Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/skopenkov/lie.pdf Дата изменения: Sat Apr 4 12:55:56 2009 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:20:20 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ В ИНТЕРЕСНЫХ ЗАДАЧАХ (классификация компактных групп Ли) 1 Р. Пальвелев и А. Скопенков
В этом тексте приводится набросок доказательства красивой, важной и нетривиальной теоремы о классификации компактных подгрупп группы невырожденных линейных прео бразований евклидова пространства (точнее, компактных групп Ли). (То, что во многих уче бниках не приводится ее явной формулировки, ясной неспециалисту, делает эту теорему менее доступной, а курс групп и алге бр Ли менее мотивированным.) На примере изучения этого доказательства читатель (точнее, решатель) освоит основы теории групп и алге бр Ли, имеющие много других применений. Осо бенность этого текста | возможность познакомиться с мотивировками и идеями теории групп и алге бр Ли при сведении к нео бходимому минимуму ее языка. Для этого в качестве формальной цели поставлен указанный красивый результат, а не набор понятий. Мы постарались изложить доказательство так, что бы в каждый момент было ясно, в чем цель | в частности, зачем вводится то или иное понятие. См. подро бнее 'философскометодическое отступление' в [ZPSSS] и 'зачем' в [Sk08]. Этот набросок может содержать опечатки. Пожалуйста, направляйте замечания по skopenko@mccme.ru. Благодарим М. Берштейна и А. Жеглова за полезные о бсуждения. Материал преподносится в виде задач для самостоятельного размышления и о бсуждения с преподавателем (это характерно не только для дзенских монастырей, но и для элитного математического о бучения | по крайней мере, российского). Для понимания условий и для решения большинства задач достаточно знания материала I курса мехмата МГУ и знакомства с настоящим текстом (точнее, его части, предшествующей формулировке задачи). Если используемые в условии термины не определены в этом тексте и вам незнакомы, то соответствующую задачу следует просто игнорировать. Отметим, что для решения задач достаточно понимания их формулировок и не требуется никаких дополнительных понятий и теорий (кроме, быть может, задач со звездочками). Иногда соседние задачи являются подсказками. Если условие задачи является формулировкой утверждения, то это утверждение и надо доказать. Заданные в условиях функции предполагаются бесконечно дифференцируемыми, если не оговорено противное. Приводимые задачи являются примерами интересных и полезных фактов, и читателю будет полезно ознакомиться с самими фактами, даже если он не сможет их самостоятельно доказать. Например, в некоторых задачах изложен план доказательства теорем, который полезно понимать, даже если детали этого плана останутся недоступными. Поэтому приводимые формулировки задач могут быть путеводителем по другим уче бникам, позволяя намечать интересные конечные цели и отбрасывать материал, не являющийся для этих целей нео бходимым. Впрочем, полезнее всего было бы о бсуждать со специалистом как ваши решения задач, так и возникающие при решении трудности.

Введение.

О задачах.

Оглавление.
1

§1. Группы Ли. Изоморфизм Ли. §1A. Топологические свойства групп

Ли.

http://dfgm.math.msu.su/ les/skopenkov/lie.pdf. Обновлено 31.03.09

1


§2. Формулировка основной теоремы. §3. План доказательства основной теоремы. §4. Сведение к случаю односвязных групп Ли. §6A. Теорема Нетер. §6. Сведение к классификации алге бр Ли. §7. Доказательство теоремы о разложении алге бры Ли. §8. Доказательство леммы о простоте комплексификации. §9. Доказательство единственности в теореме комплексификации. §10. Корневое разложение. §11. Доказательство теоремы о классификации простых комплексных

алге бр Ли.

[Ad] J. F. Adams, Lectures on Lie groups, W. A. Benjamin Inc., New York, Amsterdam. 1969. Рус. перевод. Дж. Адамс, Лекции по группам Ли, М. Наука, 1979. [DNF] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Ч. I. М.: Наука. 1979. [Fo] А. Т. Фоменко, Дифференциальная геометрия и топология: дополнительные главы. РХД: Ижевск, 1999. [GG] М. Гото и Ф. Д. Гроссханс, Полупростые алге бры Ли. [Pr] В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, М.: МЦНМО, 2004. См. http://www.mccme.ru/prasolov/. [Pr'] В. В. Прасолов. Элементы теории гомологий. М.: МЦНМО, 2006. См. http://www.mccme.ru/prasolov/. [Sk] А. Б. Скопенков, Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах, М.: МЦНМО, 2008. http://arxiv.org/abs/0801.1568 [Sk'] A. Skopenkov, A characterization of submanifolds by a homogeneity condition, Topol. Appl., 154 (2007) 1894-1897. http://arxiv.org/abs/0606470. [Tr] В. В. Трофимов, Ведение в теорию многоо бразий с симметриями. М: МГУ. [VO] В. Э. Винберг и А. Л. Онищик, Семинар по группам Ли и алге браическим группам. [ZPSSS] Математика в задачах. Сборник материалов московских выездных математических школ. Под редакцией А. Заславского, Д. Пермякова, А. Скопенкова, М. Скопенкова и А. Шаповалова. М.: МЦНМО, 2009. www.mccme.ru/circles/oim/mat.htm Понятие группы Ли мотивировано, в частности, теоремой Нетер: группе Ли, сохраняющей систему, соответствуют законы сохранения этой системы (см. формулировку в §6A). Матричной группой Ли называется замкнутая подгруппа группы GLn (R) или GLn (C) или GLn (H) (о кватернионах см., например, [DNF, I.2.14.3]). Примеры (см. определения в [DNF, I.2.14]):
GLn (R; C; H); S Ln (R; C; H); On ; S On ; O
k;n-k

Литература.

§1.

Группы Ли. Изоморфизм Ли.

;

Un ;

S Un ;

S pn :

Для подмножества G Rk ото бражение f : G Rm называется гладким (точнее, дифференцируемым по Уитни), если для любой точки g0 G существуют такие линейный оператор A : Rk Rm и бесконечно малая функция : Rk R, что для любой точки z G выполнено f (z ) = f (z0 ) + A(z - z0 ) + (z - z0 )|z ; z0 |: Функция : Rk R называется бесконечно малой, если для любого числа > 0 существует такое число > 0, что для любой точки x Rk если |x| < , то | (x)| < . 2

1.* Найдите все замкнутые одномерные подгруппы в S L2 (R).


Для подмножеств G Rk и H Rm ото бражение f : G H называется диффеоморфизмом, если оно гладкое, о братимое и обратное ото бражение гладкое. Изоморфизм (Ли) групп Ли | их биективный гомоморфизм, являющийся также диффеоморфизмом. Знак изоморфизма | . = Поскольку на
Rm

; S 1 = { z C : |z | = 1 } и S 3 = { z H : |z | = 1 }

имеется структура группы (для S 1 и S 3 | унаследованная из C и H), то аналогично можно определить изоморфизм между матричной группой Ли и Rn , S 1 , S 3 , S 1 в S 1 , (S 1 )n в Rm , S 3 в S O3 и т.д. 2. (a) S O2 U1 S 1 . (b) S U2 S p1 S 3 . == = = S U2 ={±1} S 3 ={±1}. (d) S O4 S 3 в S 3 ={±(1; 1)}. (c) S O3 = = = (Придумайте сами, как придать смысл последним двум утверждениям.) (e) S O4 диффеоморфно S 3 в S O3 . (f )* Не существует изоморфизма Ли между S O4 и S 3 в S O3 . (d) Приведите пример матричных групп Ли, которые изоморфны как группы, но не диффеоморфны. 3. (a) Теорема. Связная коммутативная матричная группа Ли изоморфна (S 1 )n в Rm для некоторых m; n. (b) Классифицируйте (с точностью до изоморфизма Ли) матричные группы Ли размерности 1. (c)* Классифицируйте компактные матричные группы Ли размерности 2. (d)* То же для некомпактных. Читатель, не знакомый с понятиями гладких многоо бразий и их диффеоморфизмов [DNF], может опустить остаток этого параграфа, а далее всюду (кроме осо бо оговоренных случаев) считать, что под группой Ли подразумевается матричная группа Ли. Группой Ли называется конечномерное гладкое многоо бразие с групповой структурой, задаваемой гладкими ото бражениями (умножения · : G в G G, (a; b) ab и взятия о братного -1 : G G, a a-1 ). Изоморфизм Ли групп Ли определяется так же, как для матричных групп Ли (см. выше). Даже если наша цель | классификация матричных групп Ли, удо бно сначала классифицировать группы Ли и отдельно выяснять, какие из них изоморфны матричным. 4. (a) Теорема Картана. Замкнутая подгруппа группы Ли является подмногообразием. (b) Матричная группа Ли является группой Ли. (c) Существует подгруппа группы Ли, являющаяся гладким многоо бразием (в индуцированной топологии), но не являющаяся подмногоо бразием. (Подгруппой Ли называется подгруппа, являющаяся подмногоо бразием.) (d) Если группа задается в Rn (или в Cn ) системой полиномиальных уравнений, причем произведение и взятие о братного элемента задаются полиномами, то это группа Ли. Произведение задается полиномами, если (x1 ; : : : ; xn ) · (y1 ; : : : ; yn ) = (f1 ; : : : ; fn ) для некоторых полиномов f1 ; : : : ; fn R[x1 ; : : : ; xn ; y1 ; : : : ; yn ].

