давить вверх с силой
F2 = pS 2 = F1 S2 . S1

(2.3)

Если S2 > S1, то развиваемое усилие F2 > F1. Этот выигрыш в силе используется во многих гидроприводных устройствах (гидроприводах): в приводе ковша экскаватора, рулей ракет и самолетов. На этом же принципе работает гидравлический пресс, гидравлический домкрат, тормозные системы автомобилей и т.д. В системе СИ за единицу давления принимается Паскаль (Па), при этом 1 Па = 1 Н/1 м2. В технике в качестве единицы давления используется техническая атмосфера: 1 ат = 1 кГс/1 см2 = 9,8ћ104 Па. Жидкость во внешнем поле. Рассмотрим напряжения, возникающие в жидкости, находящейся в поле внешних сил (сил тяжести, инерции и др.) Пусть к элементу жидкости объемом dV = dxdydz приложена внешняя сила FdV (F - плотность силы, то есть сила, приходящаяся на единицу объема жидкости, (рис. 2.2). В результате возникающих внутренних напряжений на нижнюю грань кубика с координатой x и площадью dy dz в положительном направлении оси x действует сила давления p(x,y,z)dydz, а н а верхнюю грань


Лекция 2

29

p(x+dx,y,z)dydz. При равновесии кубика, x очевидно, необходимо, чтобы выполнялось dz равенство: dy p(x,y,z)dydz p(x+dx,y,z)dydz + (2.4а) + Fxdxdydz = 0. dx Аналогичные по смыслу равенства должны быть z записаны и по двум остальным осям координат: p(x,y,z)dxdz p(x,y+dy,z)dxdz + F dV + Fydxdydz = 0; (2.4б) y p(x,y,z)dxdy p(x,y,z+dz)dxdy + Рис. 2.2 (2.4в) + Fzdxdydz = 0. Разделив левые и правые части записанных выше равенств на элементарный объем, получаем условия равновесия в виде дифференциальных уравнений
p p p - + Fy = 0 ; + Fx = 0 ; - + Fz = 0 . (2.5) y x z Из уравнений (2.5) следует, что давление не остается постоянным и изменяется в тех направлениях, по которым действует внешняя сила. Если ввести вектор градиента давления - grad p = p = p p p ex + ey + ez , x y z

(2.6)

где ex, ey и ez - единичные векторы вдоль осей координат, то уравнения (2.5) можно записать в более компактном векторном виде: (2.7) - grad p + F = 0 . В соответствии со смыслом введенного в предыдущих лекциях вектора градиента скалярной величины из (2.7) следует, что давление наиболее быстро нарастает в направлении действия внешней силы F, а в перпендикулярных направлениях остается постоянным. Таким образом, можно говорить о поверхностях равного давления, нормаль к которым в каждой точке совпадает с направлением приложенной в этой точке внешней силы. Несложно рассчитать распределение давлений по объему жидкости, если принять во внимание, что компоненты внешней силы F выражаются через производные скалярной функции координат p(x,y,z). Это означает, что сила F - потенциальна и, следовательно, может быть выражена через потенциальную функцию U (потенциальную энергию единицы объема жидкости во внешнем поле) следующим образом: (2.8) F = - grad U . Подставив (2.8) в (2.7), получим
grad ( p + U ) = 0 ,

или

p + U = const.

(2.9)

Константа в (2.9) определяется из условия нормировки потенциала. Жидкость в поле силы тяжести. Пусть несжимаемая жидкость (например, вода) находится в поле сил тяжести, F = g , плотность жидкости = const . Для расчета распределения давлений удобно направить ось x вдоль силы тяжести, совместив начало оси


30

Механика сплошных сред

со свободной поверхностью жидкости. Поскольку потенциальную функцию можно записать в виде U( x ) = -gx (нормировка потенциала такова, что U(0)=0), то распределение давлений по глубине определяется из соотношения
p( x ) - gx = const . (2.10) Константа определяется из условия равенства давления на поверхности воды атмосферному давлению p0. Следовательно, p( x ) = p 0 + gx . (2.11) Если принять атмосферное давление
3 p 0 10 5 Па, плотность воды = 10 кг/м3, то из (2.11) легко подсчитать, что с увеличением глубины на каждые 10 метров ( x = 10 м) давление увеличивается на величину атмос-

Рис. 2.3

h h П
Рис. 2.4



1

1

ферного давления (p = p 0 ) . Важно отметить, что возрастание давления с глубиной не зависит от формы сосуда, в который налита жидкость. Яркой иллюстрацией справедливости этого утверждения является одинаковость уровней жидкости в двух сообщающихся сосудах произвольной формы (рис. 2.3). Действительно, равенство двух горизонтальных сил давления, обеспечивающих равновесие кубика жидкости в нижней части сообщающихся сосудов, возможно лишь при равенстве высот столбов воды в обоих сосудах. Модифицируем эксперимент с сообщающимися сосудами. Пусть оба колена U-образного сосуда (рис. 2.4) разделены подвижной перегородкой П, при этом правое колено заполнено водой, а левое - ртутью, плотность превы13,6). ситуастолба

h

1

которой 1 более чем в 10 раз шает плотность воды (1 = Очевидно, равновесие в этой ции достигается при высоте

p
Рис. 2.5

0

ртути h 1 =

h , значительно мень1

шей высоты h столба воды. Уместно помнить, что столб ртути высотой h1= 760 мм уравновешивает давление десятиметрового столба воды, или почти десятикилометрового столба ат-


