Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/papers-sym/atom16stud.pdf Дата изменения: Wed Apr 2 17:21:51 2008 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:45:33 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п п р п п р п п р п п р п

Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия
Е.А. Кудрявцева, И.М. Никонов, А.Т. Фоменко 2 апреля 2008 г.
Аннотация
В настоящей работе рассматриваются правильные (т.е. максимально симметричные) клеточные разбиения замкнутых ориентированных двумерных поверхностей, т.е. правильные карты или правильные абстрактные многогранники. Эти объекты известны и как максимально симметричные ориентированные атомы. Атом назов?м приводимым, если он является разветвл?нным накрытием над другим атомом, с ветвлениями в вершинах разбиения и (или) центрах граней. Следующие две проблемы возникли в теории интегрируемых гамильтоновых систем: 1) описать неприводимые максимально симметричные атомы; 2) описать все максимально симметричные атомы, накрывающие данный неприводимый максимально симметричный атом. В данной работе эти проблемы решаются в важных случаях. В качестве приложения перечисляются все максимально симметричные ориентированные атомы следующих типов: 1) имеющие не более 30 р?бер; 2) имеющие не более 6 граней; 3) имеющие p или 2p р?бер, где p простое число.

Содержание
1 Введение
1.1 1.2 1.3 1.4 Сложные функции Морса, атомы и клеточные разбиения поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Максимально симметричные атомы . . . . . . . . . . . . . . . . . Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы Некоторые важные серии максимально симметричных ориентированных атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2 5 8 9

2 Накрытия и симметрии атомов 3 Регулярные разветвл?нные накрытия атомов 4 Симметричные разветвл?нные накрытия атомов

13 15 19

5 Примитивные максимально симметричные атомы и отображения примитивизации 32 6 Классификация максимально симметричных атомов с данной примитивизацией 36 7 Нахождение примитивных максимально симметричных атомов 47

1


8 Классификация максимально симметричных атомов с не более чем 6 белыми клетками 62 9 Описание максимально симметричных ориентированных атомов данной сложности 68 10 Приложение А. Классификация максимально симметричных ориентированных атомов рода g 2 74 11 Приложение Б. Некоторые задачи. 76

1 Введение
1.1 Сложные функции Морса, атомы и клеточные разбиения поверхностей
Пусть M замкнутая гладкая двумерная вещественная поверхность, и f : M R функция Морса на ней. Функция Морса f , имеющая ровно по одной критической точке на каждом критическом уровне, называется простой. В противном случае f называется сложной функцией Морса. Простую функцию Морса можно определить эквивалентным образом: е? значения во всех критических точках попарно различны. ности N назовем эквивалентными, если существуют два диффеоморфизма : M N и ч : R R , такие, что ч сохраняет ориентацию и f = ч g . Другими словами, f и g получаются друг из друга гладкими заменами координат как в образе, так и в прообразе.

Определение 1.1. Две функции Морса f на поверхности M и g на поверх-

Введем понятие атома. Пусть K связная компонента критического уровня функции Морса f на M , содержащая хотя бы одну критическую точку. Множество K является связным конечным графом, вершины которого имеют степень 0 или 4. Пусть c = f (K ) соответствующее критическое значение и > 0 малое число.

Определение 1.2. Атомом называется связная компонента P M множества, задаваемого неравенством c - f c + , содержащая граф K , и рассматриваемая вместе с заданной на ней функцией Морса f , где > 0 достаточно малое число. Атом называется седловым (соотв. минимаксным), если K содержит седловую критическую точку (соотв. точку локального минимума или максимума) функции f . Все вершины седлового (соотв. минимаксного) атома имеют степень 4 (соотв. 0). Атом называется простым (соотв. сложным), если отвечающая ему функция Морса f |P простая (соотв. сложная). Критические точки функции Морса (т.е. вершины графа K ) называются вершинами атома, а их количество сложностью атома. Если поверхность P ориентируема (соотв. неориентируема), атом называется ориентируемым (соотв. неориентируемым). Если на поверхности P фиксирована ориентация, то соответствующий атом называется ориентированным. Родом атома называется ? род замкнутой поверхности P , получающейся из поверхности P заклеиванием дисками всех компонент края. Два атома (соотв. ориентированных атома) считаются изоморфными, если заданные на них функции Морса эквивалентны, см. Определение 1.1 (соотв. в ориентированном случае диффеоморфизм сохраняет ориентацию). Определение 1.3. Эквивалентным образом атом можно задать как оснащ?нную пару (P, K )# , где P компактная поверхность с краем, K непустой
2