Указания к 2. (с) Для кватерниона q S 3 определим fq : {ai + bj + ck} {ai + bj + ck} формулой fq (x) = qxq-1 . (d) Для кватернионов p; q S 3 определим fp;q : H H формулой fp;q (x) = pxq-1 . Возьмем соответствующее ото бражение F : S 3 в S 3 S O4 . Тогда ker F = {±(1; 1)}. Поскольку dF |e
3


невырожден, то о браз ото бражения F содержит некоторую окрестность единицы. Значит, ото бражение F сюръективно. (e) Автодиффеоморфизм g(x; y) = (xy-1 ; y) произведения S 3 в S 3 переводит (-1; -1) в (1; -1). (f ) [VO-4.4.1, theorem 1]. (g) R и R2 . Указания к 3. (a) [Pr', 24.1]. (b) Ответ: S 1 , R. (c) Ответ: S 1 в S 1 . Указания к 4. (a) Доказательство см. в [Pr', 24.2] или [Sk']. (b) Вытекает из теоремы Картана. (c) Иррациональная о бмотка тора S 1 в S 1 . (d) Алгебраическим многообразием (вложенным аффинным вещественным) называется подмножество M Rn , выделяемое конечной системой полиномиальных уравнений fi (x1 : : : ; xn ) = @ (f1 ; : : : ; fs ) 0, i = 1; : : : ; s. Положим J (P ) := | . Точка P алге браического многоо бразия @ ( x1 ; : : : ; x n ) P M над C называется простой, если rk J (P ) максимален (среди всех P M ). Точка P алгебраического многоо бразия M над R называется простой, если она является простой точкой его комплексификации M (C). Тогда простые точки всегда существуют. Значит, теорема вытекает из того, что при полиномиальном изоморфизме алгебраического многообразия (дайте определение!) простые точки переходят в простые (докажите для s = 2!), и множество простых точек алгебраического многообразия является гладким многообразием (тоже докажите!). Используйте теорему Гильберта о базисе: из бесконечной системы полиномиальных уравнений можно выбрать конечную подсистему с тем же множеством нулей. Этот параграф не используется в дальнейшем, а сам использует только определение (матричной) группы Ли. Какие подмножества (или подмногообразия) евклидовых пространств гомеоморфны (или диффеоморфны) некоторой группе Ли? Эта про блема интересна как сама по се бе, так и в связи с про блемой классификации групп Ли. Интересно, что для некоторых случаев эту про блему проще решать именно классифицировав некоторые группы Ли. 1. Может ли группа Ли быть гомеоморфна (a) S 1 ; (b) (S 1 )n ; (c) R; (d) Q; (e) [0; 1]; (f ) канторову множеству? 2. (a) На канторовом множестве существует структура группы, для которой групповые операции непрерывны. (b) Существует компактная топологическая группа, не являющаяся группой Ли. 3. Может ли группа Ли быть диффеоморфна (a) бутылке Клейна? (b) S 2 ? (c) S 3 ? (d) RP 3 ? (e)* Открытому диску с двумя выколотыми точками? (f )* S 1 в S 2 . 4. Каким компактным двумерным многообразиям может быть диффеоморфна группа Ли? 5. Однородные пространства. Пусть группа Ли G транзитивно действует (слева) на гладком многоо бразии M и Hx | стабилизатор точки x M . (Нео бходимые определения прочитайте в [DNF, II-5].) (a) Hx Hy . = 4
§1A.

Топологические свойства групп Ли.


(b)* Введите в множестве G=Hx (левых) смежных классов структуру метрического пространства (или гладкого многоо бразия) и докажите, что G=Hx гомеоморфно (или диффеоморфно) M .

Указания к 1. (a,b,c) Да. (d,e,f ) Нет. (d) Докажите, что группа Ли локально-компактна. (e) Докажите, что группа Ли однородна. (f ) Используйте доказательство теоремы Картана. Указания к 2. (a) Группа Ap p-адических чисел. Указания к 3. (a,b,e,f ) Нет. (a) Докажите, что группа Ли ориентируема. (b) Докажите, что на группе Ли существует ненулевое касательное векторное поле. (c,d) Да. (e) Докажите, что 1 (G) абелева. (f ) Докажите, что 2 (G) = 0. Указание к 4. Ответ: только тору. Доказательство аналогично 3ab.
Что бы сформулировать основную теорему, нам понадо бятся следующие определения. Центр группы | это множество элементов группы, коммутирующих со всеми элементами группы. 1. (a) Центр группы является ее подгруппой. (b) Найдите центры групп Ли, упомянутых в начале §1. Мы приведем две формулировки основной теоремы. Первая | более слабая, для матричных групп Ли. Она использует понятия гомотопии и односвязности, но не использует о бщего понятия группы Ли (и тем самым понятия гладкого многоо бразия). Читатель, не знакомый с понятием гладкого многоо бразия, может изучить доказательство слабой версии: для этого надо пропустить §4 и всюду считать, что рассматриваемые группы Ли матричные. На этом уже видны важнейшие идеи. Вторая формулировка | более сильная, использующая понятие факторгруппы (по дискретной подгруппе), что принуждает нас работать с о бщими группами Ли (а не матричными группами Ли или подмногоо бразиями в Rm ). Вторая формулировка не использует понятий гомотопии и односвязности (которые, впрочем, все равно появятся при ее доказательстве). Два непрерывных ото бражения f0 ; f1 : X Y между метрическими пространствами называются гомотопными (о бозначение: f0 f1 ), если существует семейство ft : X Y непрерывных ото бражений, непрерывно зависящее от параметра t [0; 1]. (Последнее эквивалентно существованию такого непрерывного ото бражения F : X в [0; 1] Y , что F (x; 0) = f0 (x) и F (x; 1) = f1 (x).) Пространство называется односвязным, если любые два пути с о бщими концами гомотопны неподвижно на этих концах. 2. Следующие пространства односвязны. (a) Rn . (b) S n при n 2. (c) X в Y , где X и Y односвязны.
§2.

Формулировка основной теоремы

Любая односвязная компактная матричная группа Ли разлагается единственным образом (с точностью до порядка сомножителей) в прямое произведение следующих (простых, попарно неизоморфных):
S Un ; n 2; S pinn ; n 7; S pn ; n 2; G2 ; F4 ; En ; n = 6; 7; 8:

Теорема классификации компактных групп Ли (для односвязных групп Ли).

5


Построение (т.е. матричное представление) групп S pinn ; G2 ; F4 и En см. в [Fo, VO]. 3. Каким группам из этого списка изоморфна (a) S 3 ? (b) S p1 ? (c) S pinn , n 6? 4. (a) Пусть H | дискретная (т.е. с дискретной топологией) нормальная подгруппа группы Ли. Введите в множестве G=H смежных классов структуру группы Ли. (b) Любая дискретная нормальная подгруппа связной группы Ли содержится в ее центре. Теорема классификации компактных групп Ли. Любая компактная группа Ли G изоморфна ((S 1 )n в G)=H , где · G | прямое произведение некоторого количества групп из следующего списка:
S Un ; n 2; S pinn ; n 7; S pn ; n 2; G2 ; F4 ; En ; n = 6; 7; 8; G определяется по G однозначно с точностью до изоморфизма; произведения группы Ли из списка изоморфны тогда и только тогда, когда отличаются порядком сомножителей (в частности, группы Ли из списка попарно не изоморфны); · H | дискретная подгруппа центра группы (S 1 )n в G, единственная с точностью до автоморфизма этой группы. Группа Ли S pinn определяется как односвязная накрывающая группы S On (см. определение, а также теорему существования и единственности в §4), см. матричное представление в [VO]. Построение групп G2 ; F4 и En см. в [Fo, VO]. 5.* На каких замкнутых 3-многоо бразиях существует структура группы Ли?

Указание к 4b. Пусть : [0; 1] G | путь с началом в eG и p : G G=H | факторпроекция. Тогда для x H имеем p( (t)x -1 (t)) = eG=H , поэтому (t)x -1 (t) = x.

Пусть G1 , G2 | группы Ли. Ото бражение f : G1 G2 называется гомоморфизмом (Ли), если f | гомоморфизм групп и гладкое ото бражение. Изоморфизм группы Ли на се бя называется автоморфизмом (Ли). Теорема о накрытиях. Для любой связной группы Ли G существуют односвязная группа Ли G и дискретная подгруппа C = CG G центра группы G, для которых G G=C . = При этом G единственна с точностью до изоморфизма групп Ли, а C единственна с точностью до автоморфизма группы G. Схема доказательства приведена в §4. Группа G называется односвязной накрывающей группы G. Теорема о накрытиях 'сводит' классификацию связных групп Ли к классификации односвязных групп Ли. Замечание. C 1 (G): Определение и спосо бы вычисления фундаментальной группы = 1 (G) см., например, в [Pr, Sk]. Заметим, что если G компактна и некоммутативна, то CG конечна. 0. Выведите основную теорему из ее односвязного случая и теоремы о накрытиях (а также классификации накрытий и вычисления фундаментальных групп [Pr]).

План доказательства основной теоремы I. Сведение к случаю односвязных групп Ли.

§3.

