Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/skopenkov/lie.pdf Дата изменения: Sat Apr 4 12:55:56 2009 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:20:20 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ В ИНТЕРЕСНЫХ ЗАДАЧАХ (классификация компактных групп Ли) 1 Р. Пальвелев и А. Скопенков
В этом тексте приводится набросок доказательства красивой, важной и нетривиальной теоремы о классификации компактных подгрупп группы невырожденных линейных прео бразований евклидова пространства (точнее, компактных групп Ли). (То, что во многих уче бниках не приводится ее явной формулировки, ясной неспециалисту, делает эту теорему менее доступной, а курс групп и алге бр Ли менее мотивированным.) На примере изучения этого доказательства читатель (точнее, решатель) освоит основы теории групп и алге бр Ли, имеющие много других применений. Осо бенность этого текста | возможность познакомиться с мотивировками и идеями теории групп и алге бр Ли при сведении к нео бходимому минимуму ее языка. Для этого в качестве формальной цели поставлен указанный красивый результат, а не набор понятий. Мы постарались изложить доказательство так, что бы в каждый момент было ясно, в чем цель | в частности, зачем вводится то или иное понятие. См. подро бнее 'философскометодическое отступление' в [ZPSSS] и 'зачем' в [Sk08]. Этот набросок может содержать опечатки. Пожалуйста, направляйте замечания по skopenko@mccme.ru. Благодарим М. Берштейна и А. Жеглова за полезные о бсуждения. Материал преподносится в виде задач для самостоятельного размышления и о бсуждения с преподавателем (это характерно не только для дзенских монастырей, но и для элитного математического о бучения | по крайней мере, российского). Для понимания условий и для решения большинства задач достаточно знания материала I курса мехмата МГУ и знакомства с настоящим текстом (точнее, его части, предшествующей формулировке задачи). Если используемые в условии термины не определены в этом тексте и вам незнакомы, то соответствующую задачу следует просто игнорировать. Отметим, что для решения задач достаточно понимания их формулировок и не требуется никаких дополнительных понятий и теорий (кроме, быть может, задач со звездочками). Иногда соседние задачи являются подсказками. Если условие задачи является формулировкой утверждения, то это утверждение и надо доказать. Заданные в условиях функции предполагаются бесконечно дифференцируемыми, если не оговорено противное. Приводимые задачи являются примерами интересных и полезных фактов, и читателю будет полезно ознакомиться с самими фактами, даже если он не сможет их самостоятельно доказать. Например, в некоторых задачах изложен план доказательства теорем, который полезно понимать, даже если детали этого плана останутся недоступными. Поэтому приводимые формулировки задач могут быть путеводителем по другим уче бникам, позволяя намечать интересные конечные цели и отбрасывать материал, не являющийся для этих целей нео бходимым. Впрочем, полезнее всего было бы о бсуждать со специалистом как ваши решения задач, так и возникающие при решении трудности.

Введение.

О задачах.

Оглавление.
1

§1. Группы Ли. Изоморфизм Ли. §1A. Топологические свойства групп

Ли.

http://dfgm.math.msu.su/ les/skopenkov/lie.pdf. Обновлено 31.03.09

1


§2. Формулировка основной теоремы. §3. План доказательства основной теоремы. §4. Сведение к случаю односвязных групп Ли. §6A. Теорема Нетер. §6. Сведение к классификации алге бр Ли. §7. Доказательство теоремы о разложении алге бры Ли. §8. Доказательство леммы о простоте комплексификации. §9. Доказательство единственности в теореме комплексификации. §10. Корневое разложение. §11. Доказательство теоремы о классификации простых комплексных

алге бр Ли.