конечный связный граф в P , вершины которого имеют степень 0 или 4, прич?м P \ K является несвязным объединением колец S 1 Ч (0; 1], S 1 Ч {1} P , и множество колец разбито на два подмножества (белые и ч?рные кольца) таким образом, что к каждому ребру графа K примыкают ровно одно белое кольцо и ровно одно ч?рное кольцо. Указанное разбиение колец на белые и ч?рные называется оснащением пары (P, K ), и оснащенная пара обозначается через (P, K )# . Две оснащ?нные пары считаются изоморфными, если существует гомеоморфизм пар, сохраняющий ориентацию и раскраску. Действительно, по атому однозначно строится оснащенная пара (P, K )# , где белые (соотв. ч?рные) кольца задаются неравенством f > c (соотв. f < c). Верное и обратное: по оснащенной паре (P, K )# однозначно строится атом.

Определение 1.4. (А) Введенное выше (Определения 1.2, 1.3) понятие атома допускает ещ? одну эквивалентную формулировку. Оно получается из Опреде? ления 1.3 заменой поверхности P с краем на замкнутую поверхность P , а белых (соотв. ч?рных) колец на открытые двумерные белые (соотв. ч?рные) клетки. ? То есть, (ориентированный) атом рассматривается как пара (P , K )# (с ориен? тированной поверхностью P ). Изоморфизмом двух пар называется клеточный гомеоморфизм, сохраняющий раскраску (и ориентацию). Изоморфизм пары на себя называется автоморфизмом. (Б) (Ориентированный) атом, полученный из (ориентированного) седлово? го атома X = (P , K )# перекраской белых клеток в ч?рные, а ч?рных в белые, называется двойственным (ориентированному) атому X и обозначается X . Ориентируемый атом назов?м отражаемым, если он имеет автоморфизм, меняющий ориентацию. (В) Две двумерные клетки атома называются смежными, если они имеют общую вершину. Шашечным разбиением белых клеток атома назов?м такое разбиение множества белых клеток на два подмножества, что любые две различные смежные белые клетки принадлежат разным подмножествам. Графом смежности белых клеток атома называется граф, вершины которого взаимно однозначно отвечают белым клеткам атома, и две вершины графа соединены ребром тогда и только тогда, когда отвечающие этим вершинам белые клетки атома смежны.
Построим соответствие между атомами как парами (P, K )# и атомами как ? парами (P , K )# (прич?м индуцированное соответствие между классами эквивалентности таких пар будет взаимно однозначным). Пусть (P, K )# атом в ? смысле Определения 1.3, и P замкнутая поверхность, полученная из P заклейкой дисками граничных окружностей. Объединение ч?рного (белого) кольца с приклеенным к нему диском будем называть ч?рной (белой) клеткой. То? гда на замкнутой поверхности P получаем клеточное разбиение, одномерным остовом которого является граф K , а двумерные клетки описаны выше и раскрашены в два цвета так, что к каждому ребру примыкает ровно одна белая и ровно одна ч?рная клетки (т.е. является шахматной раскраской). Получен? ный клеточный комплекс с шахматной раскраской обозначим через (P , K )# . Он является атомом в смысле Определения 1.4.А.