II. Сведение к классификации алге бр Ли. Алге брой Ли матричной группы Ли G называется множество

L(G) := {a (0) | a(t) гладкая кривая в G; a(0) = E } Mn (R) с операциями

(A; ) A; (A; B ) A + B и (A; B ) [A; B ] = adA B := AB - B A: 6


1. (a) Это определение осмысленно, т.е. L(G) действительно замкнуто относительно указанных операций. (b) Тождество Яко би. [A; [B ; C ]] + [B ; [C; A]] + [C; [A; B ]] = 0. (c) Пусть a(t) и b(t) | гладкие кривые в GLn (R), причем a(0) = b(0) = E и a (0) = A, b (0) = B . Можно ли выразить через A и B матрицы (a(t)b(t))tt |t=0 или (a(t)b(t)a(t)-1 )tt |t=0 ? 2. Если i;j (xj )2 < 1, то матрица E + (xj ) обратима. i i 3. (a{m) Найдите алгебры Ли для матричных групп Ли, приведенных в §1. Алге брой Ли группы Ли G называется касательное пространство L(G) в единице с операциями
(a)(t) := a(t); (a + b)(t) := a(t)b(t) и [a; b](t) = ad
a(t)

b(t) := a( t)b( t)a( t)-1 b( t)-1 :









Здесь a; b : [-1; 1] G, a(0) = b(0) = e; кривые представляют их классы эквивалентности. 4. Определение коммутатора осмыслено, т.е. кривая [a; b](t) действительно дифференцируема. (a) (L(G); ·; +) является векторным пространством. 1 (b) a(t)b(t) = a + b + 2 [a; b] + o(t2 ). (c) Коммутатор [·; ·] кососимметричен. (d) a(t)b(t)a(t)-1 = b + [a; b] + o(t2 ) (e) a(t)b(t)a(t)-1 b(t)-1 = [a; b] + o(t2 ). (f ) Коммутатор [·; ·] удовлетворяет тождеству Яко би. Гомоморфизм (Ли) алге бр Ли | линейное отображение, переводящее коммутатор в коммутатор. Изоморфизм (Ли) алге бр Ли | их изоморфизм как линейных пространств, переводящий коммутатор в коммутатор. 5. (a) Алге бра Ли прямого произведения двух групп Ли изоморфна прямой сумме алге бр Ли сомножителей: L(G в H ) L(G) L(H ). = (b) Утверждение. Пусть f : G H | гомоморфизм групп Ли. Тогда его дифференциал de f : L(G) L(H ) в единице | гомоморфизм алге бр Ли. (c) Алге бры Ли изоморфных групп Ли изоморфны. (d) Алге бры Ли группы Ли и ее односвязной накрывающей совпадают. (e) Если p : G H гомоморфизм на, имеющий дискретное ядро (т.е. накрывающий гомоморфизм), то L(G) L(H ). Более того, de p : L(G) L(H ) | изоморфизм. = Теорема о восстановлении изоморфизма. Для любого изоморфизма Ли f : L(G) L(H ) существует единственный изоморфизм Ли F : G H , для которого de F = f . Следствие. Односвязные группы Ли с изоморфными алгебрами Ли изоморфны. Схема доказательства приведена в §6. Теорема о восстановлении изоморфизма (вместе с теоремой реализуемости из §6) сводит классификацию односвязных групп Ли к классификации их алге бр Ли. При классификации компактных групп Ли можно о бойтись без теоремы реализуемости (но при этом нужно будет проверить компактность алге бр Ли из теоремы их классификации, см. утверждение о реализуемости в конце §2). Теорема классификации компактных вещественных алге бр Ли. Любая алгебра Ли компактной группы Ли разлагается единственным образом (с точностью до порядка слагаемых) в прямую сумму алгебр Ли из следующего списка:
sun (R); n 2; son (R); n 7; spn (R); n 2; g2 (R); f4 (R); en (R); n = 6; 7; 8:

Это алге бры Ли групп Ли, фигурирующих в основной теореме. 7


(a) Основную теорему для односвязного случая. (b) Односвязная накрывающая любой компактной группы Ли единственным о бразом (с точностью до порядка сомножителей) разлагается в прямое произведение групп из списка в основной теореме и коммутативных групп R. Указание к 1a. Пусть a(t) и b(t) | гладкие кривые в GLn (R), причем a(0) = b(0) = E и a (0) = A, b (0) = B . Тогда
a(t)t |
t=0

6. Используя сформулированную теорему, докажите следующее.

= A; [a(t)b(t)]t |

t=0

= A + B и [a( t)b( t)a( t)-1 b( t)-1 ]t |









t=0

= AB - B A:

Указание к 4. См. до бавление к русскому переводу в [Ad].

(или Mn (C) или Mn (H)), замкнутое относительно операции [A; B ] = AB - B A. Алге брой Ли называется линейное пространство V с кососимметрическим билинейным ото бражением [·; ·] : V в V V , удовлетворяющей тождеству Яко би. Далее в тексте все алге бры Ли будут предполагаться конечномерными и вещественными (если не оговорено другое). Алге бра Ли называется компактной, если существует компактная группа Ли с такой алге брой Ли. (Заметим, что о бщепринятым является другое, эквивалентное, определение.) 6.5 Алге бра Ли с нулевым центром компактна тогда и только тогда, когда соответствующая односвязная группа Ли компактна (такая группа существует по теореме реализуемости из §6 и единственная по теореме о накрытиях). Подмножество a g алге бры Ли g называется идеалом, если [a; g ] a, т.е. [X; Y ] a для всех X a и Y g. Алге бра Ли g называется коммутативной, если [g; g] 0. простой, если она не имеет со бственных ненулевых идеалов, т.е. если все ее идеалы | это {0} и сама эта алге бра. 6.7 (a) одномерная коммутативная алге бра Ли проста. (b) простая коммутативная алге бра Ли одномерна. Следующий результат сводит классификацию компактных алге бр Ли к классификации компактных простых алге бр Ли. Теорема о разложении компактной вещественной алге бры Ли. Любая компактная алгебра Ли изоморфна прямой сумме простых компактных алгебр Ли. Такое разложение однозначно с точностью до порядка слагаемых. Схема доказательства приведена в §7. Такое разложение можно записать в виде L = Z (L) L1 · · · Lk , где Z (L) | центр алге бры L, а L1 ; : : : ; Lk | неодномерные простые идеалы. Комплексные алге бры Ли изучать проще, чем вещественные, потому что поле C алгебраически замкнуто. Это позволяет разлагать комплексные алге бры Ли в прямую сумму подпространств (теорема о корневом разложении в §10), что о блегчает классификацию. Поэтому мы переходим от вещественных алге бр к комплексным. Комплексификация вещественной алгебры Ли g | это алге бра Ли gC := g + ig, т.е. прямая сумма пространств g g, в которой умножение на комплексное число и ско бка Ли определены формулами (a + bi)(x; y ) = (ax - by; bx + ay); и [(x1 ; y1 ); (x2 ; y2 )] = ([x1 ; x2 ] - [y1 ; y2 ]; [x1 ; y2 ] + [x2 ; y1 ]): 8

III. Сведение к классификации компактных простых алге бр Ли. Матричной алге брой Ли называется линейное подпространство пространства Mn (R)

IV. Сведение к классификации комплексных простых алге бр Ли.


Лемма о простоте комплексификации. Если g | неодномерная простая вещественная компактная алгебра Ли, то ее комплексификация gC тоже проста. Схема доказательства приведена в §7. Теорема комплексификации. Любая простая комплексная алгебра Ли изоморфна комплексификации некоторой своей простой компактной вещественной подалгебры (т.е. подмножества, замкнутого относительно операций сложения, коммутирования и умножения на вещественное число). Эта подалгебра единственна с точностью до изоморфизма. Схема доказательства единственности приведена в §8. При этом используется теорема о невырожденности, набросок доказательства которой дан в §10. Также в §10 приводятся определения понятий и схемы доказательств утверждений, нужные для доказательства следующего результата. Существование можно доказать напрямую. Оно вытекает также из следующих двух результатов. Теорема классификации простых комплексных алге бр Ли. Комплексные простые некоммутативные алгебры Ли исчерпываются следующим списком попарно неизоморфных алгебр Ли:
sln (C); n

2; son (C); n

7; spn (C); n

2; g2 (C); f4 (C); en (C); n = 6; 7; 8:

Схема доказательства приведена в §11 (и использует §10). Утверждение о реализуемости. Алгебры Ли из списка в предыдущей теореме изоморфны комплексификациям некоторых своих простых компактных вещественных подалгебр (в частности, для алгебр sln (C), son (C) и spn (C) это соответственно sln (R), son (R) и spn (R)). Эти компактные алгебры являются соответственно алгебрами Ли компактных групп из списка в основной теореме. 7. (a) Докажите утверждение о реализуемости. (b) Выведите из утверждений этого пункта классификацию компактных вещественных простых алге бр Ли. В настоящем тексте алге бры Ли вводятся раньше того момента, в который их введение дейтсвительно неизбежно для классификации компактных групп Ли. Это сделано, поскольку понятие алге бры Ли мотивировано приложениями (см., например, §6A). Построение системы корней компактной группы Ли (без использования алге бр Ли, формы Киллинга и комплексификации, но с использованием инвариантных форм и максимальных торов) см. в [Pr', 24.3 и 24.4] или [Ad, главы 4 и 5]. Завершение доказательства теоремы классификации компактных групп Ли приводится в до бавлении к русскому переводу [Ad] (в теореме 1 группа Ли предполагается односвязной; для доказательства теоремы 2 нужны комплексификации и форма Киллинга) с использованием алге бр Ли. Эпиморфизм p : называется накрывающим гомоморфизмом, если p диффеоморфно ото бражает некоторую окрестность единицы в группе G на некоторую окрестность единицы в группе H . Ото бражение p : X X между метрическими пространствами называется накрытием, если для любой точки x X существуют ее окрестность Ox, дискретное множество F и гомеоморфизм h : p-1 Ox Ox в F , для которых prF h = p. 1. Эпиморфизм p : G H между группами Ли является накрывающим гомоморфизмом тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих равносильных условий: 9
§4. Сведение к G H групп Ли

Замечание о б использовании алге бр Ли.