Лекция 2

31

мосферы. Поэтому для измерения атмосферного давления используют ртутные манометры, а атмосферное давление измеряют в миллиметрах ртутного столба. Такой манометр представляет собой два сообщающихся сосуда, заполненных ртутью. Один из сосудов в виде тонкой трубки запаян сверху и из него удален воздух, а второй сообщается с атмосферой (рис. 2.5). Если измеряемые давления на 1-2 порядка меньше атмосферного давления, то можно использовать и водяные манометры (см. последующие лекции). Завершая описание равновесия жидкости, отметим, что в Мировом океане из-за больших глубин формула (2.11) нуждается в уточнении, т.к. плотность увеличивается с глубиной. За исключением нескольких особых мест она может меняться в зависимости от географического положения в пределах 2% от постоянной величины = 1035 кг/м3. Обычно изменения плотности обусловлены колебаниями температуры и солености воды. Жидкость в неинерциальных системах отсчета. При ускоренном движении сосуда с жидкостью наряду с силой тяжести на частицы жидкости действуют силы инерции. Распределение давлений в покоящейся относительно сосуда жидкости легко определяется из (2.9), где под U следует понимать потенциальную энергию в поле сил тяжести и инерции. Если сосуд с жидкостью движется поступательно с постоянным горизонтальным ускорением A (рис. 2.6), то потенциальная функция имеет вид
U( x, y ) = -gx - Ay + const . (2.12) Следовательно, для двумерного распределения давлений p(x,y) c учетом нормировки p(0,0) = p0 получаем p( x, y ) = p 0 + gx + Ay . Очевидно, что поверхности равного давления (включая поверхность жидкости), перпендику-

(2.13)

лярные вектору полной силы F = g - A , будут наклонены к горизонту под углом
= arctg A . g

A

0



y

(2.14)

При свободном падении сосуда (в условиях невесомости) давление во всех точках объема, как это следует из закона Паскаля, одинаково и равно внешнему давлению p0. В невесомости вследствие действия сил поверхностноx го натяжения жидкость приобретает шарообРис. 2.6 разную форму, при которой площадь поверхности становится минимальной. Пусть теперь цилиндрический сосуд с жидкостью равномерно вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси симметрии. Опыт показывает, что поверхность жидкости искривится так, как показано на рис. 2.7. Не представляет труда определить форму поверхностей равного давления. Поскольку наряду с силой тяжести в радиальном направлении действует и центробежная сила инерции FИ = 2r, являющаяся также потенциальной, то потенциальная функция U имеет вид:


32

Механика сплошных сред

H r 0

1 2 r 2 + const , (2.15) 2 где r расстояние от оси вращения. Тогда распределение давлений с использованием (2.9) получается равным U( x, r ) = -gx - 1 2 r 2 . (2.16) 2 Легко видеть, что поверхности равного давления являются параболоидами вращения. В частности, поверхность жидкости, для которой p(x,r) = p0, описывается уравнением p( x, r) = p 0 + gx +

x
Рис. 2.7

x=-

1 2 2 r. 2g

(2.17)

Если радиус сосуда равен R, то разность уровней на периферии и в его центре составляет величину

H=

2 R 2g

2

=

v2 , 2g

(2.18)

где v скорость вращающихся частиц жидкости, прилегающих к стенке сосуда. Замечание. Если сосуд вращать с угловым ускорением, то появится дополнительная составляющая сил инерции, перпендикулярная радиусу и равная Fи = r
d . Эта сила не будет потенциальной, поскольку ее работа, dt например, вдоль окружности радиуса r0 отлична от нуля и равна A
и 2 = Fи 2 r0 = 2 r0

d . (2.19) dt В силу этого равновесие жидкости невозможно: последняя будет вращаться относительно цилиндра, причем распределение скоростей и давлений можно получить, рассматривая уравнения гидродинамики, в которых должны быть учтены силы вязкости.

Плавание тел. Закон Архимеда. Из повседневной практики известно, что на тела, погруженные в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх. Эта сила является результатом действия сил давления f i = - pn i рис. (2.8) и равна
FA =


i

f i S i = -



p i S i n i .

(2.20)

Здесь S i площадь элемента поверхности тела, n i единичный вектор, перпендикулярный поверхности, суммирование производится по всем элементам поверхности. Выталкивающая сила FA, называемая силой Архимеда, может быть подсчитана при учете распределения давления по глубине (2.11) и оказывается равной весу вытесненной жидкости. Предоставляя читателю сделать


Лекция 2
такой подсчет самостоятельно, вычислим ее, исходя из более простых соображений. Извлечем из сосуда тело и дольем ту же жидкость, восстановив ее прежний уровень (рис. 2.9). Если затем мысленно выделить часть жидкости, замещающую извлеченное тело, то на нее действуют те же силы давления, что и на погруженное тело (см. формулу 2.20). Их сумма FА не только уравновеши-

33

FA O f
i

FA O f
i

mg

Рис. 2.8 Рис. 2.9 вает силу тяжести ( FA = -mg , m - масса вытесненной жидкости), но и имеет равнодействующую, приложенную к центру масс вытесненной жидкости, или к центру объема O. Центр масс погруженного тела O1 может не совпадать с центром объема O. Это несовпадение имеет большое знаFA= mg чение для устойчивого плавания тел, погруженных в жидкость (в кораблестроении используется термин остойчивость). На рис. 2.10 схематично изображено поперечное сечение O батискафа, погруженного в воду, при этом O1 его центр тяжести, к которому приложена сила тяжести m 1g (m1 - масса батискафа), находится ниже точки приложения Архимеm1 g довой силы. Естественно, что при боковом наклоне батискафа момент указанной пары Рис. 2.10 сил будет возвращать его в вертикальное положение. Для тел, плавающих на поверхности жидкости, центр их тяжести всегда будет расположен выше центра объема, погруженного в жидкость, и остойчивость плавания (корабля, например) достигается выбором подобающей формы корабля и его загрузки. Хорошо известно, что карандаш никогда не плавает на поверхности жидкости в вертикальном положении. Пара сил, FA FA возникающая при неизбежном случайном отклонении карандаша от вертиO1 кали, немедленно укладывает его на поверхность (рис. 2.11а). Устойчиво буO1 O дет плавать 'горизонтальный каранO даш'. При его малейшем наклоне (ситуация б) он будет возвращаться в исm1g m1g ходное горизонтальное положение. В судостроении форму судна с учетом а б его загрузки рассчитывают таким образом, чтобы метацентр М находился Рис. 2.11