Определение 1.5. Эквивалентным образом можно задать (ориентированный)

атом как клеточное разбиение связной замкнутой (ориентированной) поверхности (возможно, пустой). Такое клеточное разбиение называется также (ориентированной) картой [HC], [KM, 3.2], или (ориентированным) абстрактным многогранником [MS], [MS0]. Два таких разбиения считаются изоморфными, если имеется (сохраняющий ориентацию) клеточный гомеоморфизм. Опишем клеточное разбиение замкнутой поверхности (на белые двумер? ные клетки), отвечающее паре (P , K )# (при этом индуцированное соответствие 3


между классами эквивалентности атомов и клеточными разбиениями (возможно, пустых) связных поверхностей будет взаимно однозначным). Искомая за? мкнутая поверхность либо совпадает с поверхностью P (см. Определение 1.2) (если имеются ч?рные кольца, т.е. атом либо седловой, либо отвечающий точке ? локального максимума), либо P := (если нет ч?рных колец, т.е. атом отвечает ? точке локального минимума). По седловому атому (P , K )# одномерный остов ? клеточного разбиения поверхности P строится так: в центр каждого ч?рного диска помещаем вершину разбиения, а через каждую вершину атома проводим ребро разбиения, соединяющее центры ч?рных дисков, примыкающих к ? данной вершине с двух сторон. Это разбиение поверхности P совпадает с раз? ? биением на ручки, отвечающим соответствующей функции Морса f на P , где ? получена из f продолжением на диски так, чтобы f имела ? функция Морса f ровно по одной критической точке в каждом диске: локальный максимум (минимум) в центре белого (ч?рного) диска. Минимаксному атому, отвечающему точке локального максимума, сопоставляется клеточное разбиение двумерной ? сферы P = S 2 с ровно двумя клетками: нульмерной и двумерной. Минимаксному атому, отвечающему точке локального минимума, сопоставляется пустое ? клеточное разбиение пустой поверхности P = . ? Обратная операция построение седлового атома (P , K )# по абстрактному многограннику (т.е. по клеточному разбиению замкнутой поверхности) называется операцией усечение, см. 1.4 и рис. 1. При построенном соответствии между (ориентированными) атомами и клеточными разбиениями связных (ориентированных) (возможно, пустых) поверхностей, вершины седлового атома находятся во взаимно-однозначном соответствии с ребрами соответствующего клеточного разбиения, а белые (соотв. ч?рные) кольца седлового атома находятся во взаимно-однозначном соответствии с гранями (соотв. вершинами) клеточного разбиения. Ниже под графом мы понимаем абстрактный граф, в котором могут быть петли и кратные ребра. также как ориентированный f -граф. Иногда его называют также ориентированной хордовой диаграммой. Определение следующее. (А) Конечный связный граф , некоторые ребра которого ориентированы, называется ориентированным f -графом, если все его вершины имеют степень 3, прич?м к каждой его вершине примыкает ровно два ориентированных полуребра, из которых одно входит в вершину, а другое выходит из него. Отметим, что эта вершина может быть началом и концом одного и того же ориентированного ребра, если оно является петлей. (Б) Пусть (P, K )# седловой ориентированный атом, см. Определение 1.3. Около каждой вершины графа K проходит ровно два отрезка белых граничных окружностей. Соединим эту вершину двумя простыми дугами с этими отрезками, см. рис. 2. Граф, получающийся объединением ориентированных белых граничных окружностей поверхности P с указанными дугами, называется ориентированным f -графом (построенным по белым клеткам) данного ориентированного седлового атома. При этом ориентация белых граничных окружностей индуцирована ориентацией поверхности P (с помощью внешней нормали к е? границе). лового критического уровня функции Морса (см. Определение 1.2), то его ориентированный f -граф является объединением граничных окружностей, на которых значение функции превышает критическое значение, с отрезками сепаратрис векторного поля grad f , идущими из критических точек до верхнего края поверхности. 4

Рис. 1

Определение 1.6. Седловой ориентированный атом может быть определен

Рис. 2

Замечание 1.7. Если седловой атом интерпретировать как окрестность сед-


Замечание 1.8. Допуская некоторую вольность изложения, иногда вместо вы-

ражения класс изоморфности атомов будем говорить просто атом, а вместо выражения класс изоморфности ориентированных атомов будем иногда говорить просто ориентированный атом (или атом для краткости). В каждом параграфе терминология будет фиксирована и уточнена в его начале. Например, в формулировках утверждений в 69 под ориентированным атомом пони? ? мается класс изоморфности пар (P , K )# , а в доказательствах пара (P , K )# .