[Ad] J. F. Adams, Lectures on Lie groups, W. A. Benjamin Inc., New York, Amsterdam. 1969. Рус. перевод. Дж. Адамс, Лекции по группам Ли, М. Наука, 1979. [DNF] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Ч. I. М.: Наука. 1979. [Fo] А. Т. Фоменко, Дифференциальная геометрия и топология: дополнительные главы. РХД: Ижевск, 1999. [GG] М. Гото и Ф. Д. Гроссханс, Полупростые алге бры Ли. [Pr] В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, М.: МЦНМО, 2004. См. http://www.mccme.ru/prasolov/. [Pr'] В. В. Прасолов. Элементы теории гомологий. М.: МЦНМО, 2006. См. http://www.mccme.ru/prasolov/. [Sk] А. Б. Скопенков, Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах, М.: МЦНМО, 2008. http://arxiv.org/abs/0801.1568 [Sk'] A. Skopenkov, A characterization of submanifolds by a homogeneity condition, Topol. Appl., 154 (2007) 1894-1897. http://arxiv.org/abs/0606470. [Tr] В. В. Трофимов, Ведение в теорию многоо бразий с симметриями. М: МГУ. [VO] В. Э. Винберг и А. Л. Онищик, Семинар по группам Ли и алге браическим группам. [ZPSSS] Математика в задачах. Сборник материалов московских выездных математических школ. Под редакцией А. Заславского, Д. Пермякова, А. Скопенкова, М. Скопенкова и А. Шаповалова. М.: МЦНМО, 2009. www.mccme.ru/circles/oim/mat.htm Понятие группы Ли мотивировано, в частности, теоремой Нетер: группе Ли, сохраняющей систему, соответствуют законы сохранения этой системы (см. формулировку в §6A). Матричной группой Ли называется замкнутая подгруппа группы GLn (R) или GLn (C) или GLn (H) (о кватернионах см., например, [DNF, I.2.14.3]). Примеры (см. определения в [DNF, I.2.14]):
GLn (R; C; H); S Ln (R; C; H); On ; S On ; O
k;n-k

Литература.

§1.

Группы Ли. Изоморфизм Ли.

;

Un ;

S Un ;

S pn :

Для подмножества G Rk ото бражение f : G Rm называется гладким (точнее, дифференцируемым по Уитни), если для любой точки g0 G существуют такие линейный оператор A : Rk Rm и бесконечно малая функция : Rk R, что для любой точки z G выполнено f (z ) = f (z0 ) + A(z - z0 ) + (z - z0 )|z ; z0 |: Функция : Rk R называется бесконечно малой, если для любого числа > 0 существует такое число > 0, что для любой точки x Rk если |x| < , то | (x)| < . 2

1.* Найдите все замкнутые одномерные подгруппы в S L2 (R).


Для подмножеств G Rk и H Rm ото бражение f : G H называется диффеоморфизмом, если оно гладкое, о братимое и обратное ото бражение гладкое. Изоморфизм (Ли) групп Ли | их биективный гомоморфизм, являющийся также диффеоморфизмом. Знак изоморфизма | . = Поскольку на
Rm