34

Механика сплошных сред
выше центра масс судна в т. О. Этот метацентр является центром кри-

визны кривой O 1 O 1 O 1 , проходя щей через центры объемов погруженных частей корпуса корабля, FA сменяющих друг друга при его боO ковой качке (рис. 2.12). Из рисунка O?? O1 видно, что метацентр находится на 1 пересечении плоскости симметрии судна с линией действия Архимедовой силы. При строительстве суm1g дов добиваются того, чтобы расстояние OM в несколько раз превышало расстояние OO1. Рис. 2.12 Рассмотрение гидростатики несжимаемой жидкости было бы не полным, если бы мы не коснулись вопроса о силах давления, действующих на дно и стенки сосуда с жидкостью. Удобно это сделать, обратившись непосредственно к примерам. Пример 1. Если в цилиндрический сосуд с площадью основания S налита вода, масса которой m, до уровня H (рис. 2.13а), то давление жидкости на дно сосуда (без учета силы атмосферного давления) приведет к в о з никновению силы F =

O? 1

M

H m H

m1

= pS = gHS = mg , равной весу налитой жидкости. Если на поверхность жидкости опустить плавающее тело массы m1, то давление на дно жидкости увеличится на величину p = gH , где H высота подъема уровня жидкости (рис. 2.13б). Дополнительная сила, приложенная ко дну, F =
= p S = gHS . Поскольку объем

а

Рис. 2.13

б

s

1

s

2

m

H

m

s
а

2
Рис. 2.14

s
б

1

цилиндрического слоя H S равен объему погруженной части тела, то величина F равна силе Архимеда и, естественно, F = m1g. Показания весов, на которые поставлен сосуд с водой, при помещении в него плавающего тела возрастут на эту величину. Пример 2. Если два легких конических сосуда одинаковой высоты наполнить водой и расположить их так, как показано на рис. 2.14 , то в ситуации (а) сила давления на дно сосуда с площадью сечения S 2 будет


Лекция 2

35

больше веса жидкости: F 2 = gHS 2 > mg . В ситуации (б), наоборот, F1 = gHS1 < mg . Между тем, при взвешивании сосудов весы покажут одинаковый результат. На первый взгляд, мы столкнулись с парадоксом. Парадокс, однако, разрешается просто, если мы примем во внимание, что весы измеряют силу давления сосуда на чашку весов, равную той силе, с которой жидкость действует на весь сосуд, включая действие на его наклонные боковые стенки. В обеих ситуациях сумма всех этих элементарных сил одинакова и равна весу жидкости mg. Равновесие сжимаемой жидкости. При внутренних напряжениях плотность газов не остается постоянной. Можно считать, что давление является функцией плотности (p = p()), причем вид этой функции, как будет показано ниже, задается условиями, при коx торых находится газ. Поэтому в механике сплошных сред в этих случаях оперируют p с плотностью силы F, то есть с силой, приx ложенной к единице массы, которая связана с силой F в (2.7) соотношением p
F = F . (2.21) Тогда условие равновесия (2.7) примет вид 1 grad p = F .

x1 y
0

1

z

(2.22)

В левую часть этого равенства входят давРис. 2.15 ление и плотность, являющиеся неизвестными функциями координат, а правая часть обычно известна. В поле силы тяжести F = g = const. В этом случае поверхностями равных давлений и плотностей будут горизонтальные плоскости, две из которых p(x1) = p1 и p(x) = p изображены на рис. 2.15. Если мы введем вспомогательную функцию

P (x) =

p1



p

dp ,

(2.23)

то (2.22) может быть переписано в виде, аналогичном (2.7):
1 dp dP = =F. dx dx

(2.24)

Вводя далее для единицы массы потенциальную энергию U1, с которой внешняя сила связана соотношением
F (x ) = - dU1 , dx

(2.25)

получаем уравнение, аналогичное (2.9):
d (P + U dx
1

)

= 0 , или P + U1 = const .

(2.26)


36

Механика сплошных сред

Замечание. Вспомогательная функция P ( x ) зависит от верхнего предела p интеграла (2.23), вычисление которого возможно при известной связи между давлением и плотностью. С другой стороны, если найти зависимость P(x) (с помощью (2.24) или (2.26)), то можно определить функцию p(x) в (2.23), что позволяет получить распределение давлений. Очевидно, что поверхности равного значения величины P совпадают с поверхностями равного давления. В задачах с трехмерным распределением давления и плотности вспомогательная функция
P ( x, y, z ) =
p( x , y , z ) p1



dp ,

(2.27)

а условие равновесия имеет вид (2.28) grad p = F . Поскольку сила F связана с потенциальной энергией единицы массы соотношением
F = - grad U1 , то подстановка (2.29) в (2.28) дает условие

(2.29) (2.30)

grad (P + U1 ) = 0 , или P + U1 = const .