случаю односвязных групп Ли


(a) ker p дискретно; (b) de p : Te G Te H изоморфизм (линейных пространств); (c) p накрытие. 2. Пусть p : X X | накрытие связного гладкого подмногообразия X Rm . (a) Для любых пути s : I X и точки x X с условием p(x) = s(0) существует путь s : I X (поднятие пути s) такой, что s(0) = x и p s = s. (b) Такое поднятие единственно, т.е. если f1 ; f2 : I X | два поднятия одного и того же ото бражения f : I X , причем f1 (0) = f2 (0), то f1 (t) = f2 (t) для любого t. (c) Докажите основную теорему топологии: существует взаимно-однозначное соответствие между гомотопическими классами ото бражений окружности в окружность (сохраняющих отмеченную точку) и множеством Z. (d) Лемма о поднятии гомотопии. Для любых гомотопии {ft : I X }tI и поднятия f0 : I X существует единственное поднятие {ft : I X }tI гомотопии ft . (e) Теорема о поднятии отображения. Для любого гладкого ото бражения f : X X , односвязных накрытий p : X X , p : X X и таких точек x0 X , x0 X , что f p(x0 ) = p (x0 ) существует и единственно гладкое ото бражение f : X X (поднятие ото бражения f ), для которого p f = f p и f (x0 ) = x0 . 3. (a) Для любого гладкого многоо бразия G существует односвязное гладкое многоо бразие G и накрытие p : G G. Это один из простейших примеров, в котором удобно рассматривать абстрактные гладкие многообразия вместо гладких подмногообразий в Rm | и, как следствие, группы Ли вместо матричных групп Ли. (b) Такое односвязное гладкое многоо бразие G единственно с точностью до диффеоморфизма, а накрытие p : G G единственно с точностью до эквивалентности. (c) Для любой группы Ли G существует односвязная группа Ли G и накрывающий гомоморфизм p : G G. Такая группа Ли G единственна с точностью до изоморфизма Ли, а накрытие p : G G единственно с точностью до эквивалентности. 4. (a) Докажите существование в теореме о накрытиях. (b) Докажите единственность в теореме о накрытиях: для дискретных подгрупп C1 и C2 центра группы Ли G имеем G=C1 G=C2 тогда и только тогда, когда C1 переводится в C2 = некоторым автоморфизмом группы G. 5. Пусть p : G G | накрывающий гомоморфизм. (a) Для любой петли с началом в e ее поднятия, начинающиеся разных точках множества p-1 (e), одновременно замкнуты или нет. (Такие накрытия называются регулярными.) (b) Пусть G связна. Для точек a; b p-1 (e) выберем пути sa ; sb : I G, соединяющие единицу e G с a и b. Тогда ab равно концу того поднятия пути (sa p)(sb p), которое начинается в e. (c) Если G односвязна, то 1 (G) p-1 (e). =

Указание к 2 и 3. [Tr, §11]. Указания к 4 (a) [VO, 1.3.3] (b) Поднятие ' : G G изоморфизма : G=C G =C , переводящее единицу в единицу, является изоморфизмом Ли и переводит C в C .
Следующие задачи не используются при доказательстве основной теоремы, но показывают, как алге бры Ли возникают в приложениях. 10
§6A.

Теорема Нетер


1. (a) Пусть L(p; q) и p(t) | такие гладкие функции, что
(
@L | @q
p=p(t);q=p (t) )t

=

@L | @p

p=p(t);q=p (t)

:

Пусть {hs : R R} | однопараметрическая группа диффеоморфизмов прямой (т.е. действие группы R на R диффеоморфизмами), причем L(p; q ) = L(hs (p); hs (p)p q). Определим функцию @L I (p; q ) формулой I (p; q ) := hs (p)s |s=0 : @q Тогда величина I (p(t); q(t)) не зависит от t. (b) Теорема Нетер. Пусть L(p; q) и p(t) | такие гладкие вектор-функции, что (
@L | @q
p=p(t);q=p (t) )t

=

@L | @p

p=p(t);q=p (t)

:

Пусть h : R GLn (R) | гладкий гомоморфизм, о браз которого замкнут (т.е. однопараметрическая подгруппа). Обозначим hs := h(s). Пусть L(p; q) = L(hs (p); (hs (p))p q) для любого s R. Определим функцию
IH (p; q ) формулой IH (p; q ) := @L s h (p)s | @q
s=0

:

Тогда величина IH (p(t); q(t)) не зависит от t. 2. Если для двух гладких гомоморфизмов H1 ; H2 : R GLn (R) с замкнутыми о бразами выполнено H1 (0) = H2 (0), то H1 = H2 . 3. Пусть F; G; H : R2n R, p; q : R Rn | гладкие функции, причем
pi (t) = - qi (t) = @ H (p; q ) | @ qi
pi =pi (t);qi =qi (t)

;

(a) H (p(t); q(t)) не зависит от t. @F @F (b) F (p(t); q(t)) не зависит от t тогда и только тогда, когда ( @ Hi @ pi - @ Hi @ qi ) = 0 для @q @p i любого t. (c) Если F (p(t); q(t)) и G(p(t); q(t)) не зависят от t, то для функции {F; G}(p; q), определенной формулой n @F @G @F @G {F; G}(p; q ) := ( - ) @ qi @ pi @ pi @ qi i=1 величина {F; G}(p(t); q(t)) не зависит от t. См. также В. И. Арнольд, Мат. методы класс. механики, §20, §40, до бавление 5. Как описать по группе Ли, сохраняющей гамильтонову систему, алге бру первых интегралов системы относительно ско бки Пуассона? 4. Существует мономорфизм алгебры Ли группы Ли, сохраняющей систему, в алге бру первых интегралов гамильтоновой системы (относительно сложения, умножения на число и ско бки Пуассона). Указание. Используйте теорему Нетер.
§6.

@ H (p; q ) | @ pi

pi =pi (t);qi =qi (t)

:

Сведение к классификации алге бр Ли
11


(b) Докажите существование в теореме о восстановлении изоморфизма. (c) Слабая теорема о представлениях. Пусть G | односвязная группа Ли, M | гладкое многоо бразие и f : L(G) V (M ) гомоморфизм Ли в алге бру Ли полных гладких векторных полей на M . Тогда существует единственное действие G на M , касательный гомоморфизм которого совпадает с f . (Векторное поле полно, если каждая его траектория определена на всем R.) Указание к 0ab. Используйте теорему о единственности и о существовании решения дифференциального уравнения. [VO, 1.2.6, 1.2.8] (с) Аналогично (a,b). Содержание остатка этого пункта формально не используется для доказательства основной теоремы. Но изучение экспоненциального ото бражения подводит читателя к доказательству теоремы о восстановлении изоморфизма. Мы также приводим для сведения результаты, не используемые в дальнейшем. Экспоненциальное ото бражение exp : Mn (R) Mn (R) определяется формулой
X2 X3 exp X := E + X + + + :::: 2! 3!

0. (a) Докажите единственность в теореме о восстановлении изоморфизма.

(b) Ото бражение exp может быть не инъективным. (c) Ото бражение exp может быть не сюръективным. 2. (a) Если X Y = Y X , то exp(X + Y ) = exp X exp Y . (b) Матрица exp X о братима и (exp X )-1 = exp(-X ). (c) exp(X T ) = (exp X )T . (d) det exp X = etr X . 3. (a) exp L(G) G. (b) Теорема. Экспоненциальное ото бражение является диффеоморфизмом некоторой окрестности нулевой матрицы в L(G) на некоторую окрестность единичной матрицы в G. (c)* Теорема. Для компактной связной группы Ли экспоненциальное ото бражение сюръективно. (d) Образ при экспоненциальном ото бражении линейного подпространства g в пространстве матриц является подгруппой тогда и только тогда, когда g | алге бра Ли (т.е. замкнуто относительно коммутатора). 4. Векторные поля. L(G) изоморфна алге бре правоинвариантных векторных полей на G. (Значит, правоинвариантный дифур на G достаточно писать только в единице группы). Нео бходимые определения прочитайте в [DNF, I-24.1,3]. Обозначим через gln алге бру Ли всех матриц n в n; tn алге бру Ли верхнетреугольных матриц n в n; utn алге бру Ли верхнетреугольных матриц n в n с нулями на диагонали; sln алге бру Ли матриц n в n с нулевым следом; son алге бру Ли кососимметричных матриц n в n; XY spn алге бру Ли матриц 2n в 2n вида Z -X T , где Y и Z симметричны.

1. (a) Этот ряд сходится.

1. Выберите такой базис A; B ; C в

(a) so3 , что [A; B ] = C , [B ; C ] = A и [C; A] = B . (b) su2 , что [A; B ] = 2C , [B ; C ] = 2A и [C; A] = 2B . 12


(c) sl2 (R), что [A; B ] = -2C , [B ; C ] = 2A и [C; A] = -2B . 2. (a) su2 so3 . (b) so4 so3 so3 . (c) sl2 (R) so1;2 su1;1 . = = = = 3. Классифицируйте с точностью до изоморфизма алге бры Ли (матричных групп Ли) размерностей (a) 1 и 2; (c)* 3. 4. Изоморфны ли следующие алге бры Ли (одинаковых размерностей) над C? (a) t3 и so3 so3 ; (b) ut3 и t2 ; (c) gl6 и so9 ; (d) gl3 и so3 so4 ; (e) sl2 , so3 и sp1 ; (f ) sl4 и so6 ; (g)* so5 и sp2 ; (h)* so2n+1 и spn . 9. Любая матричная алгебра Ли изоморфна алге бре Ли некоторой матричной группы Ли. Теорема реализуемости. Для любой алгебры Ли существует группа Ли с такой алгеброй Ли [GG, VO]. 10. (a) Множество {adX }X G является подалге брой в L(GL(g)). (b) Эта подалге бра не о бязательно изоморфна g. Алге бра Ли g называется полупростой, если она не имеет ненулевых коммутативных идеалов. 10. (c) Для полупростой g эта подалге бра изоморфна g. (d) Полупростая алге бра Ли изоморфна матричной. (e) Докажите теорему о реализуемости для полупростых алге бр Ли. Теорема. Любая конечномерная вещественная или комплексная алгебра Ли изоморфна матричной [GG, 1.10.1].