1.2 Максимально симметричные атомы
Ниже (Определение 2.6) определяется группа симметрий Aut(X ) ориентиро? ванного седлового атома X = (P , K )# , см. Определение 1.4.А, а также вводится понятие максимально симметричного ориентированного седлового атома. На языке карт (см. Определение 1.5) такие атомы это правильные конечные карты [K50, с.419], [B27, с.269] (см. также [KM, 8.1]). Дадим ещ? две эквивалентные формулировки этого определения.

Определение 1.9. Максимально симметричный ориентированный седловой атом может быть также определ?н как регулярное разветвл?нное накрытие ? ? : P S 2 (см. Определение 3.1) некоторой замкнутой поверхности P над 2 двумерной сферой с тремя точками ветвления y0 , y1 , y2 S , так что порядок ветвления в любой точке x -1 (y1 ) равен 2. Будем считать, что S 2 = C пополненная комплексная плоскость, y0 = -1, y1 = 0, y2 = 1 C . Два таких ? ? разветвл?нных накрытия 1 : P1 S 2 и 2 : P2 S 2 считаются эквивалент?1 P2 , такой что 1 = 2 h. ? ными, если имеется гомеоморфизм h : P
? По регулярному разветвл?нному накрытию : P S 2 из 1.9 однозначно по? строим максимально симметричный седловой ориентированный атом (P , K )# следующим образом. Рассмотрим на сфере мнимую окружность iR C = S 2 и покрасим полусферу {Re z > 0} S 2 \ iR в белый цвет, а полусферу {Re z < 0} S 2 \ iR в ч?рный цвет. Пусть K = -1 (iR ). Тогда оснащ?нная пара ? (P , K )# с раскраской и ориентацией, индуцированными при отображении из раскраски и ориентации пары (S 2 , iR ), является седловым ориентированным атомом (в смысле Определения 1.4.А), который мы и сопоставим разветвл?нному накрытию . Это да?т взаимно-однозначное соответствие между классами эквивалентности регулярных разветвл?нных накрытий из 1.9 и классами изоморфности максимально симметричных ориентированных седловых атомов.

Определение 1.10. Максимально симметричный ориентированный седловой

атом может быть эквивалентным образом определ?н как тройка (G, a, b), где G конечная группа, a, b G е? образующие, прич?м b2 = 1 = b. Отметим, что задание такой тройки равносильно заданию такого копредставления конечной группы G с двумя образующими, в котором вторая образующая нетривиальна и имеет порядок 2 (т.е. заданию такого эпиморфизма ч : Z Z2 G, что ч(Z2 ) = {1}). Две такие тройки (G1 , a1 , b1 ) и (G2 , a2 , b2 ) считаются эквивалентными, если имеется изоморфизм j : G1 G2 , такой что j (a1 ) = a2 , j (b1 ) = b2 . Опишем тройку (G, a, b), отвечающую максимально симметричному седло? вому ориентированному атому X = (P , K )# . Положим G = Aut(X ), a = ae , b = bA , см. Определение 2.6 и Утверждение 2.8. Как известно, это сопоставление определяет взаимно-однозначное соответствие между классами изоморфности максимально симметричных ориентированных седловых атомов и классами эквивалентности копредставлений конечных групп с двумя образующими, где вторая образующая имеет порядок 2 (см. на эту тему [B27], [KM], [MS] и [S2006]). 5


Известно, что задание тройки (G, a, b) эквивалентно заданию графа Кэли [C1878a], [C1878b], [KM, 3.3] группы G с образующими a, b. Отметим, что граф Кэли совпадает с f -графом (см. Определение 1.6) ориентированного атома, отвечающего тройке (G, a, b). Следующая классификация максимально симметричных ориентированных атомов рода g 2 была получена (в эквивалентной переформулировке в терминах карт и копредставлений групп) в работах Коксетера [KM], [K48], [K50] и Трельфалля [T32].