Следует отметить, что условие равновесия (2.28) является более общим, чем (2.7), т.к. позволяет рассчитать распределение давлений как в жидкостях, так и в газах. Атмосфера в поле силы тяжести. Многочисленные исследования атмосферы, проведенные при помощи аэростатов (см. ниже), ракет и искусственных спутников Земли, показывают, что по мере увеличения высоты давление и плотность монотонно убывают, а температура монотонно убывает лишь в нижнем 10-километровом слое, а в более высоких слоях меняется немонотонно. Параметры атмосферы зависят как от географического положения места, так и от времени года. В качестве иллюстрации к сказанному на рис. 2.16 представлены высотные зависимости параметров среднестатистической атмосферы Москвы, полученные в летнее и зимнее время. Если разница в высотных зависимостях температуры атмосферы составляет десятки градусов, то распределение 'зимнего' давления отличается от 'летнего' всего лишь на несколько процентов, и на рисунке эта разница неразличима. Сложная высотная зависимость температуры атмосферы есть результат совместного проявления процессов тепломассопереноса, инициируемых излучением Солнца. Расчеты показывают, что если бы атмосфера и Мировой океан, называемые жидкой оболочкой Земли, не поглощали бы энергию солнечного излучения, то Земля нагрелась бы на экваторе до 270 К, на Южном полюсе до 150 К и на Северном полюсе до 170 К. При таких температурах установилось бы радиационное равновесие: нагретая Земля излучала бы в мировое пространство столько энергии, сколько получает от Солнца. Однако поверхность Земли значительно теплее, а контраст температур между экватором и полюсом намного меньше. Это результат поглощения солнечной энергии самой атмосферой. Кроме того, атмосфера и океан переносят тепло от одной области к другой, что также влияет на энергетический баланс.


Лекция 2 100 90 80 70 H, км 60 50 40 30 20 10 0 200 250 T, км 300
Рис. 2.16

37 100 90 зима 80 70 H, км 60 50 40 30 20 10 0 0 10 10 10 10 10 P, Па
1 2 3 4 5

лето

лето

Поглощение солнечной энергии осуществляется главным образом водяным паром, углекислым газом и озоном, вследствие чего создается 'парниковый эффект', приводящий к дополнительному нагреванию поверхности Земли. Поскольку воздух вблизи поверхности более теплый и легкий, чем воздух сверху, то он всплывает вверх (вертикальная конвекция), и нижний слой атмосферы перемешивается. Поэтому распределение температуры, изображенное на рис. 2.16, является результатом динамического равновесия атмосферы в поле силы тяжести, при котором соблюдается баланс энергии. Радиационное равновесие можно рассчитать, если принять во внимание, что в нижнем слое атмосферы основным физическим фактором, отвечающим за достижение равновесия, является поглощение радиации водяным паром. На больших высотах доминирующим является поглощение углекислым газом и озоном. Атмосфера делится на отдельные участки, как это видно из рис. 2.16. Нижний слой атмосферы, называемый тропосферой, содержит 80% массы атмосферы, почти весь водяной пар и облака и характеризуется сильным вертикальным перемешиванием. Сверху тропосфера ограничена тропопаузой, где температура атмосферы меняется очень мало. Выше расположена стратосфера, которая слабо перемешивается. Ее устойчивость обусловливается повышением температуры с высотой в результате радиационного баланса. Возрастание температуры заканчивается в стратопаузе. Выше находится мезосфера, где температура опять падает. Мезосфера содержит лишь 0,1% массы всей атмосферы. Выше мезосферы (H > 100 км) находится термосфера, в которой температура опять растет с высотой, достигая 600 К в период спокойного Солнца и более 2000 К в период солнечной активности. Для вычисления изменения атмосферного давления с высотой воспользуемся условием равновесия (2.24) в виде:


38

Механика сплошных сред
1 dp = -g . dx

(2.31)

Связь между давлением и плотностью для сухого воздуха задается уравнением состояния идеального газа
p= RT . ч

(2.32)

Справедливость использования этого уравнения обусловлена тем, что влияние влажности на плотность воздуха существенно лишь в тропиках вблизи поверхности Земли, однако даже здесь ошибка при использовании (2.32) не превосходит 2%. Подставляя значение плотности из (2.32) в (2.31), получаем уравнение
1 dp g =- , p dx RT( x)

(2.33)

которое можно проинтегрировать, если известна T(x). В качестве грубого приближения в (2.33) можно использовать среднее значение температуры T = 250 K , при этом отклонение максимальной температуры у поверхности или минимальной температуры на высоте H = 100 км от среднего значения составляют около 15%. Интегрируя (2.33), получаем распределение давления изотермической атмосферы
x чgx p = p 0 exp - = p 0 exp - (2.34) H , RT 0 носящее название барометрической формулы. Высота H0, на которой давление падает в e раз, называется приведенной высотой атмосферы и равна: H0 = RT = 7,4 км . чg

(2.35)

Отметим, что если бы плотность не менялась с высотой ( = 0 = const), то интегрирование (2.31) привело бы к линейному (как для несжимаемой жидкости) закону убывания давления с высотой:
x p( x ) = p 0 - 0 gx = p 0 1 - H0 .

(2.36)
p0 = 8,4 км , 0 g

В этом случае вся атмосфера была бы ограничена высотой H 0 =

что, конечно, противоречит реальной ситуации. Для практических целей используются унифицированные атмосферные параметры и их высотные зависимости. Так, Международная организация гражданской авиации (МОГА) для нужд авиации определила в 1952 г. стандартную атмосферу до высоты 20 км, а в 1963 г. дала новое определение до высоты 32 км. Стандартная атмосфера есть условная атмосфера, для которой давление и температура на уровне моря, градиент температуры и другие значения были выбраны намеренно так, чтобы получить схематичную модель атмосферы, которая наилучшим образом согласуется со средними значениями ее параметров, наблюдаемыми на средних широтах. Эта модель, в частности, широко используется для градуирования альтиметров (приборов для определения высоты летательного ап-


Лекция 2

39

парата). В этой модели принимается, что до высоты h = 11000 стандартных геопотенциальных метров над уровнем моря, где температура воздуха равна 56,50С, градиент температуры dT/dh равен 0,00650С на стандартный геопотенциальный метр. До высоты 20000 стандартных геопотенциальных метров dT/dh=0, а выше, вплоть до 32000 стандартных геопотенциальных метров, градиент температуры равен +0,0010С на стандартный геопотенциальный метр. Геопотенциальный метр является единицей измерения геопотенциала, определяемого уравнением
h= 1 g(x )dx , 9,8 0 R
З 2 З x

(2.37)

где ускорение свободного падения
g( x) = g

(R

+x

)2

.