Указание к 1. (b) exp(2I ) = E . -2 0 (с) 0 -1 не лежит в о бразе. Указание к 3a. Для a = A (0) L(G) напишем уравнение F (0) = E и F (t) = (A(s)F (t))s |s=0 в TF (t) G. По теореме о единственности его решение есть F (t) = exp at. Значит, exp a = F (1) G.
§

Для матричной группы Ли G и x G определим ото бражение Для группы Ли G и x G определим ото бражение

7. Доказательство теоремы о разложении алге бры Ли
Ad x : L(G) Mn (R) формулой Ad x (H ) = xH x-1 : Ad x : L(G) L(G) формулой Ad x (H (t)) = xH (t)x-1 :

(b) Adx L(G) L(G) для матричной группы Ли. (c) Эти определения согласованы. (d) Ad x = (xhx-1 )h |h=e . (e) Подмножество алге бры Ли является идеалом тогда и только тогда, когда оно Adинвариантно (т.е. инвариантно относительно Adx для любого x G). (f ) Идеал является простым тогда и только тогда, когда он Ad-неприводим. Для разложения алге бры Ли в прямую сумму простых идеалов нужно поле инвариантных форм максимальной размерности на G. 7. Пусть G | компактная группа Ли. 13

6. (a) Если G коммутативна, то Adx = id.


(a) L(G) разлагается (пока как линейное пространство, а не как алге бра Ли!) в прямую сумму Ad-инвариантных подпространств Li , не содержащих со бственных Ad-инвариантных подпространств (т.е. неприводимых). Предостережение: разложимость в прямую сумму AdX -инвариантных AdX -неприводимых подпространств для одного X доказывается несложно (с использованием инвариантного скалярного произведения). Для всех X | сложнее, см. далее. (b) Подпространства Li являются простыми идеалами. Нужно доказать, что полученные простые идеалы являются алге брами Ли компактных групп Ли. Первый спосо б намечен в следующей задаче. 8. Пусть L(G) = n=1 Li | разложение, полученное в предыдущей задаче. i (a) L(Z (G)) = Z (L(G)) (b) adX |L1 ···Li ···Ln = id для X Li . ^ (c) Обозначим Gi := {x G | Adx |L1 ···Li ···Ln = id}. Тогда Gi подгруппа Ли, L(Gi ) = ^ Li и Gi Gj = {e}. (d) Теорема о разложении групп Ли. Компактная группа Ли разлагается в прямое произведение простых компактных групп Ли. Указание: рассмотрите гомоморфизм 'произведения' G1 в · · · в Gn G. Второй спосо б: непосредственно доказать, что всякая простая алге бра Ли g, о бладающая инвариантным скалярным произведением, является компактной, а именно, она является алге брой Ли группы Ли Int g. (Из этого будет следовать, что любая, не о бязательно простая, вещественная алге бра Ли, о бладающая инвариантным скалярным произведением, тоже является компактной. В самом деле, согласно уже доказанному мы можем представить ее в виде прямой суммы коммутативной алге бры и нескольких простых. В качестве компактной группы Ли для исходной алге бры нужно взять прямое произведение групп для этих простых алге бр и тора (S 1 )d , где d |размерность центра исходной алге бры.) Пусть g | компактная алге бра Ли. Определим подгруппу Int g в GL(g) как порожденную операторами вида exp adX , X g. Ее замыкание Int g есть замкнутая подгруппа в GL(g). Пусть в g задано инвариантное скалярное произведение. Обозначим через O(g) группу ортогональных прео бразований пространства g. 3. Int g O(g). (Значит, алгебра Ли компактной группы Ли имеет инвариантное скалярное произведение; без теоремы о матричности, см. детали в [Ad69, 138-139]. Доказательство о братного факта, не использующее классификации, см. в [Ad69, До бавление, §3].) Из этого и теоремы Картана (для матричных групп Ли) вытекает, что Int g | компактная группа Ли. В самом деле, группа Int g | замкнутая подгруппа в группе Ли GL(g), а кроме того, группа O(g) компактна. Третий спосо б. При классификации компактных групп Ли (пункт 4), набросок которой приведен далее, для компактных алге бр Ли используется только наличие Ad-инвариантного скалярного произведения. То есть будет доказано, что: 1) комплексификация простой вещественной алге бры Ли с этим свойством проста; 2) простая комплексная алге бра Ли может иметь не более одной (с точностью до изоморфизма) вещественной формы с этим свойством. А из теоремы классификации простых комплексных алге бр Ли и утверждения о реализуемости следует, что всякая простая комплексная алге бра Ли имеет компактную вещественную форму.

существует невырожденная (би)инвариантная (т.е. инвариантная относительно левых и правых сдвигов) дифференциальная n-форма !. Такая форма единственна с точностью до пропорциональности (и, например, однозначно задается условием G ! = 1).
14

Лемма о б инвариантной форме. На любой компактной группе Ли G размерности n


1. (план доказательства ) (e) Adx обратимо. (f ) det(Adx : Te G Te G) = 1. (g) Ad : G GL(Te G) не о бязательно инъективно. (h) Докажите лемму. Указание к 1. (f ) [Pr, теорема 24.5]. (g) Возьмем произвольную n-форму !e в Te G. Она однозначно определяет правоинвариантную n-форму и левоинвариантную n-форму на G. В любой точке x G одна форма получается из другой умножением на определитель оператора Adx , который равен 1. Поэтому эти формы совпадают и биинвариантны. Ввиду компактности интеграл от них конечен. Умножая форму на константу, сделаем интеграл равным единице. [Pr, теорема 24.6]. Лемма о б инвариантном скалярном произведении на группе Ли. На любой компактной группе Ли G существует инвариантное поле скалярных произведений. 2. (a) Если G компактная подгруппа в GL(Rn ), то Rn имеет инвариантное скалярное произведение. (Значит, G изоморфна подгруппе в S On .) (b) Докажите лемму о б инвариантном скалярном произведении на группе Ли. (c) Докажите лемму о б инвариантном скалярном произведении на алге бре Ли. Скалярным произведением на линейном пространстве называется положительно определенная симметричная билинейная форма на нем. Лемма о б инвариантном скалярном произведении на алге бре Ли. На алгебре Ли компактной группы Ли G существует скалярное произведение, относительно которого все операторы Adx , x G, ортогональны, и все операторы adX , X L(G), кососимметричны:
(adX Y ; Z ) = -(Y ; adX Z ) или ([X; Y ]; Z ) = -(Y ; [X; Z ]) для всех X; Y ; Z L(G): Такое скалярное произведение называется инвариантным. Замечание. Верно и о братное: (вещественная) алге бра Ли, имеющая инвариантное скалярное произведением, является алге брой Ли некоторой компактной группы Ли. 6.5. Алге бра Ли компактной группы Ли изоморфна подалге бре в son . Указание к 2a. Если G конечна, то для любого скалярного произведения (·; ·) на Rn форма (u; v )G := gG (gu; gv) искомая. Для бесконечной G суммирование заменяется на интегрирование по инвариантной форме. В оставшейся части этого пункта намечено доказательство теоремы о разложении (задача 7). Нужно взять V = L(G) и G | о браз группы Ли при присоединенном представлении. Пусть V | линейное пространство, а G | подгруппа в группе GL(V ) о братимых линейных прео бразований. Будем называть V неприводимым относительно G, если не существует ненулевого со бственного подпространства V1 V , инвариантного относительно всех операторов g G. (Если это не так, то можно ограничить все эти операторы на V1 . Пространство V1 называют G-инвариантным.) Утверждение 2. Пусть V | линейное пространство, а G | компактная подгруппа Ли в группе GL(V ). Тогда V разлагается в прямую сумму G-инвариантных неприводимых подпространств. Набросок доказательства. Индукция по dim V . Для dim V = 1 все очевидно. Пусть теперь для всех размерностей, меньших dim V , утверждение доказано. Пусть само V приводимо, т.е. некоторое подпространство V1 V G-инвариантно. Докажем, что тогда V = V1 V2 , где V2 тоже G-инвариантно. (Тогда по предположению индукции V1 и V2 разлагаются в прямую сумму неприводимых, и утверждение будет доказано.) 15