; S 1 = { z C : |z | = 1 } и S 3 = { z H : |z | = 1 }

имеется структура группы (для S 1 и S 3 | унаследованная из C и H), то аналогично можно определить изоморфизм между матричной группой Ли и Rn , S 1 , S 3 , S 1 в S 1 , (S 1 )n в Rm , S 3 в S O3 и т.д. 2. (a) S O2 U1 S 1 . (b) S U2 S p1 S 3 . == = = S U2 ={±1} S 3 ={±1}. (d) S O4 S 3 в S 3 ={±(1; 1)}. (c) S O3 = = = (Придумайте сами, как придать смысл последним двум утверждениям.) (e) S O4 диффеоморфно S 3 в S O3 . (f )* Не существует изоморфизма Ли между S O4 и S 3 в S O3 . (d) Приведите пример матричных групп Ли, которые изоморфны как группы, но не диффеоморфны. 3. (a) Теорема. Связная коммутативная матричная группа Ли изоморфна (S 1 )n в Rm для некоторых m; n. (b) Классифицируйте (с точностью до изоморфизма Ли) матричные группы Ли размерности 1. (c)* Классифицируйте компактные матричные группы Ли размерности 2. (d)* То же для некомпактных. Читатель, не знакомый с понятиями гладких многоо бразий и их диффеоморфизмов [DNF], может опустить остаток этого параграфа, а далее всюду (кроме осо бо оговоренных случаев) считать, что под группой Ли подразумевается матричная группа Ли. Группой Ли называется конечномерное гладкое многоо бразие с групповой структурой, задаваемой гладкими ото бражениями (умножения · : G в G G, (a; b) ab и взятия о братного -1 : G G, a a-1 ). Изоморфизм Ли групп Ли определяется так же, как для матричных групп Ли (см. выше). Даже если наша цель | классификация матричных групп Ли, удо бно сначала классифицировать группы Ли и отдельно выяснять, какие из них изоморфны матричным. 4. (a) Теорема Картана. Замкнутая подгруппа группы Ли является подмногообразием. (b) Матричная группа Ли является группой Ли. (c) Существует подгруппа группы Ли, являющаяся гладким многоо бразием (в индуцированной топологии), но не являющаяся подмногоо бразием. (Подгруппой Ли называется подгруппа, являющаяся подмногоо бразием.) (d) Если группа задается в Rn (или в Cn ) системой полиномиальных уравнений, причем произведение и взятие о братного элемента задаются полиномами, то это группа Ли. Произведение задается полиномами, если (x1 ; : : : ; xn ) · (y1 ; : : : ; yn ) = (f1 ; : : : ; fn ) для некоторых полиномов f1 ; : : : ; fn R[x1 ; : : : ; xn ; y1 ; : : : ; yn ].

Указания к 2. (с) Для кватерниона q S 3 определим fq : {ai + bj + ck} {ai + bj + ck} формулой fq (x) = qxq-1 . (d) Для кватернионов p; q S 3 определим fp;q : H H формулой fp;q (x) = pxq-1 . Возьмем соответствующее ото бражение F : S 3 в S 3 S O4 . Тогда ker F = {±(1; 1)}. Поскольку dF |e
3


невырожден, то о браз ото бражения F содержит некоторую окрестность единицы. Значит, ото бражение F сюръективно. (e) Автодиффеоморфизм g(x; y) = (xy-1 ; y) произведения S 3 в S 3 переводит (-1; -1) в (1; -1). (f ) [VO-4.4.1, theorem 1]. (g) R и R2 . Указания к 3. (a) [Pr', 24.1]. (b) Ответ: S 1 , R. (c) Ответ: S 1 в S 1 . Указания к 4. (a) Доказательство см. в [Pr', 24.2] или [Sk']. (b) Вытекает из теоремы Картана. (c) Иррациональная о бмотка тора S 1 в S 1 . (d) Алгебраическим многообразием (вложенным аффинным вещественным) называется подмножество M Rn , выделяемое конечной системой полиномиальных уравнений fi (x1 : : : ; xn ) = @ (f1 ; : : : ; fs ) 0, i = 1; : : : ; s. Положим J (P ) := | . Точка P алге браического многоо бразия @ ( x1 ; : : : ; x n ) P M над C называется простой, если rk J (P ) максимален (среди всех P M ). Точка P алгебраического многоо бразия M над R называется простой, если она является простой точкой его комплексификации M (C). Тогда простые точки всегда существуют. Значит, теорема вытекает из того, что при полиномиальном изоморфизме алгебраического многообразия (дайте определение!) простые точки переходят в простые (докажите для s = 2!), и множество простых точек алгебраического многообразия является гладким многообразием (тоже докажите!). Используйте теорему Гильберта о базисе: из бесконечной системы полиномиальных уравнений можно выбрать конечную подсистему с тем же множеством нулей. Этот параграф не используется в дальнейшем, а сам использует только определение (матричной) группы Ли. Какие подмножества (или подмногообразия) евклидовых пространств гомеоморфны (или диффеоморфны) некоторой группе Ли? Эта про блема интересна как сама по се бе, так и в связи с про блемой классификации групп Ли. Интересно, что для некоторых случаев эту про блему проще решать именно классифицировав некоторые группы Ли. 1. Может ли группа Ли быть гомеоморфна (a) S 1 ; (b) (S 1 )n ; (c) R; (d) Q; (e) [0; 1]; (f ) канторову множеству? 2. (a) На канторовом множестве существует структура группы, для которой групповые операции непрерывны. (b) Существует компактная топологическая группа, не являющаяся группой Ли. 3. Может ли группа Ли быть диффеоморфна (a) бутылке Клейна? (b) S 2 ? (c) S 3 ? (d) RP 3 ? (e)* Открытому диску с двумя выколотыми точками? (f )* S 1 в S 2 . 4. Каким компактным двумерным многообразиям может быть диффеоморфна группа Ли? 5. Однородные пространства. Пусть группа Ли G транзитивно действует (слева) на гладком многоо бразии M и Hx | стабилизатор точки x M . (Нео бходимые определения прочитайте в [DNF, II-5].) (a) Hx Hy . = 4
§1A.