Теорема 1.11 (см. Теоремы 1.13, 1.14, 1.17). Максимально симметричные ориентированные атомы рода g 2 классифицируются так. При g = 0 существуют две бесконечные серии Cn , Dn , n 1, где n сложность атома, и пять особых случаев P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , отвечающих платоновым телам, см. Теорему 1.13. При g = 1 имеются три бесконечные серии T(s,t) , T(s,t) , T(s,t) , s > 0, t 0, описанные в Теореме 1.14 (торические ориентированные атомы квадратного, треугольного и шестиугольного типов, соответственно). При g = 2 имеется ровно 10 классов изоморфности максимально симметричных ориентированных атомов, перечисленные в Теореме 1.17.
В теории автоморфных функций были обнаружены следующие два атома рода 3. Отвечающие им правильные карты состоят из 24 семиугольников (карта Клейна [K1879, с.461-560]) и из 12 восьмиугольников (карта Дика [D1880, с.188 и 510]), соответственно. Эти и другие примеры максимально симметричных атомов можно получить из списков известных правильных конечных карт, см., например, [KM, табл. 8]. Классификация правильных карт на ориентированной поверхности рода 3 получена в работе [Sh59], на поверхности рода 4 в работе [G69], на поверхностях рода 5 и 6 в работе [BG89], на поверхности рода 7 в статье [G78]. Классификация правильных карт на ориентированных поверхностях рода, не превышающего 15, представлена в статье [CD2001]. Настоящая работа мотивирована следующими проблемами, поставленными А.В.Болсиновым и А.Т.Фоменко в работе Некоторые актуальные нерешенные задачи по топологии интегрируемых гамильтоновых систем [BF1, задачи 7 и 23]: Как устроены максимально симметричные 2-атомы, группа симметрий которых является простой, т.е. не содержит нетривиальных нормальных делителей? Такие атомы интересны тем, что их уже нельзя профакторизовать (свернуть) до меньшего максимально симметричного атома. Задача 23, сформулированная А.В.Болсиновым и А.Т.Фоменко, звучит так: Построить теорию лиувиллевых накрытий интегрируемых гамильтоновых систем. Мы скажем, что одно лиувиллево слоение накрывает другое лиувиллево слоение, если соответствующее непрерывное отображение f : Q3 Q3 (здесь Q3 и Q3 означают 1 2 1 2 тр?хмерные изоэнергетические многообразия интегрируемых систем с двумя степенями свободы) переводит слои Лиувилля в слои Лиувилля и является обычным накрытием над дополнением к особым слоям слоения Лиувилля. Не исключено, что на этом пути удастся обнаружить интересные примеры, когда одна известная интегрируемая система лиувиллево накрывает другую известную интегрируемую систему. Выяснить: что такое универсальная накрывающая интегрируемая система с двумя степенями свободы (для определ?нного класса, например, для систем с данным числом особых слоев)? Сколько существует таких универсальных накрывающих интегрируемых систем? Остальные должны получаться из них факторизацией. Ясно, что классифицировать имеет смысл в первую очередь универсальные накрывающие системы. Вариантом этих двух проблем является следующие две задачи: 1) описать неприводимые максимально симметричные атомы, см. Определение 3.5 6