(2.38)

Здесь RЗ радиус Земли, g ускорение свободного падения на среднем уровне моря, x высота над уровнем моря. Если бы ускорение g не менялось с высотой, то высота h в геопотенциальных метрах была бы равна геометрической высоте над уровнем моря x. В модели стандартной атмосферы соотношения между давлением p, температурой Т, плотностью и геопотенциалом h задаются следующим образом: 1) В двух атмосферных слоях с постоянным градиентом температур
T(h ) = T(0) + dT h, dh
Gч / dh

R (dT p(h) T(0) = dT p(0) T(0) + h dh
чGh RT (0 )

)

.

(2.39)

2) В изотермическом атмосферном слое, где dT/dh = 0 и T(0) = const,
p(h ) =e p(0)
-

,

(2.40)

и работает барометрическая формула. Здесь p(0) и T(0) давление и температура у основания каждого слоя, R универсальная газовая постоянная для сухого воздуха, h разница геопотенциала между рассматриваемой точкой слоя и его основанием, ч молекулярная масса сухого воздуха, коэффициент G = 9,80665, если геопотенциал выражен в геопотенциальных метрах. Учет изменения температуры с высотой приводит к высотной зависимости давления (2.39), которая является лучшей аппроксимацией реальной атмосферы, чем барометрическая формула. Для более глубокого ознакомления с использованием модели стандартной атмосферы для практических целей воздухоплавания и др. рекомендуем читателю обратиться к международным метеорологическим таблицам.1
1 Международные метеорологические таблицы. I - II серии. ВМО - ?188 ТР.94. Секретариат Всемирной метеорологической организации. Женева - Швейцария. Обнинск, 1975 г., 262 с.


40

Механика сплошных сред

Воздухоплавание. Обратим внимание на тот факт, что плотность атмосферы на уровне стратопаузы уменьшается приблизительно на 5 порядков, однако этого оказывается достаточно, чтобы осуществить воздухоплавание с применением аэростатов и стратостатов вплоть до высот ~50 км. Аэростаты летательные аппараты легче воздуха. Они поддерживаются в воздухе благодаря подъемной силе заключенного в оболочке аэростата газа с плотностью, меньшей плотности воздуха (водород, гелий, светильный газ). Аэростаты, предназначенные для полетов в стратосферу, называются стратостатами. Аэростаты делятся на управляемые, или дирижабли, снабженные двигателями, и неуправляемые. Неуправляемые аэростаты используются для свободных полетов по ветру (свободные аэростаты). Они также могут 'висеть' неподвижно в атмосфере, если их присоединить тросом к закрепленной на земле лебедке (привязные аэростаты). Конструкция аэростата (рис. 2.17) включает оболочку (1), содержащую легкий газ, гондолу (2) для размещения экипажа и аппаратуры и подвеску (3), крепящую гондолу к оболочке. Для подъема на большие высоты объем оболочки должен составлять 100000800000 м3. Оболочка аэростата изготавливается из специальных газодержащих полотнищ и меридиональных усилительных лент. Подъемная сила 1 м3 водорода у земной поверхности равна приблизительно 1,15 кГ, а более тяжелого, но безопасного, гелия 1 кГ. Это означает, что если вес оснащенного аэростата равен 1 тонне, то в оболочку достаточно закачать >1000 м3 гелия, и Рис. 2.17 аэростат взлетит. Избыток подъемной силы уравновешивают балластом. Заметим, что оболочка заполняется лишь частично, и это позволяет защитить ее от перенапряжения. При подъеме по мере уменьшения давления атмосферы легкий газ в оболочке расширяется. Хотя подъемная сила каждого кубического метра газа в оболочке и падает, однако подъемная сила оболочки остается постоянной. На некоторой высоте легкий газ займет весь объем оболочки, и последняя примет шарообразную форму. При дальнейшем подъеме часть легкого газа будет выходить через открытый рукав (4), и подъемная сила аэростата будет уменьшаться. Подъем будет продолжаться до тех пор, пока не уравняются вес и подъемная сила аэростата. Максимальная высота полета достигается сбрасыванием балласта. Для спуска открывается газовый клапан (5) в верхней части оболочки. Подъемная сила падает, и аэростат опускается. Поскольку давление атмосферы начинает расти, то оболочка снова теряет форму шара. При приземлении масса легкого газа всегда меньше его начальной массы. Чтобы предотвратить удар гондолы о землю из-за падения подъемной силы, необходимо перед посадкой уменьшить массу аэростата. Это достигается выбрасыванием остающегося балласта.