Очевидно, каждый оператор g группы G определяет оператор g на V =V1 ; полученная ~ ~ группа G | компактная подгруппа Ли в GL(V =V1 ). Стандартная проекция : V V =V1 о бладает тем свойством, что для всех g G g = g . Мы хотим построить линейное ~ ото бражение f : V =V1 V такое, что f = id и g f = f g для всех g G, и взять ~ V2 = im f . Для этого построим сначала какое-нибудь линейное ото бражение ' : V =V1 V cо свойством ' = id (это возможно, т.к. всякое подпространство линейного пространства выделяется прямым слагаемым), а затем проинтегрируем по группе G относительно инвариантной формы: f = g'g-1 !: ~ Продолжим доказательство теоремы о разложении. Группа G := Int L | компактная подгруппа в GL(L). Согласно утверждению 2, L = L1 · · · Ls , где L1 ; : : : ; Ls | неприводимые инвариантные подпространства. Что бы завершить доказательство теоремы, достаточно доказать следующие утверждения. а) G-инвариантные подпространства | это в точности идеалы в L. б) [Li ; Lj ] = 0 при i = j . в) Если M | идеал в Li , то [Lj ; M ] = 0 при j = i, т.е. M | идеал в L. Тогда M = Li или M = 0 в силу неприводимости. г) Пусть идеалы L1 ; : : : ; Lm | абелевы (одномерные), а Lm+1 ; : : : ; Ls | нет. Тогда Li Z (L) = 0 при i > m, L1 · · · Lm Z (L). д) Z (L) = L1 · · · Lm . е) Если i > m, то exp ad x для x Li нетривиально действует на Li и тривиально | на Lj при i = j . ж) Лемма Шура. Пусть G | группа, V1 и V2 | линейные пространства. Пусть имеются два гомоморфизма групп 1 : G GL(V1 ) и 2 : G GL(V2 ), причем V1 неприводимо относительно группы im 1 , а V2 | относительно im 2 . Пусть f : V1 V2 | такое линейное ото бражение, что f 1 (g) = 2 (g) f для всех g G. Тогда f | либо нулевое, либо изоморфизм. з) Любой неабелев простой идеал в L совпадает с одним из Li при i > m. (В самом деле, только одна из проекций его на Li может быть изоморфизмом.) Следствие. Идеалы Lm+1 ; : : : ; Ls определены однозначно. и) Lm+1 ; : : : ; Ls | компактные алге бры Ли. Очевидно, эти алге бры Ли о бладают инвариантным скалярным произведением (индуцированным из L). Лемма о простоте комплексификации вытекает из задач 2.b и 4. 1. Пусть о бозначает сопряжение в gC относительно g. (a) Если h gC | такой идеал, что h = h, то либо h = 0, либо h = gC . (b) Если h | со бственный идеал в gC , то gC = h h. 2. Комплексной структурой Ли на вещественной алге бре Ли L называется линейное ото бражение J : g g такое, что J 2 = -id и [J x; y] = [x; J y ] для всех x; y g. (Полагая (a + bi)x = ax + bJ x для a; b R и x g, мы превращаем g в комплексную алге бру Ли.) (a) Если h | со бственный идеал в gC , то J : x + y ix - iy, x h, y h, | корректно определенная комплексная структура Ли в g. (b) Если g | простая вещественная алге бра Ли, то либо gC проста, либо g имеет комплексную структуру Ли. 3. Пусть алге бра Ли L о бладает инвариантным скалярным произведением w и пусть J : g g | комплексная структура Ли. Рассмотрим разложение L = Z (L) L1 · · · Lk в прямую сумму центра и полупростых идеалов. Положим I := L1 · · · Lk . 16
§8.
g G

Доказательство леммы о простоте комплексификации


(a) [g; g ] = I . (b) J I = [J g; g ]. (c) J I = I . (d) J |I | симметрическое прео бразование относительно w. (e) все со бственные значения J |I вещественны. (f ) I = 0. Указание. Следует из (e) и (J |I )2 = -I d. 4. Если вещественная алге бра Ли имеет инвариантное скалярное произведение и комплексную структуру Ли, то она коммутативна.
§

Пусть g1 , g2 | такие две простые компактные вещественные подалге бры простой комплексной алге бры Ли g, что g g1 g2 . Нужно построить автоморфизм ' : g g, перево= C= C дящий g1 в g2 . Обозначим через и сопряжения относительно g1 и g2 , соответственно: для X; Y g1 положим (X + iY ) := X - iY ; определяется аналогично. Искомый автоморфизм задается формулой := (( )2 )1=4 . Что бы извлечь корень четвертой степени из оператора, мы докажем, что ( )2 | положительный оператор относительно некоторого положительно определенного скалярного произведения на алге бре g. А это будет вытекать из симметричности и невырожденности оператора := . Для того, что бы определить такое скалярное произведение, нам потре буется следующая билинейная форма, которую можно ввести на любой алге бре Ли. Пусть g | алге бра Ли (над R или над C). Ее билинейная форма Киллинга определяется формулой (X; Y ) := tr adX adY : (Как известно, след линейного оператора не зависит от базиса.) Отметим, что форма Киллинга не о бязана быть невырожденной. Например, форма Киллинга коммутативной алге бры Ли | тождественно нулевая. Заметим, что форма Киллинга понадо бится нам не только в этом параграфе, но и в §11. Осталось доказать следующие три леммы. Лемма 1. Формула f (X; Y ) := -(X; Y ) задает положительно определенную эрмитову форму на g. Лемма 2. Оператор := симметричен относительно формы f . Лемма 3. Для := (2 )1=4 имеем g1 = g2 . Доказательства лемм 1 и 2 намечены в следующих несложных задачах (при этом в одной из них используется нетривиальный результат, доказанный в следующем параграфе). Более конкретно, лемма 1 доказывается в задачах 2{4, а лемма 2 в задаче 1. 1. (a) | (о бычный линейный) автоморфизм алге бры Ли g. (b) Форма Киллинга на алге бре Ли инвариантна относительно автоморфизмов этой алге бры. (c) Докажите лемму 2. Указание: из (a) и (b) получим: f (X; Y ) = -(X; Y ) = -(X; -1 Y ) = -(X; Y ) = f (X; Y ): 2. (a) f | полуторалинейная форма на g (т.е. f линейна по первому аргументу и f (Y ; X ) = f (X; Y ) для всех X; Y g). (b) Форма Киллинга на вещественной алге бре Ли, о бладающей инвариантным скалярным произведением, неположительно определена. Указание. Это следует из того, что в ортонормированном относительно инвариантного скалярного произведения базисе все операторы adX , X g, записываются кососимметрическими матрицами. 17

9. Доказательство единственности в теореме комплексификации


(c) Пусть a | вещественная форма некоторой комплексной алге бры Ли h, а (·; ·)a и (·; ·)h | формы Киллинга на a и на h, соответственно. Тогда (X; Y )h = 2(X; Y )a для всех X; Y a. 3. Для подмножества M g обозначим M := {x g : y g : M (x; y) = 0}. (a) Если a | идеал, то a | тоже идеал. (b) Если a | идеал, то форма Киллинга на a совпадает с ограничением формы Киллинга на g на идеал a. (c)* Лемма о нулевой форме Киллинга. Если форма Киллинга алге бры Ли L тождественно равна нулю, то [L; L] = L. Указание: доказательство нетривиально и приводится в следующем параграфе. (d) Выведите из (a,b,с) следующую теорему о невырожденности формы Киллинга Теорема о невырожденности формы Киллинга. Форма Киллинга некоммутативной комплексной простой алгебры Ли невырождена. Указание к 3d. Действительно, если форма Киллинга алге бры Ли g вырождена, то g | ненулевой идеал в силу 3a. Тогда со бственная форма Киллинга на g равна нулю в силу 3b. Если g = g, то [g; g ] = g в силу 3c. Но тогда идеал [g; g ] о бязан быть нулевым, т.е. g коммутативна, что противоречит условию. Заметим, что эта теорема будет использоваться и дальше в §11, при классификации простых комплексных алге бр Ли. Замечание. Используя примерно те же идеи, что и при доказательстве теоремы о невырожденности формы Киллинга, можно доказать следующее утверждение (которое не будет использоваться в этом тексте). Критерий Картана. Форма Киллинга алгебры Ли g (вещественной или комплексной) невырождена тогда и только тогда, когда g не имеет (ненулевых) коммутативных идеалов. 4. (a) Выведите из теоремы о невырожденности формы Киллинга невырожденность формы Киллинга вещественной формы простой комплексной некоммутативной алге бры Ли. (b) Докажите лемму 1. Набросок доказательства леммы 3. Положим u := g1 . Тогда u тоже будет вещественной формой алге бры Ли g, о бладающей инвариантным скалярным произведением. Соответствующая ей вещественная структура будет иметь вид = -1 . ~ Алге бра Ли u, как и всякая вещественная форма простой комплексной алге бры Ли, тоже будет проста. (В самом деле, если u u | идеал, то u + iu | идеал в g размерности не больше 2 dim u .) Значит, форма Киллинга алге бры g будет отрицательно определена на u. Можно доказать, что 5.(а) = . ~~ 5.(b) u = u. Это значит, что u есть прямая сумма со бственных подпространств оператора с со бственными значениями 1 и -1: u = u+ u- . 5.(c) u+ u g2 и u- u ig2 . Сравнение размерностей показывает, что u+ = u g2 и u- = u ig2 . Итак, u = (u g2 ) (u ig2 ). Но форма Киллинга алге бры Ли g отрицательно определена на u и на g2 и положительно определена на ig2 . Поэтому u = u g2 = g2 . Стало быть, g2 = g1 . Вещественная подалге бра h в комплексной алге бре g (которую можно рассмотреть и как вещественную) называется вещественной формой алге бры g, если g hC . = 18

Замечание о сопряжении.


6. Это эквивалентно тому, что g = h ih и тому, что любой базис h над R есть базис g над C. Вещественные формы комплексной алге бры Ли можно описывать с помощью соответствующих им операций сопряжения. Вещественная структура (или сопряжение) в комплексной алге бре Ли g | это инволютивный антилинейный автоморфизм : g g, то есть такое биективное ото бражение , что ( a) = a, 2 = id и [x; y] = [ x; y ] для всех x; y g. Это определение оправдывается следующим утверждением: 7. (a) Если h | вещественная форма комплексной алге бры Ли g, то комплексное сопряжение x + iy x - iy, где x; y h, | вещественная структура. (b) Обратно, если | вещественная структура в комплексной алге бре Ли g, то g = {a g : (a) = a} | вещественная форма алге бры g .
В этом параграфе мы построим разложение произвольной комплексной алге бры Ли в прямую сумму подпространств. (В отличие от теоремы о разложении, это будет прямая сумма в смысле линейных пространств, а не алге бр Ли.) Это разложение и свойства подпространств используются при доказательстве леммы о нулевой форме Киллинга в этом параграфе, а также в следующем параграфе. (Заметим, что в этом параграфе никакие результаты предыдущего параграфа не понадо бятся.) Построение разложения основано на следующих двух фактах из линейной алге бры. Теорема о корневом разложении для оператора. Для любого линейного оператора X в конечномерном линейном пространстве V над C пространство V разлагается в прямую сумму корневых подпространств
V (X ) = {v V : (X - I d)N v = 0 для некоторого N } : V=
k j =1

§10.