Топологические свойства групп Ли.


(b)* Введите в множестве G=Hx (левых) смежных классов структуру метрического пространства (или гладкого многоо бразия) и докажите, что G=Hx гомеоморфно (или диффеоморфно) M .

Указания к 1. (a,b,c) Да. (d,e,f ) Нет. (d) Докажите, что группа Ли локально-компактна. (e) Докажите, что группа Ли однородна. (f ) Используйте доказательство теоремы Картана. Указания к 2. (a) Группа Ap p-адических чисел. Указания к 3. (a,b,e,f ) Нет. (a) Докажите, что группа Ли ориентируема. (b) Докажите, что на группе Ли существует ненулевое касательное векторное поле. (c,d) Да. (e) Докажите, что 1 (G) абелева. (f ) Докажите, что 2 (G) = 0. Указание к 4. Ответ: только тору. Доказательство аналогично 3ab.
Что бы сформулировать основную теорему, нам понадо бятся следующие определения. Центр группы | это множество элементов группы, коммутирующих со всеми элементами группы. 1. (a) Центр группы является ее подгруппой. (b) Найдите центры групп Ли, упомянутых в начале §1. Мы приведем две формулировки основной теоремы. Первая | более слабая, для матричных групп Ли. Она использует понятия гомотопии и односвязности, но не использует о бщего понятия группы Ли (и тем самым понятия гладкого многоо бразия). Читатель, не знакомый с понятием гладкого многоо бразия, может изучить доказательство слабой версии: для этого надо пропустить §4 и всюду считать, что рассматриваемые группы Ли матричные. На этом уже видны важнейшие идеи. Вторая формулировка | более сильная, использующая понятие факторгруппы (по дискретной подгруппе), что принуждает нас работать с о бщими группами Ли (а не матричными группами Ли или подмногоо бразиями в Rm ). Вторая формулировка не использует понятий гомотопии и односвязности (которые, впрочем, все равно появятся при ее доказательстве). Два непрерывных ото бражения f0 ; f1 : X Y между метрическими пространствами называются гомотопными (о бозначение: f0 f1 ), если существует семейство ft : X Y непрерывных ото бражений, непрерывно зависящее от параметра t [0; 1]. (Последнее эквивалентно существованию такого непрерывного ото бражения F : X в [0; 1] Y , что F (x; 0) = f0 (x) и F (x; 1) = f1 (x).) Пространство называется односвязным, если любые два пути с о бщими концами гомотопны неподвижно на этих концах. 2. Следующие пространства односвязны. (a) Rn . (b) S n при n 2. (c) X в Y , где X и Y односвязны.
§2.

