Математика - 2000. 10 класс. Решения

<<<<<

<<<<<

Задача 1. Угол АЕВ + угол ВЕС = 180°, поэтому эти углы не могут быть разнымиуглами подобных треугольников АВЕ и ВЕС, то есть они равны и ВЕ - перпендикуляр. Теперь воэможны два варианта: угол АВЕ = углу СВЕ или угол АВЕ = углу ВСЕ. В первом варианте треугольник АВЕ равен треугольнику ВСЕ, поэтому остается второй вариант. В этом случае угол АВС = углу АВЕ + угол СВЕ = угол АВЕ + угол ВАЕ = 90°. В прямоугольном треугольнике АВС катеты относятся как 1/√3 и углы равны 30°, 60° и 90°.

Задача 2. Пусть Т_n - минимальное количество перекладываний, необходимых для перемещения n дисков с одного колышка на другой. Переместим n - 1 меньших дисков на любой из колышков, сложив их в нужном порядке. Это потребует Т_n-1 переносов. Потом перенесем самый большой диск (1 перекладывание), затем n-1 меньших дисков (Т_n-1 перекладываний). Таким образом, за 2Т_n-1 + 1 перемещений можно выполнить требуемое и Т_n ≤ 2Т_n-1 + 1. С другой стороны, для того, чтобы переместить самый большой диск, n-1 дисков должны находиться на одном колышке, (причем они по условию должны распологаться только в правильном порядке), и для этого требуется не мение Т_n-1 перемещений, перемещения самого большого диска надо поместить правильно оставшиеся, что требует также Т_n-1 перемещений. Поэтому Т_n = 2Т_n-1 + 1 при n>0. Очевидно, Т₀ = 0. Отсюда, Т_n + 1 = 2(Т_n-1 + 1), Пусть U_n = Т_n + 1, Тогда U_n = 2U_n-1 и U_n, очевидно, равно 2ⁿ и U₀ = 1, а Т_n = 2ⁿ - 1. При n = 6 требуется, таким образом, 63 перемещения.

Задача 3. y = x³ - 6x² + 12x - 7 = (x - 2)³ + 1. У графика y = x³ центр симетрии - точка (0,0). Данный график получен из него пераллельным переносом и имеет центр симетрии (2,1).

Задача 4. Закрасим полоски, пераллельные стороне длиной 2000 через одну, начиная со второй. Таких полос будет 1000, длина каждой 2000, что дает 2000000 клеток. Покажем, что уменьшить число закрашенных клеток нельзя. Действительно, из такого прямоугольника можно вырезать 1000000 квадратиков 2 на 2, в каждом из которых надо закрасить две клетки.

Задача 5. Да. Например, 5/6 > 4/5, 2/9 > 1/5. Но <