Корневое разложение

Vj , где 1 ; : : : ; k | все собственные значения оператора X .

Лемма о корневых подпространствах операторов. Если линейные операторы A; B : V V таковы, что для некоторого количества скобок верно условие
[A; [A; [: : : ; [A; B ] : : : ]] = 0; ()

то корневые подпространства A инвариантны относительно B . Доказательство. Индукция по числу ско бок. Используем тождество
[AN ; B ] = [A; B ]AN
-1

+ A[A; B ]AN

-

2

+ · · · + AN -1 [A; B ]:

Для построения разложения будут использованы операторы adX на алге бре Ли, где X про бегет все элементы некоторой подалге бры в этой алге бре. Теорема о корневом разложении и лемма о корневых подпространствах операторов по буждают рассматривать совместные корневые подпространства этих операторов. Пусть g | комплексная алге бра Ли, а t g | ее подалге бра. Корнем подалге бры t называется такой линейный функционал : t C, для которого существует такой ненулевой элемент x g, что [h; x] = (h)x для всех h t: (Т.е. x | о бщий со бственный вектор операторов adh для всех h t.) 19


операторов adh со значением (h):

Корневое подпространство корня | это пересечение всех корневых подпространств
g=

ht

ker(adh - (h)I d)dim g :

Алге бра Ли g называется нильпотентной, если для некоторого n N и любых 1 ; : : : ; n g верно равенство [1 ; [2 ; [: : : ; [n-1 ; n ] : : : ]]] = 0: Замечание. Очевидно, нильпотентность алге бры Ли L влечет следующее свойство: найдется такое натуральное n, что [x; [x; [: : : ; [x; y ] : : : ]]] = 0 для всех x; y L, где количество ско бок равно n. А это свойство влечет выполнение условия леммы о корневых подпространствах для операторов adx и ady . На самом деле это свойство равносильно нильпотентности. Теорема о корневом разложении. Пусть t | ненулевая нильпотентная подалгебра комплексной алгебры Ли g. Тогда
g=

| корень

g:

Это разложение называется корневым разложением. Начало доказательства теоремы о корневом разложении. Операторы adx ; x t, о бразуют нильпотентную подалге бру в gl(g). Теорема о корневом разложении для оператора и лемма о корневых подпространствах операторов, примененные к этим операторам, позволяют разложить всю алге бру g в прямую сумму подпространств, инвариантных относительно всех этих операторов. Оказывается, в силу того, что алге бра Ли ограничений операторов adx для x t на каждое из этих подпространств тоже нильпотентна, в каждом подпространстве эти ограничения имеют о бщий со бственный вектор. Это следует из приведенной ниже теоремы. Теорема Ли. Пусть g | матричная комплексная алгебра Ли (т.е. подалгебра в gl(V ) для некоторого конечномерного линейного пространства V над C), причем [g; g ] = g. Тогда существует общий собственный вектор всех операторов алгебры g, т.е. ненулевой вектор v V такой, что для любого X g выполнено X (v) = (X )v. 1. Если g | нильпотентная алге бра Ли, то [g; g] = g. Указание. Для доказательства нужно рассмотреть минимальное n такое, что [1 ; [2 ; [: : : ; [n-1 ; n ] : : : ]]] 0 для любых 1 ; : : : ; n g. Завершение доказательства теоремы о корневом разложении. Заметим, что для каждого x t всякое подпространство h из построенного разложения целиком лежит в какомто корневом подпространстве V(x) оператора adx . Соответствующее со бственное значение (x) линейно зависит от x, поскольку по теореме Ли в h есть о бщий со бственный вектор операторов adx . Значит, (x) | корень подалге бры t и h g . Для доказательства теоремы Ли понадо бится лемма. Лемма. Пусть v | общий собственный вектор операторов некоторого идеала g1 g, а X g. Тогда X v | тоже общий собственный вектор операторов идеала g1 . Набросок доказательства. Для Y g1 имеем Y v = a(Y )v, a : g1 C. Поэтому Y X v = X Y v + [Y ; X ]v = (Y )X v + ([Y ; X ])v. По индукции получаем, что Y X k v линейно выражается через v; X v; : : : ; X k v, причем коэффициент при X k равен (Y ). Пусть m | наибольшее число, для которого векторы v; X v; : : : ; X m-1 v линейно независимы. Подпространство V1 в V , порожденное этими векторами, X -, X k - и Y -инвариантно. Матрица оператора (X Y - 20


Y X )|V1 в базисе (v; X v; : : : ; X m-1 v) имеет диагональные элементы ([X; Y ]). Поэтому ее след равен m([X; Y ]) = 0. Значит, Y X v = (Y )X v . Набросок доказательства теоремы Ли. Индукция по размерности алге бры g. Для одномерной алге бры Ли утверждение теоремы очевидно. Предположим теперь, что для всех алге бр Ли размерности меньше dim g теорема доказана. Возьмем линейное подпространство g1 коразмерности 1 в алге бре Ли g, содержащее ее коммутант [g; g ]. Тогда g1 | идеал. Возьмем X g - g1 . Пусть v | о бщий со бственный вектор операторов идеала g1 (он существует по предположению индукции). Подпространство v; X v; X 2 v; : : : является X -инвариантным и поэтому содержит со бственный вектор u оператора X . Так как u = p(X )v для некоторого полинома p (при этом p(X ) может не лежать в g), то u будет также о бщим со бственным вектором операторов идеала g1 . 2. Лемма о свойствах корневых подпространств. Пусть g | комплексная алгебра Ли, t | ее нильпотентная подалгебра. Рассмотрим корневое разложение алгебры g: g = g . Тогда: | корень 1) 0 | корень, и t g0 . 2) [g ; g ] g + . Указание: (adh - - )[e ; e ] = [(adh - )e ; e ] + [e ; (adh - )e ]. 3) Если x; y t, то (x; y) = (x) (y) dim g . | корень Указание: это свойство становится очевидным, если выбрать в алгебре g базис, в котором все операторы adx при x t записываются верхнетреугольными матрицами, см. ниже. 4) Если , - и | корни, то на [g ; g- ] выполняется равенство = для некоторого числа Q. 5) Если и - | корни и h [g ; g- ], то

(h ; h ) = ( (h ))2

| корень

2 dim g :

6) Для любого корня имеем ([t; t]) = 0. См. указания в lieold.tex. Приведем набросок доказательства пункта 3 леммы. Следствие из теоремы Ли. Если L | нильпотентная алгебра операторов в комплексном пространстве V , то в некотором базисе пространства V все ее элементы записываются верхнетреугольными матрицами. Доказательство. По задаче 1 после теоремы Ли L = [L; L]. Значит, по теореме Ли найдется о бщий со бственный вектор v1 V . Рассмотрим алге бру, индуцированную g в факторпространстве V = v1 . Она также нильпотентна, а значит, имеется о бщий со бственный вектор v2 V = v1 . Значит, X (v2 + v1 ) = 2 (X )(v2 + v1 ) для всякого X L, т.е. X v2 = 2 (X )v2 + (X )v1 , и так далее. Утверждение. Пусть g | комплексная алгебра Ли и t | ее нильпотентная подалгебра. Тогда существует такой базис алгебры g, что все матрицы операторов adx для x t в этом базисе будут иметь блочно-диагональный вид с верхнетреугольными блоками на диагонали. Доказательство. Алге бру g можно разложить в прямую сумму корневых подпространств относительно подалге бры t. Ограничения операторов adx для x t на каждое из этих подпространств о бразуют нильпотентную алге бру. По следствию из теоремы Ли в каждом из этих подпространств можно выбрать базис, в котором эти операторы записываются верхнетреугольными матрицами. Вместе эти базисы составляют базис алге бры g. Легко понять,
21


что на главной диагонали в матрице ограничения adx на корневое подпространство g стоят числа (x). Нильпотентная подалге бра t в алге бре Ли g называется подалге брой Картана или картановской подалге брой, если t совпадает с корневым подпространством нулевого корня для се бя: t = g0 . (Напомним, что t g0 для любой нильпотентной подалге бры | см. пункт 1 леммы о свойствах корневых подпространств.) Из следующего утверждения вытекает, что в любой комплексной алгебре Ли существуют картановские подалгебры. Утверждение. Корневое подпространство оператора adX для нулевого собственного значения, имеющее минимальную размерность среди всех таких подпространств для X g, является картановской подалгеброй. Набросок доказательства леммы о нулевой форме Киллинга из §10. Пусть L = [L; L]. Пусть t | картановская подалге бра алге бры L. Тогда t порождается коммутаторами вида [ ; - ], где L . Если ненулевых корней нет, то t [L0 ; L0 ] = [t; t]. Тогда t не нильпотентна (см. замечание после теоремы Ли в §10). Пусть есть ненулевой корень такой, что - | тоже корень и h = [ ; - ] = 0. Тогда 0 = (h ; h ) = ( (h ))2 | корень
2 dim L :

Это и = 1 влечет (h ) = 0. Тогда (h ) = 0. Поскольку t порождается [t; t] и элементами h , то (t) = 0. То есть ненулевых корней нет, что противоречит доказанному.
§11.