Формулировка основной теоремы

Любая односвязная компактная матричная группа Ли разлагается единственным образом (с точностью до порядка сомножителей) в прямое произведение следующих (простых, попарно неизоморфных):
S Un ; n 2; S pinn ; n 7; S pn ; n 2; G2 ; F4 ; En ; n = 6; 7; 8:

Теорема классификации компактных групп Ли (для односвязных групп Ли).

5


Построение (т.е. матричное представление) групп S pinn ; G2 ; F4 и En см. в [Fo, VO]. 3. Каким группам из этого списка изоморфна (a) S 3 ? (b) S p1 ? (c) S pinn , n 6? 4. (a) Пусть H | дискретная (т.е. с дискретной топологией) нормальная подгруппа группы Ли. Введите в множестве G=H смежных классов структуру группы Ли. (b) Любая дискретная нормальная подгруппа связной группы Ли содержится в ее центре. Теорема классификации компактных групп Ли. Любая компактная группа Ли G изоморфна ((S 1 )n в G)=H , где · G | прямое произведение некоторого количества групп из следующего списка:
S Un ; n 2; S pinn ; n 7; S pn ; n 2; G2 ; F4 ; En ; n = 6; 7; 8; G определяется по G однозначно с точностью до изоморфизма; произведения группы Ли из списка изоморфны тогда и только тогда, когда отличаются порядком сомножителей (в частности, группы Ли из списка попарно не изоморфны); · H | дискретная подгруппа центра группы (S 1 )n в G, единственная с точностью до автоморфизма этой группы. Группа Ли S pinn определяется как односвязная накрывающая группы S On (см. определение, а также теорему существования и единственности в §4), см. матричное представление в [VO]. Построение групп G2 ; F4 и En см. в [Fo, VO]. 5.* На каких замкнутых 3-многоо бразиях существует структура группы Ли?

Указание к 4b. Пусть : [0; 1] G | путь с началом в eG и p : G G=H | факторпроекция. Тогда для x H имеем p( (t)x -1 (t)) = eG=H , поэтому (t)x -1 (t) = x.

Пусть G1 , G2 | группы Ли. Ото бражение f : G1 G2 называется гомоморфизмом (Ли), если f | гомоморфизм групп и гладкое ото бражение. Изоморфизм группы Ли на се бя называется автоморфизмом (Ли). Теорема о накрытиях. Для любой связной группы Ли G существуют односвязная группа Ли G и дискретная подгруппа C = CG G центра группы G, для которых G G=C . = При этом G единственна с точностью до изоморфизма групп Ли, а C единственна с точностью до автоморфизма группы G. Схема доказательства приведена в §4. Группа G называется односвязной накрывающей группы G. Теорема о накрытиях 'сводит' классификацию связных групп Ли к классификации односвязных групп Ли. Замечание. C 1 (G): Определение и спосо бы вычисления фундаментальной группы = 1 (G) см., например, в [Pr, Sk]. Заметим, что если G компактна и некоммутативна, то CG конечна. 0. Выведите основную теорему из ее односвязного случая и теоремы о накрытиях (а также классификации накрытий и вычисления фундаментальных групп [Pr]).

План доказательства основной теоремы I. Сведение к случаю односвязных групп Ли.

§3.

II. Сведение к классификации алге бр Ли. Алге брой Ли матричной группы Ли G называется множество

L(G) := {a (0) | a(t) гладкая кривая в G; a(0) = E } Mn (R) с операциями

(A; ) A; (A; B ) A + B и (A; B ) [A; B ] = adA B := AB - B A: 6


1. (a) Это определение осмысленно, т.е. L(G) действительно замкнуто относительно указанных операций. (b) Тождество Яко би. [A; [B ; C ]] + [B ; [C; A]] + [C; [A; B ]] = 0. (c) Пусть a(t) и b(t) | гладкие кривые в GLn (R), причем a(0) = b(0) = E и a (0) = A, b (0) = B . Можно ли выразить через A и B матрицы (a(t)b(t))tt |t=0 или (a(t)b(t)a(t)-1 )tt |t=0 ? 2. Если i;j (xj )2 < 1, то матрица E + (xj ) обратима. i i 3. (a{m) Найдите алгебры Ли для матричных групп Ли, приведенных в §1. Алге брой Ли группы Ли G называется касательное пространство L(G) в единице с операциями
(a)(t) := a(t); (a + b)(t) := a(t)b(t) и [a; b](t) = ad
a(t)

b(t) := a( t)b( t)a( t)-1 b( t)-1 :