5

1

4

3

2


Лекция 2

41

С помощью высотных аэростатов осуществляются многочисленные научные исследования. Развитие техники аэростатных исследований связано с оперативностью проведения научных работ и их сравнительно небольшой стоимостью. Круг научных задач, решаемых при этом, очень широк: физика Солнца и межпланетной среды, -астрономия и другие астрофизические исследования, физика космических лучей, процессы в атмосфере Земли и др. В развитых странах расчет, конструирование и производство аэростатов имеют высокую степень компьютеризации и автоматизации. Производство аэростатных оболочек осуществляется 'на заказ' под заданную массу полезного груза. Рядовыми являются полеты аэростатов с оболочками нулевого давления с объемами 350000850000 м3 и массой полезного груза 500900 кг на высотах 3843 км и продолжительностью полета до 100 часов. Современные аэростаты способны летать на высотах примерно 50 км (рекордная высота составляет 51,7 км), грузоподъемность их достигает нескольких тонн, продолжительность полета 10ч15 суток. Центрифугирование. В соответствии с барометрической формулой плотность изотермической атмосферы также убывает с высотой по экспоненциальному закону
= 0 e
- ч gx RT

.

(2.41)

Последняя формула дает распределение средней плотности атмосферы, состоящей из различных газов. Если говорить о парциальной плотности различных компонент, то плотность более тяжелых кислорода O2 (ч = 32 г/моль) и азота N2 (ч = 28 г/моль) убывает с высотой быстрее, чем плотность легкого гелия He (ч = 2 г/моль). Это наводит на мысль о возможности разделения легких и тяжелых газов в силовом поле. Наиболее успешно это можно осуществить в быстро вращающихся вокруг вертикальной оси барабанах (центрифугах), заполненных смесью газов. Для расчета парциального давления и плотности каждого газа в центрифуге воспользуемся равенством (2.30). Потенциальная энергия единицы массы в поле центробежной силы и силы тяжести равна:
U1( x, r ) = - gx + 1 22 r . 2

(2.42)

При постоянной температуре T = const
P=

p



p
0

dp RT = ч

p p



0

dp RT p = ln ч p p0 ,

(2.43)

где p0 давление газа в некоторой точке на оси барабана. Тогда из условия равновесия (2.30) находим
p( x, r ) = p 0 e
ч 1 ( - gx + 2 r 2 ) RT 2

.

(2.44)

Как видно из (2.44), поверхностями равного давления будут параболоиды вращения, при этом p0 это давление на единственном параболоиде вращения, для которого
- gx + 1 22 r =0. 2

(2.45)


42

Механика сплошных сред

Когда барабан современной центрифуги быстро вращается, совершая ~105 оборотов в минуту, то центробежная сила превосходит силу тяжести также в несколько сот тысяч раз, и
p( r ) p(0)e . (2.46) Смесь на периферии будет обогащаться тяжелой компонентой, так как плотность пропорциональна давлению. Однако, при малой молярной массе разделение газов посредством центрифугирования не будет эффективным. На практике центрифуги применяют для разделения газообразных соединений изотопов урана, тяжелых молекул (например, белковых молекул, ч ~ 104 г/моль) и других объектов, являющихся предметом изучения биологии и химии.
ч 2 r 2 2 RT

Торнадо. Вращение атмосферы имеет место и в естественных условиях. Наиболее впечатляющим примером такого движения является торнадо. Торнадо представляет собой близкий к вертикали вихрь, в котором воздух, вращаясь, одновременно движется к оси вихря и вверх вдоль нее. Вблизи от вихря (в ядре) давление сильно понижено; это заставляет воздух в слое высотой несколько десятков метров вблизи поверхности Земли устремляться в нижнюю часть вихря. Достигнув его края, воздух начинает подниматься вверх по спирали, пока в верхней части торнадо не сливается с воздушными потоками. По своей природе торнадо это продукт взаимодействия сильной грозы с ветром в тропосфере. В процессе образования торнадо часть громадной энергии грозового облака концентрируется в объеме воздуха диаметром не более нескольких сотен метров. Сильная гроза обеспечивает вертикальный подсос воздуха. В самом деле, теплые массы воздуха под действием архимедовой силы могут всплывать вверх. Однако при всплытии из-за падения давления движущиеся вверх массы будут расширяться и охлаждаться. В тропосфере температура может уменьшаться с высотой быстрее, чем охлаждается поднимающийся объем воздуха. Это означает, что атмосфера будет неустойчива, и в ней имеет место свободная вертикальная конвекция.
Ветер с возрастающей с высотой скоростью

Вихревая трубка

Спиральное восходящее движение

Восходящий поток

а Рис. 2.18

б


Лекция 2

43

Последняя усиливается в грозовую погоду при возрастании вертикального перепада температур. Однако, для того, чтобы поднимающийся воздух начал вращаться, необходим боковой ветер с возрастающей с высотой скоростью. Вертикальный градиент скорости ветра является причиной вращения воздуха вокруг горизонтальной оси (рис. 2.18а), а наличие вертикального движения воздуха приводит к его спиральному движению (рис. 2.18б). Согласно современным представлениям, образование торнадо происходит в две ступени. Вначале начинает закручиваться весь столб восходящего воздуха диаметром около 1020 км, называемый мезоциклоном. Мезоциклон с пониженным давлением на его оси подобен рукаву пылесоса (рис. 2.19). Воздух в приземном слое начинает засасываться в этот мезоциклон, при этом его скорость под вращающимся столбом достигает 100120 км/ч. На второй стадии по причинам, которые еще не поняты, внутри мезоциклона, ближе к его периферии, образуется область с диаметром не более одного километра, в которой на высотах порядка нескольких километров происходит усиление вращения (рис. 2.19). Затем это быстрое вращение передается вниз, вихревая трубка 12 вытягивается почти до Земли, 'повисая' лишь в неБоковой ветер 10 скольких десятках метров над ней. Это и есть торнадо. Вер8 тикальная скорость воздуха на оси торнадо может достигать 6 величины 300 км/ч. Из-за взаимодействия сильного ветра 4 с поверхностью Земли торнадо часто ревут, как реактив2 ный двигатель. На протяже0 нии короткой, не более нескольких часов, жизни тор10 км надо обладает огромной разрушительной силой, сметая Рис. 2.19 все на своем пути. Торнадо зарегистрированы во многих районах мира, однако излюбленное место их обитания это центральные и юго-восточные области США, а также Австралия. В этих районах весной и несколько реже осенью создаются все условия для возникновения сильнейших гроз, порождающих торнадо. К этим условиям относятся крайне неустойчивое распределение температуры и влажности в атмосфере, резкие холодные атмосферные фронты, обеспечивающие эффективный подъем воздуха, и высотные ветры, способствующие образованию мезоциклонов.
Высота, км