и Следствие 3.6, т.е. не являющиеся накрытиями никаких других (им не изоморфных) максимально симметричных атомов (а потому все остальные максимально симметричные атомы являются их накрытиями); 2) для любых (или хотя бы для неприводимых) максимально симметричных атомов описать все накрывающие их максимально симметричные атомы (или хотя бы достаточно широкий класс таких накрывающих атомов). В первой части работы (2,3) мы уточним, какие именно накрытия здесь имеются в виду, и привед?м их свойства (Утверждения 2.4, 2.5, 2.8, 3.3 и Следствие 3.4). Во второй части настоящей работы (48) частично решаются две упомянутые выше задачи. Более точно, определяются и изучаются отображения типа примитивизации (56) это такие накрытия между максимально симметричными ориентированными атомами (в смысле Определения 1.3), при которых прообраз любой белой граничной окружности связен. В терминах правильных карт такие накрытия называются вполне разветвл?нными [W78]. На самом деле, вместо неприводимых атомов мы вводим и изучаем более широкий класс атомов, названных нами примитивными атомами. Примитивные атомы отличаются от неприводимых атомов следующим: все максимально симметричные атомы являются накрытиями примитивных атомов при помощи отображений типа примитивизации. Первая задача описание примитивных максимально симметричных ориентированных атомов (в смысле Определения 1.4.А) решается нами, например, в следующих частных случаях: 1) такие атомы отобраны из известных серий, см. 1.4, включающих сферические (т.е. рода 0) и торические (т.е. рода 1) атомы, см. пример 5.2; 2) найдены все примитивные максимально симметричные ориентированные атомы с не более чем шестью белыми клетками, см. Теорему 7.11; 3) найдены достаточные условия несуществования таких атомов с данным числом S белых клеток и данным числом d сторон любой белой клетки, а также перечислены такие атомы при d S - 2, см. Теоремы 7.1, 7.4, 1.18. Вторая задача описание отображений типа примитивизации над данным (не обязательно примитивным) максимально симметричным ориентированным атомом решается нами в Теореме 4.15 и Следствиях 5.7, 6.1, 6.2, прич?м в Теореме 4.15 классифицируются накрытия более общего вида. Эти результаты применены к бесконечным сериям атомов 1.4 и к атомам из Теоремы 7.11, см. Следствия 6.46.6, примеры 6.3, 6.7, 6.8 и Утверждения 7.5, 8.18.6. В [W78] дан алгоритм для получения аналогичной классификации вполне разветвл?нных накрытий (т.е. отображений типа примитивизации) над данной правильной картой. Аналог этого алгоритма в терминах копредставлений групп использовался в [G69], [BG89], [G78] для классификации правильных карт рода 47. Однако, в отличие от нашей работы, эти алгоритмы применимы лишь к отдельным атомам, а не к бесконечным семействам атомов. В третьей части работы (89) перечисляются все максимально симметричные ориентированные атомы следующих типов: атомы сложности n 30 (9), атомы, имеющие не более 6 белых колец (8), атомы сложности p или 2p, где p простое число (9). Отметим, что описание (в терминах правильных карт и копредставлений групп) максимально симметричных ориентированных атомов с двумя белыми кольцами имеется в работе Браханы [B27, с.280], а с числом белых колец, не превышающем 5, в работе Гарбе [G69]. В частности, в настоящей работе доказаны следующие теоремы.

7


Теорема А (см. Теорему 4.15). Пусть Y максимально симметричный ориентированный атом и H конечная абелева группа. Тогда симметричные разветвл?нные накрытия f : X Y с группой монодромии H (см. Определение 4.10) классифицируются наборами

(l, m, q , r, c1 , . . . , c2g ),

l, m Aut(H ),

q , r, c1 , . . . , c

2g

H,

удовлетворяющими условиям 46 в Теореме 4.15 ниже, где g род атома Y , и наборы рассматриваются с точностью до преобразований (l, m, q , r, c1 , . . . , c2g ) (l-1 , m-1 , (q ), (r), (c1 ), . . . , (c2g )), Aut(H ).

