10 класс

1. Четыре последовательных натуральных числа разбиты на две группы по два числа. Известно, что произведение чисел одной группы на 1995 больше, чем произведение чисел другой группы. Найти эти числа.
2. Уравнение x² + bx + c = 0 имеет два различных корня x₁ и x₂. Известно также, что числа b, x₁, c, x₂ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найти разность этой прогрессии.

11 класс

1. Решите уравнение (x² - 3)³ - (4x + 6)³ + 216 = 18(4x + 6)(3 - x²).
2. Найти значения параметра а, при которых уравнение x³ + x² = a имеет три корня, образующие арифметическую прогрессию.

10 класс

1. Заметим, что если в обеих группах есть по четному числу, то оба произведения четны, их разность четна, и не может равняться 1995. Поэтому в одной группе четные, в другой нечетные числа. Пусть эти числа - n - 1, n, n + 1, n + 2. Произведение в одной группе равно П₁ = (n-1)(n+1) = n² - 1, в другой - П₂ = n(n+2) = n² + 2n. Так как n принадлежит N, то 2n > -1. Следовательно 1995 = (n² + 2n) - (n² - 1) = = 2n + 1, отсюда n = 997. Поэтому искомые числа - 996, 997, 998, 999.
2. Раз х₁ и х₂ - корни уравнения х² + bx + c = 0, то по теореме Виета b = -x₁ - x₂, c = x₁ * x₂. Следовательно, числа a₁ = -x₁ - x₂, a₂ = x₁, a₃ = x₁ * x₂, a₄ = x₂ образуют арифметическую прогрессию с разностью d = a₂ - a₁ = 2 * x₁ + x₂; значит a₄ = a₂ + 2 * d = x₁ + 2 * (2 * x₁ + x₂) = 5 * x₁ + 2 *x₂=x₂ Поэтому имеем: х₂ = -5 * х₁. Но тогда a₃ = -5 * x₁²; d = -3 * x₁; a₃ = a₂ + d = x₁ - 3 * x₁ = -2 * x₁ = -5 * x₁². Следовательно, 2 * x₁ = 5 * x₁², что равносильно x₁ = 0 и x₁ = 2/5. При x₁ = 0 получаем x₂ =
   = -5 * 0 = 0; но x₁ < > x₂ по условию. Противоречие. При x₁ = 2/5, получаем x₂ = -5 * 2/5 = -2; значит x₁ < > x₂ и d = -3 * 2/5 = -6/5.

11 класс

1. Введем обозначения: x² - 3 = a, -4x - 6 = b, 6 = c. Уравнение примет вид а³ + b³ + c³ - 3abc = 0. Но, как легко проверить, a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac) = (a + b + c)(((a - b)² + (a - c)² + (b - c)²)²)/2 = 0. Поэтому, либо a + b + c = 0, либо a - b = a - c = b - c = 0. Условие a + + b + c = 0 приводит к уравнению x² - 3 - 4x - 6 + 6 = 0, корни которого x₁ = 2 + sqr(7), x₂ = 2 - sqr(7). При одновременном выполнении трех условий: a - b = a - c = b - c = 0 получаем систему: x² + 4x +
   + 3 = 0; x² = 9 - 4x = 12 которая имеет единственное решение x₃ = -3.
2. Пусть x₁, x₂, x₃ - корни данного уравнения. Тогда, приравнивая после раскрытия скобок коэффициенты при одинаковых степенях x многочленов (x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) и x³ - x² - a, получим, что x₁ + x₂ + x₃ = -1 (часть теоремы Виета для кубического уравнения). Если d - разность прогрессии, которую составляют числа x₁, x₂, x₃ , то x₁ + x₂ + x₃= (x₂ - d) + x₂ + (x₂ + d) = 3 * x₂. Значит, 3 * x₂ = -1 и x₂ = -1/3. Подставляя x = -1/3 в данное уравнение, получим a = 2/27. Далее нужно проверить, что при a = 2/27 условие выполняется. Таким образом, ответ: a=2/27.