Здесь a; b : [-1; 1] G, a(0) = b(0) = e; кривые представляют их классы эквивалентности. 4. Определение коммутатора осмыслено, т.е. кривая [a; b](t) действительно дифференцируема. (a) (L(G); ·; +) является векторным пространством. 1 (b) a(t)b(t) = a + b + 2 [a; b] + o(t2 ). (c) Коммутатор [·; ·] кососимметричен. (d) a(t)b(t)a(t)-1 = b + [a; b] + o(t2 ) (e) a(t)b(t)a(t)-1 b(t)-1 = [a; b] + o(t2 ). (f ) Коммутатор [·; ·] удовлетворяет тождеству Яко би. Гомоморфизм (Ли) алге бр Ли | линейное отображение, переводящее коммутатор в коммутатор. Изоморфизм (Ли) алге бр Ли | их изоморфизм как линейных пространств, переводящий коммутатор в коммутатор. 5. (a) Алге бра Ли прямого произведения двух групп Ли изоморфна прямой сумме алге бр Ли сомножителей: L(G в H ) L(G) L(H ). = (b) Утверждение. Пусть f : G H | гомоморфизм групп Ли. Тогда его дифференциал de f : L(G) L(H ) в единице | гомоморфизм алге бр Ли. (c) Алге бры Ли изоморфных групп Ли изоморфны. (d) Алге бры Ли группы Ли и ее односвязной накрывающей совпадают. (e) Если p : G H гомоморфизм на, имеющий дискретное ядро (т.е. накрывающий гомоморфизм), то L(G) L(H ). Более того, de p : L(G) L(H ) | изоморфизм. = Теорема о восстановлении изоморфизма. Для любого изоморфизма Ли f : L(G) L(H ) существует единственный изоморфизм Ли F : G H , для которого de F = f . Следствие. Односвязные группы Ли с изоморфными алгебрами Ли изоморфны. Схема доказательства приведена в §6. Теорема о восстановлении изоморфизма (вместе с теоремой реализуемости из §6) сводит классификацию односвязных групп Ли к классификации их алге бр Ли. При классификации компактных групп Ли можно о бойтись без теоремы реализуемости (но при этом нужно будет проверить компактность алге бр Ли из теоремы их классификации, см. утверждение о реализуемости в конце §2). Теорема классификации компактных вещественных алге бр Ли. Любая алгебра Ли компактной группы Ли разлагается единственным образом (с точностью до порядка слагаемых) в прямую сумму алгебр Ли из следующего списка:
sun (R); n 2; son (R); n 7; spn (R); n 2; g2 (R); f4 (R); en (R); n = 6; 7; 8:

Это алге бры Ли групп Ли, фигурирующих в основной теореме. 7


(a) Основную теорему для односвязного случая. (b) Односвязная накрывающая любой компактной группы Ли единственным о бразом (с точностью до порядка сомножителей) разлагается в прямое произведение групп из списка в основной теореме и коммутативных групп R. Указание к 1a. Пусть a(t) и b(t) | гладкие кривые в GLn (R), причем a(0) = b(0) = E и a (0) = A, b (0) = B . Тогда
a(t)t |
t=0

6. Используя сформулированную теорему, докажите следующее.