Теорема Б (см. Теорему 9.2). Пусть n простое число или n {1, 4, 2p}, где
p простое число, p 3 (mod 4) и p = 3. Тогда An , Bn , Cn , Dn пывают собой список всех классов изоморфности максимально ориентированных атомов сложности n (т.е. любой максимально ориентированный атом сложности n принадлежит одному из классов изоморфности ориентированных атомов).
(см. 1.4) исчерсимметричных симметричный перечисленных

1.3 Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы
Атомы в том виде, как было сформулировано в Определении 1.2 выше, впервые возникли в теории интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Понятие атома было введено А.Т.Фоменко [F1], [F2], [F3], [F4]. Затем атомы и связанные с ними проблемы активно изучались в работах А.Т.Фоменко и Х.Цишанга [FZ], [FZ1], А.Т.Фоменко и А.В.Болсинова [BF], [BF1], [BFR], А.Т.Фоменко и А.В.Браилова [BrF], а также в работах А.А.Ошемкова [O], [O1], [O2], [O3], [O4], Е.А.Кудрявцевой [Ku], [Ku2], А.В.Браилова [B], Ю.А.Браилова и Е.А.Кудрявцевой [BK], Н.В.Коровиной [Ko]. Интегрируемая система с двумя степенями свободы определяет в невырожденном (боттовском) случае так называемое слоение Лиувилля 4-мерного симплектического многообразия M 4 , а также каждой тр?хмерной изоэнергетической поверхности Q3 = {H = h = h const}, где H функция Гамильтона соответствующей гамильтоновой системы. Двумерными слоями общего положения являются торы Лиувилля, а особыми слоями двумерные и одномерные комплексы, соответствующие перестройкам торов Лиувилля. Тр?хмерная окрестность U в Q3 особого слоя слоения Лиh увилля вместе со слоением Лиувилля на U называется тр?хмерным атомом. Оказывается, на U определено естественное расслоение Зейферта, слои которого являются окружностями, лежащими в слоях Лиувилля. В общем случае у этого расслоения Зейферта есть особые слои, т.е. оно не является локально тривиальным. Базой этого расслоения Зейферта на U является двумерная поверхность P с краем, расслоенная на одномерные окружности и особые одномерные графы. Окружности являются проекциями торов слоения Лиувилля на базу P , а особые графы проекциями особых слоев слоения Лиувилля. Эта поверхность P является (двумерным) атомом в смысле Определения 1.2. Таким образом, сформулированная выше проблема классификации симметрий (двумерных) атомов напрямую связана с описанием симметрий интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Естественно, аналогичные задачи стоят и для гамильтоновых систем с многими степенями свободы.

8


1.4 Некоторые важные серии максимально симметричных ориентированных атомов
Напомним, что для каждого натурального n существуют следующие 4 класса изоморфности максимально симметричных ориентированных атомов сложности n, которые обозначим An , Bn , Cn , Dn , см. рис. 3,4. Ориентированные хордовые диаграммы ориентированных атомов этих классов показаны на рис. 5. выражения ориентированный атом класса изоморфности An говорят ориентированный атом An или просто атом An , и аналогично для классов изоморфности Bn , Cn , Dn , см. Замечание 1.8.

Рис.3,4,5

Замечание 1.12. Допуская некоторую вольность изложения, иногда вместо

Названные выше серии ориентированных атомов были обнаружены в теории гамильтоновых систем А.В. Болсиновым и А.Т. Фоменко [BF] (серии Cn , Dn ), Ю.А. Браиловым и Е.А. Кудрявцевой [BK] (серии An , Bn ). В терминах правильных карт эти атомы описаны также в [B27], [KM]. Ориентированные атомы классов Cn и Dn имеют род 0, группу симметрий

Aut(Cn ) = Aut(Dn ) = Zn

Z2 ,

изоморфную группе симметрий правильного n-угольника, Dn = Cn , прич?м Cn состоит из 2 белых n-угольных клеток и n ч?рных двуугольных клеток. Любой ориентированный атом класса An имеет род g = [ n ], циклическую 2 группу симметрий Aut(An ) = Z2n ,

