|
Рассмотрим произвольную Гамильтонову систему дифференциальных уравнений, правые части которой являются аналитическими функциями
в некоторой комплексной области U. Если задано частное
решение S системы, целиком принадлежащее U, то возникает естественная
задача отыскания необходимых условий существования максимального числа первых интегралов, независимых и мероморфных в некоторой
связной окрестности S. Исторически, впервые такая постановка задачи была рассмотрена в 80-х годах
прошлого столетия в работах С.Л.Зиглина. Им был предложен конструктивный метод, базирующийся на изучении свойств группы
монодромии уравнений в вариациях вдоль решения S. Этот подход можно назвать динамическим как
базирующийся на комбинации отображений Пуанкаре вдоль петель, обходящих особые точки поверхности Римана,
соответствующей S. Несколько позднее была предложена чисто алгебраическая версия метода Зиглина, разработанная
испанским математиком Х.Моралесом и французским математиком Ж.-П.Рамисом. Ее особенностью является замена группы
монодромии дифференциальной группой Галуа уравнений в вариациях. При этом возникают необходимые условия мероморфной
интегрируемости, отличные от условий Зиглина. В каком-то смысле, оба подхода не являются эквивалентными и взаимно
дополняют друг друга. В настоящем докладе предлагается их сравнительный анализ. Рассматриваются примеры из классической механики:
проблема трех тел, уравнения кельтского камня и другие задачи.
|