= A; [a(t)b(t)]t |

t=0

= A + B и [a( t)b( t)a( t)-1 b( t)-1 ]t |









t=0

= AB - B A:

Указание к 4. См. до бавление к русскому переводу в [Ad].

(или Mn (C) или Mn (H)), замкнутое относительно операции [A; B ] = AB - B A. Алге брой Ли называется линейное пространство V с кососимметрическим билинейным ото бражением [·; ·] : V в V V , удовлетворяющей тождеству Яко би. Далее в тексте все алге бры Ли будут предполагаться конечномерными и вещественными (если не оговорено другое). Алге бра Ли называется компактной, если существует компактная группа Ли с такой алге брой Ли. (Заметим, что о бщепринятым является другое, эквивалентное, определение.) 6.5 Алге бра Ли с нулевым центром компактна тогда и только тогда, когда соответствующая односвязная группа Ли компактна (такая группа существует по теореме реализуемости из §6 и единственная по теореме о накрытиях). Подмножество a g алге бры Ли g называется идеалом, если [a; g ] a, т.е. [X; Y ] a для всех X a и Y g. Алге бра Ли g называется коммутативной, если [g; g] 0. простой, если она не имеет со бственных ненулевых идеалов, т.е. если все ее идеалы | это {0} и сама эта алге бра. 6.7 (a) одномерная коммутативная алге бра Ли проста. (b) простая коммутативная алге бра Ли одномерна. Следующий результат сводит классификацию компактных алге бр Ли к классификации компактных простых алге бр Ли. Теорема о разложении компактной вещественной алге бры Ли. Любая компактная алгебра Ли изоморфна прямой сумме простых компактных алгебр Ли. Такое разложение однозначно с точностью до порядка слагаемых. Схема доказательства приведена в §7. Такое разложение можно записать в виде L = Z (L) L1 · · · Lk , где Z (L) | центр алге бры L, а L1 ; : : : ; Lk | неодномерные простые идеалы. Комплексные алге бры Ли изучать проще, чем вещественные, потому что поле C алгебраически замкнуто. Это позволяет разлагать комплексные алге бры Ли в прямую сумму подпространств (теорема о корневом разложении в §10), что о блегчает классификацию. Поэтому мы переходим от вещественных алге бр к комплексным. Комплексификация вещественной алгебры Ли g | это алге бра Ли gC := g + ig, т.е. прямая сумма пространств g g, в которой умножение на комплексное число и ско бка Ли определены формулами (a + bi)(x; y ) = (ax - by; bx + ay); и [(x1 ; y1 ); (x2 ; y2 )] = ([x1 ; x2 ] - [y1 ; y2 ]; [x1 ; y2 ] + [x2 ; y1 ]): 8

III. Сведение к классификации компактных простых алге бр Ли. Матричной алге брой Ли называется линейное подпространство пространства Mn (R)

IV. Сведение к классификации комплексных простых алге бр Ли.


Лемма о простоте комплексификации. Если g | неодномерная простая вещественная компактная алгебра Ли, то ее комплексификация gC тоже проста. Схема доказательства приведена в §7. Теорема комплексификации. Любая простая комплексная алгебра Ли изоморфна комплексификации некоторой своей простой компактной вещественной подалгебры (т.е. подмножества, замкнутого относительно операций сложения, коммутирования и умножения на вещественное число). Эта подалгебра единственна с точностью до изоморфизма. Схема доказательства единственности приведена в §8. При этом используется теорема о невырожденности, набросок доказательства которой дан в §10. Также в §10 приводятся определения понятий и схемы доказательств утверждений, нужные для доказательства следующего результата. Существование можно доказать напрямую. Оно вытекает также из следующих двух результатов. Теорема классификации простых комплексных алге бр Ли. Комплексные простые некоммутативные алгебры Ли исчерпываются следующим списком попарно неизоморфных алгебр Ли:
sln (C); n

2; son (C); n

7; spn (C); n

2; g2 (C); f4 (C); en (C); n = 6; 7; 8:

