Математика - 2000. 9 класс. Решения

<<<<<

<<<<<

Задача 1. Для каждой пары должно выполняться соотношение x² - y² = 75, где x - количество поригов, испеченое женой, а y - мужем. Поскольку x, y целые числа, то возможны следующие варианты:

1. x + y = 75, x - y = 1;
2. x + y = 25, x - y = 3;
3. x + y = 15, x - y = 5;

1. x = 38, y = 37;
2. x = 14, y = 11;
3. x = 10, y = 5;

Задача 2. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника АВС. Угол ВОС - прямой, следовательно, точка О лежит на этой окружности. Отрезки ВО и СО равны как половины диагоналей, следовательно, равны соответствующие дуги и операющиеся на них углы, угол ВАО = углу ОАС = 45°.

Задача 3. Все Злые должны ответить одинаково, и все Добрые - тоже. Если больше Добрых, то из 51 опрошенного должен бал быть хотя бы один Добрый, он ответил бы, что Доюрых больше - противоречие; если больше Злых, то из 51 опрошенного должен бал быть хотя бы один Злой, он должен солгать и сказать, что больше добрых - противоречие. Остается единственный вариант, когда Добрых и Злых поровну. При этом кроме каждого Доброго есть 49 Добрых и 50 Злых (и он правдиво отвечает, что Злых больше), а кроме каждого Злого есть 50 Добрых и 49 Злых (и он лжет, что Злых больше).

Задача 4. n² = (a² + b² + c²)² = (a² + b² - c²)² + (2ac)² + (2bc)².

Задача 5. Все хамелеончики разбиваются на три группы и в каждой один синий дружит с двумя красными. После перекрашивания все, входящие в одну группу, становятся одного цвета. Для этого надо в каждой группе перекрасить либо одного синего либо двух красных. Значит, число групп равно 413 + 508/2 = 667, а число хамелеончиков 667 * 3 = 2001.