44

Механика сплошных сред ЛЕКЦИЯ 3

Стационарное течение жидкости. Условие несжимаемости. Уравнение Бернулли и его следствия. Понятие о дивергенции вектора. Уравнения Эйлера. Течение сжимаемых газов. Распространение возмущений. Скорость звука. Сверхзвуковые потоки. Стационарное одномерное течение несжимаемой жидкости. Равновесие жидкостей и особенно газов, рассмотренное в предыдущей лекции, реализуется далеко не всегда. Обычно жидкость при внешнем воздействии приходит в движение, при этом давление в жидкости и скорость ее частиц, вообще говоря, могут сложным образом меняться от точки к точке. Поясним сказанное примером. Подключим горизонтальную стеклянную трубку переменного сечения при помощи резинового шланга к водопроводному крану (рис. 3.1). Если напор воды остается постоянным, то течение воды можно считать устаh1 h3 новившимся (или стационарным). В этом случае масh2 са воды m, протекающая в s3 s1 единицу времени через сеs2 S чения с площадями S1 и S2, Рис. 3.1 будет одинаковой, поэтому имеет место равенство
m = 1 v1S1 = 2 v 2S2 , (3.1) где 1, 2 и v1, v2 плотности и скорости жидкости в этих сечениях. Если жидкость несжимаема (1 = 2), то условие (3.1) переходит в условие постоянства объема жидкости (условие несжимаемости), протекающего через сечения S1 и S2: V = v 1S1 = v 2 S 2 . (3.2) Следует отметить, что условия постоянства массы (3.1) и несжимаемости жидкости (3.2) записаны для случая, когда скорости всех частиц жидкости в поперечном сечении трубки одинаковы. Для графического изображения течения жидкости удобно использовать линии тока линии, касательная к которым в каждой точке совпадает с вектором скорости частицы (рис. 3.2). Легко видеть, что в сечении S скорости частиц различны, и объем протекающей жидкости через это сечение не может быть записан в виде (3.2). Далее отметим, что по мере приближения к малому сечению S2 частица, деформируясь, ускоряется (в 2 силу 3.2), а при удале1 нии от S2 замедляетРис. 3.2 ся. Эти ускорения мо-

s

s

s


Лекция 3

45

гут обеспечить силы давления f i = - p i n , показанные на рис. 3.2 маленькими стрелками. Из рисунка ясно, что по мере приближения к S2 давление в жидкости падает, а затем возрастает. Это легко проверить, если сравнить v2 уровни h1 и h2 жидкости в манометрических стеклянных трубках, v1 впаянных в горизонтальную трубp2 ку вблизи сечений S1 и S2. Поскольp ку p1 = gh 1 , p 2 = gh 2 , то p1>p2, x S1 S2 так как h1>h2. На рис. 3.3 изображено распределение скоростей и давРис. 3.3 лений вдоль оси трубки (см. рис. 3.2). Для количественного описания течения жидкости разобьем поток жидкости по трубе на элементарные трубки тока, образуемые семейством линий тока. В поперечном сечении элементарной трубки тока скорость частиц приблизительно одинакова, и это обстоятельство существенно облегчает анализ течения жидкости. Найдем связь между скоростью и давлением, качественно отображенную на рис. 3.3. При движении частиц воды вдоль осевой трубки сумма сил, приложенных к единице объема (см. (2.5)), обеспечивает его ускорение. В соответствии со 2-м законом Ньютона можно записать

1

dv x p =- + Fx , (3.3) x dt где Fx плотность силы, имеющая размерность Н/м3. Отметим, что в уравнение (3.3) не входят силы вязкого трения, зависящие от скорости движения элемента жидкости. Впоследствии мы учтем их влияние и выясним условия, при которых ими можно пренебречь. Изменение скорости частицы dvx и связанное с ним ускорение может происходить и при стационарном движении частицы от широкого сечения к узкому (или наоборот), и при нестационарном изменении скорости течения (например, при медленном увеличении или ослаблении напора воды). Поэтому в общем случае скорость частиц является функцией не только координаты x, но и времени t: v x v x dt + dx , (3.4) t x где dx = vxdt расстояние, пройденное частицей за время dt. Подставляя (3.4) в (3.3), получаем уравнение Эйлера dv x =

v x v p x + v x + Fx , =- t x x

(3.5)

описывающее одномерное течение несжимаемой невязкой жидкости. При стационарном течении жидкости по горизонтальной трубе скорость не зависит от

v x = 0 , внешние силы отсутствуют (F =0). В этом случае уравневремени x t
ние Эйлера принимает простой вид


46
v
x

Механика сплошных сред
dv x dp =- . dx dx

(3.6)

Здесь вместо / x используется символ полной производной d/dx. Учитывая, что v
x

dv x d = dx dx

v2 x , = const, перепишем (3.6) в виде 2
2 x

d dx

v 2 v x + p = 0 , или 2 2

+ p = const .