Схема доказательства приведена в §11 (и использует §10). Утверждение о реализуемости. Алгебры Ли из списка в предыдущей теореме изоморфны комплексификациям некоторых своих простых компактных вещественных подалгебр (в частности, для алгебр sln (C), son (C) и spn (C) это соответственно sln (R), son (R) и spn (R)). Эти компактные алгебры являются соответственно алгебрами Ли компактных групп из списка в основной теореме. 7. (a) Докажите утверждение о реализуемости. (b) Выведите из утверждений этого пункта классификацию компактных вещественных простых алге бр Ли. В настоящем тексте алге бры Ли вводятся раньше того момента, в который их введение дейтсвительно неизбежно для классификации компактных групп Ли. Это сделано, поскольку понятие алге бры Ли мотивировано приложениями (см., например, §6A). Построение системы корней компактной группы Ли (без использования алге бр Ли, формы Киллинга и комплексификации, но с использованием инвариантных форм и максимальных торов) см. в [Pr', 24.3 и 24.4] или [Ad, главы 4 и 5]. Завершение доказательства теоремы классификации компактных групп Ли приводится в до бавлении к русскому переводу [Ad] (в теореме 1 группа Ли предполагается односвязной; для доказательства теоремы 2 нужны комплексификации и форма Киллинга) с использованием алге бр Ли. Эпиморфизм p : называется накрывающим гомоморфизмом, если p диффеоморфно ото бражает некоторую окрестность единицы в группе G на некоторую окрестность единицы в группе H . Ото бражение p : X X между метрическими пространствами называется накрытием, если для любой точки x X существуют ее окрестность Ox, дискретное множество F и гомеоморфизм h : p-1 Ox Ox в F , для которых prF h = p. 1. Эпиморфизм p : G H между группами Ли является накрывающим гомоморфизмом тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих равносильных условий: 9
§4. Сведение к G H групп Ли

Замечание о б использовании алге бр Ли.

случаю односвязных групп Ли


(a) ker p дискретно; (b) de p : Te G Te H изоморфизм (линейных пространств); (c) p накрытие. 2. Пусть p : X X | накрытие связного гладкого подмногообразия X Rm . (a) Для любых пути s : I X и точки x X с условием p(x) = s(0) существует путь s : I X (поднятие пути s) такой, что s(0) = x и p s = s. (b) Такое поднятие единственно, т.е. если f1 ; f2 : I X | два поднятия одного и того же ото бражения f : I X , причем f1 (0) = f2 (0), то f1 (t) = f2 (t) для любого t. (c) Докажите основную теорему топологии: существует взаимно-однозначное соответствие между гомотопическими классами ото бражений окружности в окружность (сохраняющих отмеченную точку) и множеством Z. (d) Лемма о поднятии гомотопии. Для любых гомотопии {ft : I X }tI и поднятия f0 : I X существует единственное поднятие {ft : I X }tI гомотопии ft . (e) Теорема о поднятии отображения. Для любого гладкого ото бражения f : X X , односвязных накрытий p : X X , p : X X и таких точек x0 X , x0 X , что f p(x0 ) = p (x0 ) существует и единственно гладкое ото бражение f : X X (поднятие ото бражения f ), для которого p f = f p и f (x0 ) = x0 . 3. (a) Для любого гладкого многоо бразия G существует односвязное гладкое многоо бразие G и накрытие p : G G. Это один из простейших примеров, в котором удобно рассматривать абстрактные гладкие многообразия вместо гладких подмногообразий в Rm | и, как следствие, группы Ли вместо матричных групп Ли. (b) Такое односвязное гладкое многоо бразие G единственно с точностью до диффеоморфизма, а накрытие p : G G единственно с точностью до эквивалентности. (c) Для любой группы Ли G существует односвязная группа Ли G и накрывающий гомоморфизм p : G G. Такая группа Ли G единственна с точностью до изоморфизма Ли, а накрытие p : G G е