и состоит из одной белой 2n-угольной клетки и из одной либо двух ч?рных клеток (2n-угольника при ч?тном n, или двух n-угольников при неч?тном n). Любой ориентированный атом класса Bn имеет род g = [ n-1 ], абелеву группу 2 симметрий Aut(Bn ) = Zn Z2 , и состоит из двух белых n-угольных клеток и из одной либо двух ч?рных клеток (2n-угольника при неч?тном n, или двух n-угольников при ч?тном n). Отметим, что имеются следующие совпадения классов изоморфности ориентированных атомов:

A1 = D1 ,

B 1 = C1 ,

B2 = C2 = D2 ,

а остальные классы An , Bn , Cn , Dn попарно различны. Кроме того, имеется 6 классов изоморфности максимально симметричных ориентированных атомов Pi , 1 i 6, см. рис. 6 и 7, отвечающих пяти классическим правильным многогранникам (платоновым телам) и правильному псевдо-многограннику (кеплерову псевдо-додекаэдру [K1619]), где ориентированные атомы получаются из этих многогранников операциями усечение, см. рис. 1. Эти ориентированные атомы имеют группы симметрий

Рис.6,7

Aut(P1 ) = A4 , Aut(P2 ) = Aut(P3 ) = 4 , Aut(P4 ) = Aut(P5 ) = Aut(P6 ) = A5 .
Первые пять атомов имеют род 0, а шестой род 4. Сложность ni атома класса Pi равна числу р?бер соответствующего многогранника, 1 i 6, т.е. n1 = 6, n2 = n3 = 12, n4 = n5 = n6 = 30 для классов изоморфности ориентированных атомов, отвечающих тетраэдру, кубу и октаэдру, а также додекаэдру, икосаэдру и псевдо-додекаэдру, соответственно. Число Si белых клеток (число Si ч?рных клеток) атома Pi равно числу граней (вершин) соответствующего правильного многогранника (т.е. S1 = S1 = 4, S2 = S3 = 6, S3 = S2 = 8, 9


S4 = S5 = S6 = S6 = 12, S5 = S4 = 20). Ориентированные атомы классов Pi и Pi+1 двойственны друг другу, i = 2, 4, а атомы классов P1 и P6 двойственны сами себе, см. Определение 1.4.Б. Ориентированные хордовые диаграммы этих ориентированных атомов показаны на рис. 8 и 9.

Рис.8,9

мально симметричных конечными сериями Cn , ми случаями P1 , P2 , P3 , При этом C2 = D2 , а различны.

Теорема 1.13 ([KM], 5.1 и 8.1). Классы изоморфности сферических макси-

ориентированных атомов исчерпываются двумя бесDn , n 1, где n сложность атома, и пятью особыP4 , P5 , отвечающими платоновым телам, см. выше. остальные указанные классы изоморфности попарно

Опишем три бесконечных серии T(s,t) , T(s,t) , T(s,t) , s > 0, t 0, классов изоморфности торических максимально симметричных ориентированных атомов. Белые клетки атомов первой серии (соответственно второй и третьей серий) являются квадратами (соответственно треугольниками и шестиугольниками). Отметим, что ч?рные клетки атомов первой серии (соответственно второй и третьей серий) являются квадратами (соответственно шестиугольниками и треугольниками). Эти серии будем называть сериями квадратного, треугольного и шестиугольного типов, соответственно. Опишем серию T(s,t) классов изоморфности торических ориентированных атомов квадратного типа. Эта серия параметризована парой целых чисел s, t, таких что s > 0, t 0. При этом s2 + t2 = S , где S количество белых клеток атома. Рассмотрим на ориентированной евклидовой плоскости стандартную целочисленную реш?тку. Рассмотрим разбиение плоскости на квадраты со стороной 1/ 2, которые раскрасим в шахматном порядке в белый и ч?рный цвета так, что центры белых квадратов (клеток) находятся в узлах целочисленной реш?тки, см. рис. 10. Рассмотрим факторпространство плоскости по подреш?тке, порожд?нной парой целочисленных векторов (s, t) и (-t,