В этом параграфе мы получим список всех комплексных простых алге бр Ли. Для этого мы сопоставим каждой такой алге бре некоторый геометрический о бъект | систему векторов в евклидовом пространстве с определенными свойствами, а затем классифицируем такие о бъекты. Для доказательства утверждений этого параграфа понадо бятся результаты предыдущего: корневые разложения относительно картановских подалге бр, свойства корневых подпространств, а также теорема о невырожденности. В следующей лемме мы сформулируем те свойства корней на картановских подалге брах, которые понадо бятся нам для построения геометрических о бъектов, упомянутых в самом начале параграфа. На самом деле со бственно для конструкции нужны утверждения начиная с д) ???, а корневые подпространства не нужны вовсе. Лемма. Пусть g | комплексная полупростая алге бра Ли, а t | ее картановская подалге бра. Тогда выполняются следующие свойства. а) Ограничение формы Киллинга на t | невырожденная форма. Это свойство позволяет построить стандартным о бразом изоморфизм между пространствами t и t . При этом изоморфизме корню соответствует некоторый вектор h . б) Из множества ненулевых корней можно выбрать базис сопряженного пространства t . Пусть в t выбран базис из корней 1 ; : : : ; k . Тогда вектора h 1 ; : : : ; h k составят базис пространства t. в) Коэффициенты разложения любого вектора h по базису h 1 ; : : : ; h k рациональны. Определим пространство tQ как линейную о болочку векторов некоторого базиса h 1 ; : : : ; h с рациональными коэффициентами. Вследствие свойства в) все вектора h попадут в это пространство. Значит, выбрав другой базис (отвечающий другому базису корней 1 ; : : : ; k ), мы получим то же самое пространство tQ . 22

Доказательство теоремы о классификации простых комплексных алге бр Ли

k


г) Ограничение формы Киллинга на tQ | положительно определенная форма. Расширим tQ до вещественной алге бры tR и продолжим форму Киллинга по линейности, получив положительное скалярное произведение на алге бре tR . 2(h ; h ) Оказывается, если и | ненулевые корни, то число целое. Более того, можно (h ; h ) доказать следующее утверждение. Лемма о цепочке корней. Пусть и | ненулевые корни. Тогда существуют такие целые неотрицательные числа j и k, что функция + l , где l | целое число, является 2(h ; h ) = j - k. корнем в том и только том случае, когда -j l k. Верно равенство (h ; h ) Поясним геометрический смысл этого утверждения. Оно показывает, что существует цепочка корней - j ; - (j - 1) ; : : : ; + k и соответствующая цепочка векторов h - j h ; h - (j - 1)h ; : : : ; h + kh . Равенство, указанной в лемме, равносильно утверждению о том, что отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной вектору h , переводит эту цепочку векторов в се бя. 2(h ; h ) 2(h ; h ) Заметим еще, что если и | ненулевые корни, то числа и целые. (h ; h ) (h ; h ) |h | Но их произведение равно 4 cos2 (h ; h ). Возможные значения пар ( ; | cos((h ; h ))|) |h | суть (1; 0), (1; 3=2), ( 2; 2=2) и ( 3; 1=2). Зафиксируем в пространстве tR некоторый базис H1 ; : : : ; Hk и введем лексикографическое упорядочение относительно этого базиса: если x; y tR , то положим x > y, если (x; H1 ) = (y; H1 ); : : : ; (x; Hl-1 ) = (y; Hl-1 ) и (x; Hl ) > (y; Hl ) для некоторого натурального l k. Элемент x назовем положительным, если x > 0. Введенное отношение является линейным отношением порядка (т.е. если x; y tR и x = y, то либо x > y , либо x < y ). Оно о бладает естественными свойствами: если x > y , то x + z > y + z , -x > -y и rx > ry для любого вещественного r > 0. Назовем корень простым, если h > 0 и h = h + h , где h > 0; h > 0. Можно доказать следующие свойства простых корней. Утверждение. Множество h для всех простых корней о бразует базис в tR , и коэффициенты разложения любого положительного вектора h по этому базису | целые неотрицательные числа. Утверждение. Если и | простые корни, то - | не корень. (Доказательство. Предположим, что - | корень. Если h - h > 0, то h = (h - h ) + h , и тогда не простой. Иначе же h = -(h - h ) + h , и тогда не простой.) Из этого утверждения и леммы о цепочке корней следует, что если и | простые 2(h ; h ) корни, то 0. (h ; h ) Системы векторов в евкдидовом пространстве, подо бные системам векторов h для всех простых корней , называют -системами. Множество = {x1 ; : : : ; xl } Rl называется -системой, если | базис в Rl и числа (x ; x ) cij := -2 i j целые при всех i; j и неотрицательные при i = j . Числа cij о бразуют (xj ; xj ) матрицу Картана. -система называется неразложимой, если ее нельзя разбить на две непересекающиеся подсистемы так, что бы элементы разных подсистем были бы ортогональны друг другу. Утверждение. Для всякой системы простых корней 1 ; : : : ; k простой комплексной алге бры Ли множество h 1 ; : : : ; h k является неразложимой -системой. 23


Две -системы называются эквивалентными, если можно так занумеровать их элементы, что их матрицы Картана станут равны. Теорема 1. Пусть g1 ; g2 | простые алгебры Ли, а их системы простых корней относительно некоторых подалгебр Картана (и упорядочивания относительно некоторых базисов этих подалгебр) порождают эквивалентные -системы. Тогда g1 и g2 изоморфны. Осталось описать все возможные неразложимые -системы. Их удо бно изо бражать на плоскости с помощью диаграмм Дынкина. Они строятся следующим о бразом. Пусть = {x1 ; : : : ; xl } | -система. Векторам системы мы сопоставляем точки на плоскости. Точки xi и xj соединяются кривой (ре бром) кратности cij cj i (это число от 0 до 3). На ре бре ставится знак > или <, в зависимости от того, какой из векторов, соответствующих концам ре бра, длиннее (если их длины не равны). Таким о бразом, любая неразложимая -система описывается связной диаграммой Дынкина. Теорема 2. Всевозможные попарно неизоморфные связные диаграммы Дынкина таковы: Al , l 1; Bl , l 2; Cl , l 3; Dl , l 4; G2 , F4 , E6 , E7 , E8 (см. рисунок). (Числовые индексы обозначают количество вершин диаграммы.) Всякая диаграмма Дынкина реализуется как диаграмма системы простых корней некоторой комплексной простой алгебры Ли. В построении системы простых корней данной простой комплексной алге бры Ли был допущен произвол двух видов. Во-первых, в одной и той же алге бре Ли могут существовать разные подалге бры Картана. Во-вторых, мы произвольно выбирали базис, относительно которого производилось упорядочение. Оказывается, если мы построили описанным выше спосо бом некоторую -систему, то, сделав иной выбор на первом или на втором шаге, мы получили бы -систему, эквивалентную построенной. Это вытекает из следующих двух теорем. Теорема 3. Любая подалгебра Картана простой комплексной алгебры Ли переводится в любую другую подалгебру Картана некоторым изоморфизмом этой алгебры. Теорема 4. Пусть g | простая комплексная алгебра Ли, t | ее подалгебра Картана, и пусть 1 ; : : : ; k и 1 ; : : : ; k | две системы простых корней относительно t (построенные с помощью разных упорядочений). Тогда существует ортогональное преобразование пространства tR , переводящее множество {h 1 ; : : : ; h k } в множество {h 1 ; : : : ; h k }. Теоремы 3{6 нетривиальны, однако мы не будем приводить схем их доказательства. Заметим только, что доказательства теорем 3 и 5 относятся к теории алге бр Ли, а доказательства теорем 4 (в части классификации -систем) и 6 относятся к геометрии пространств Rn . Следующие технические утверждения о корневых подпространствах позволяют доказать свойства а){г) из леммы в начале этого параграфа. 1. а) Если + = 0, то g g . б) Если | корень, то - | тоже корень. в) Сужение формы Киллинга на подалге бру Картана невырождено. г) Если h t и (h) = 0 для любого корня , то h = 0. д) Размерность пространства корней не меньше размерности t. е) t коммутативна. ж) Если e± g± и [e ; e- ] = 0, то ([e ; e- ]) = 0. Для каждого ненулевого корня возьмем о бщий со бственный вектор e g операторов adh , h t. Можно считать, что (e ; e- ) = 1. Положим h := [e ; e- ]. 2. а) (h) = (h; h ). б) (h ) = 0 и h = 0. 24


в) dim g = 1. г) k не корень при целом k 2. Указание. Пространство E :=< e- > k0 gk является e - и e- -инвариантным. Поэтому 0 = tr adh |E = (h )(-1 + dim g1 + 2 dim g2 + : : : ). Поскольку сужение формы Киллинга на t невырождено, мы можем построить стандартный изоморфизм f : t t. При этом изоморфизме корню соответствует вектор h в силу утверждения 2а. В силу 1д в t можно выбрать базис из корней, а в t | базис из векторов h. 3. а) Если | корень и p; q | наибольшие числа, для которых все функции + p ; + 1 1 (p - 1) ; : : : ; - q | корни, то (h ) = 2 (q - p) (h ) = 2 (q - p)(h ; h ). б) (h ; h ) Q. в) В t существует базис вида h 1 ; : : : ; h s . г) Коэффициенты разложения h по этому базису рациональны. Указание. (h ; h i ) = (h i ) = i i (h i ). д) tQ := {1 h 1 + · · · + s h s | i Q} не зависит от выбора базиса h 1 ; : : : ; h s . е) Метрика Киллинга положительно определена на tQ .

25