(3.7)

Равенство (3.7), устанавливающее связь между давлением и скоростью, является частным случаем уравнения Бернулли. Константа, входящая в это уравнение, определяется из значений давления и скорости в каком-либо сечении трубки тока. Используя это уравнение, определим массу воды (расход), проходящую за единицу времени через сечение трубки, изображенной на рис. 3.2. В соответствии с уравнением (3.7) давления и скорости в сечениях S1 и S2 связаны соотношением
2 v 1 v 2 = p2 + 2 . 2 2 Искомый расход воды определяется равенством (3.1):

p1 +

(3.8) (3.9)

m = v 1S1 = v 2S2 .

Поскольку давления p1 = gh 1 и p 2 = gh 2 определяются по показаниям h1 и h2 манометрических трубок, то решая систему уравнений (3.8) и (3.9) относительно m, находим

m=

2( p1 - p 2 ) - - S2 2 - S1 2 .

(3.10)

Для измерения расхода воды на практике применяются водомеры, основу которых составляет труба переменного сечения, оснащенная манометрами для измерения давлений p1 и p2 в сечениях S1 и S2. Течение жидкости в поле силы тяжести. Уравнение Бернулли. Рассмотрим задачу о течении жидкости вдоль произвольных трубок тока, которые могут составлять некоторый переменный угол с горизонтом. Одна из таких криволинейных трубок показана на рис. 3.4. Если ввести криволинейную координату l , совпадающую с осью трубки тока, то при стационарном течении скорость и давление жидкости являются функциями этой координаты. Проектируя силу тяжести на ось l , запишем уравнение Эйлера (3.5) в виде:
v dv dp =- + g cos . dl dl

(3.11)

Здесь v скорость частиц на оси трубки.


Лекция 3
Если элемент жидкости сместился вниз на расстояние dl , то он опустился на высоту dh < 0, при этом
dh . Подставляя значение cos cos = - dl в (3.11) и используя тождество v dv 1 d 2 = v , находим dl 2 dl d v2 dp dh + + g = 0. dl 2 dl dl

47

dl dh

(3.12)

Для несжимаемой жидкости = const , и последнее равенство трансформируется к виду
d dl v 2 2 + p + gh = 0 .

F = g
Рис. 3.4

(3.13)

Интегрируя (3.13) вдоль трубки тока, получаем уравнение Бернулли
v 2 + p + gh = const . (3.14) 2 Это уравнение описывает стационарное течение несжимаемой жидкости (иногда употребляют термин 'идеальная жидкость') и играет фундаментальную роль в гидродинамических исследованиях. Если нам известны давление p1 и скорость v1 в некотором сечении трубки тока, находящемся на высоте h1, то в любом другом сечении на высоте h величины p и v связаны соотношением v 2 + gh = p1 + 2 Давление p это статическое давление, трубка которого ориентирована перпендикулярно p+
2 v1 + gh 1 . (3.15) 2 измеряемое манометром, линии тока, либо движу-

щимся вместе с жидкостью. Величина

v 2 2 называется динамическ и м давлением , смысл которого будет раскрыт позднее. Заметим, что в покоящейся жидкости равенство (3.15) описывает гидростатическое распределение давлений. Уравнение Бернулли может быть также получено на основе баланса энергии. В отсутствие сил вязкости приращение суммарной (потенциальной и кинетической) энергии массы воды, находящейся в трубке тока между сечениями S1 и S2 (рис. 3.5), равно работе сил давления. Из

S h
1

1

v1 d t v
1

h

S
2

2

v2 d t

v

2

Рис. 3.5


48

Механика сплошных сред

рисунка видно, что за время dt элемент жидкости массой dm = S1 v 1dt = S2 v 2 dt опустился с уровня h1 на уровень h2, а его скорость увеличилась от величины v1 до v2. Приращение кинетической энергии равно
dE
К

v2 v2 1 3 3 = dm 2 - 1 = S2 v 2 - S1 v 1 dt . 2 2 2

(

)

Изменение потенциальной энергии составляет
dE
П

= dm g( h 2 - h 1 ) = g(S2 v 2 h 2 - S1 v 1 h 1 )dt .

Работа сил давления
dA = p1S1 v 1 dt - p 2 S2 v 2 dt . Записывая уравнение энергетического баланса в виде dE получаем уравнение Бернулли: p1 +
К

+ dE

П

= dA ,

2 v 1 v 2 2 + gh 1 = p 2 + + gh 2 . (3.16) 2 2 Вывод уравнения Бернулли на основе энергетического баланса делает более понятным физический смысл входящих в него членов. Так, статическое давление p численно равно работе сил давления, совершаемых над еди-

ничным объемом жидкости; динамическое давление

v 2

2

есть кинетическая

энергия этого единичного объема, а величина gh является его потенциальной энергией в поле силы тяжести. Применим уравнение Бернулли к расчету течения жидкости в ряде интересных физических задач. Вытекание жидкости через отверстие в сосуде. Пусть жидкость, заполняющая сосуд, под действием силы тяжести вытекает из него через отверстие в боковой стенке, расположенное вблизи дна сосуда (рис. 3.6). В отh верстие вставлена горизонтальная трубка с закp0 S 0 ругленной внутренней H кромкой, направляющая вытекающую струю воды. Закругление кромv0 ки обеспечивает полное заполнение трубки вытекающей жидкостью. Разобьем текуSv щую жидкость на труб0 ки тока. Одна из таких p0 трубок изображена на рисунке 3.6. Хотя мы и Рис. 3.6


Лекция 3

49

не знаем, как выглядят эти трубки, однако все они начинаются на свободной поверхности жидкости и заканчиваются на выходном торце сливной трубки. Если площадь отверстия трубки S значительно меньше площади свободной поверхности S0, то при истечении жидкости ее поверхность будет оставаться горизонтальной и опускаться с некоторой малой скоростью v0