Разминочный тур е-олимпиады
Математика

7 класс
1. Три землекопа за три часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов?
2. Если у числа х подсчитать сумму цифр и с полученным числом повторить это еще два раза, то получится еще три числа. Найти самое маленькое х, для которого все четыре числа различны, а последнее из них равно 2.
3. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 бананов, причем каждому досталось хотя бы по одному банану. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных; Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов съел Пятачок?
4. Как разрезать квадрат со стороной 4 см на прямоугольники, сумма периметров которых равна 25 см?
5. На складе стеклотары могут храниться банки из-под консервированных овощей по 0.5 л, 0.7 л и 1 л. Сейчас на складе имеется 2500 банок общей вместимостью 1998 л. Докажите, что на складе есть хотя бы одна полулитровая банка.

8 класс
1. Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984!? (Примечание: 1984!=1*2*3*:*1984).
2. Можно ли разлить 50 л бензина по трем бакам так, чтобы в первом баке было на 10л больше, чем во втором, а после переливания 26л из первого бака в третий в третьем баке стало столько же, сколько во втором?
3. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?
4. Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей?
5. Известно, что число а+1/а - целое. Докажите, что число а^2+1/а^2 - тоже целое.

9 класс
1. Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Вася. Докажите, что какие бы цифры он не писал, Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9.
2. В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?
3. Вершины одного параллелограмма лежат на сторонах другого - по одной вершине на каждой стороне. Докажите, что центры этих параллелограммов совпадают.
4. Каков наибольший возможный общий делитель чисел 9m+7n и 3m+2n, если числа m и n не имеют общих делителей, кроме единицы?
5. Решить уравнение в целых числах x+1/(y+1/z)=10/7

10 класс
1. Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Вася. Докажите, что какие бы цифры он не писал, Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9.
2. В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?
3. Вершины одного параллелограмма лежат на сторонах другого - по одной вершине на каждой стороне. Докажите, что центры этих параллелограммов совпадают.
4. Каков наибольший возможный общий делитель чисел 9m+7n и 3m+2n, если числа m и n не имеют общих делителей, кроме единицы?
5. Произведение двух положительных чисел больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше четырех.

11 класс
1. Сумма четырех корней квадратных трехчленов f и g с одинаковыми старшими коэффициентами равна нулю. Трехчлен f+g имеет два корня. Докажите, что сумма этих корней также равна нулю.
2. В Клубе Любителей Вкусной Еды состоят 58 человек, причем каждый из них - либо толстый, либо тонкий. На очередное заседание каждый толстый член клуба принес 15 пончиков и раздал их тонким, а каждый тонкий принес 14 пончиков и раздал их толстым. Оказалось, что все толстые члены клуба получили поровну пончиков и все тонкие - тоже. Сколько среди членов клуба толстых и сколько тонких? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.
3. Докажите, что в любом 35-значном числе без нулей и пятерок в десятичной записи можно вычеркнуть несколько цифр так, чтобы полученное в результате этого число делилось на 41.
4. В треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D такая, что AD/DC = AB/BC. Докажите, что угол С - тупой.
5. Шеренга солдат называется неправильной, если никакие три солдата не стоят по росту (ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания). Сколько неправильных шеренг можно построить из n солдат разного роста, если: а) n=4; б) n=5?