ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. Геометрические образы и ассоциации в математике
   1. Образы в топологии
   2. Образы в теории многообразий
   3. Образы в математическом анализе
   4. Образы в теории дифференциальных уравнений и физике
   5. Образы в вариационном исчислении
   6. Образы в алгоритмической и компьютерной геометрии
   7. Образы в общематематических концепциях
Ю.И.Манин. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ

1. ОБРАЗЫ В ТОПОЛОГИИ

МАТЕМАТИКА: РОГАТАЯ СФЕРА (СФЕРА АЛЕКСАНДЕРА)

Изображен объект, хорошо известный в трехмерной топологии. Наглядно демонстрируется один из важных фактов в теории вложений двумерных поверхностей в трехмерное евклидово пространство. Хорошо известно, что если двумерная сфера гладко вложена в трехмерное евклидово пространство (т.е. вложена как гладкая несамопересекающаяся поверхность), то она разбивает пространство на две открытые области. Одна из них гомеоморфна трехмерному шару, а другая — дополнению к этому шару в пространстве. Обе эти области односвязны. Это означает, что любой непрерывный замкнутый путь (т.е. петля), лежащий в области, непрерывно стягивается по ней в точку.

Интуитивно очевидным кажется следующее предположение: односвязность этих двух областей остается справедливой и для топологических (т.е. непрерывных) вложений сферы в трехмерное евклидово пространство. Напомним, что такое вложение задается непрерывным отображением сферы в пространство, устанавливающим гомеоморфизм сферы с ее образом. (Гомеоморфизм — это взаимно-однозначное и непрерывное в обе стороны отображение).

Однако здесь интуиция нас обманывает. Оказывается, топологические вложения сферы могут быть устроены существенно сложнее, чем гладкие вложения. Одно из таких (так называемых «диких») вложений и видит читатель. Оно не является локально плоским.

Вложение строится поэтапно и является «пределом» (в некотором точном смысле) следующих гладких (а потому — локально плоских) вложений. Нужно «зацепить пальцы рук» как показано на рисунке, причем пальцы не должны касаться друг друга. После этого из «конца каждого пальца» вырастают два новых пальца (меньшего размера), которые также зацепляются, не касаясь друг друга. И так далее. На каждом шаге число вновь вырастающих пальцев удваивается. В результате вложение усложняется.

«Переходя к пределу», мы и получаем искомое топологическое вложение сферы. Оно не локально плоское в бесконечном числе точек. Замечательно, что получившаяся «рогатая сфера» разбивает трехмерное пространство на две области, из которых одна гомеоморфна шару, а вторая — неодносвязна.

МИФОЛОГИЯ

Узлам в древности придавался глубокий мистический смысл (в частности, заузливанию пальцев и т. п.). С точки зрения гомеопатической магии считалось, что скрещивание нитей, затягивание узлов, скрещивание рук или ног (когда вы усаживаетесь поудобнее), противодействует свободному протеканию событий. Узлы могут убивать или излечивать. Теория узлов и зацеплений была одним из важнейших предметов, который изучали средневековые маги и колдуны. Хорошо известное правило, предписывающее участвовать в магических и религиозных обрядах с распущенными волосами и босыми ногами, также основывалось на опасении, что наличие узла или чего-то стягивающего на голове или на ногах участников отрицательно скажется на эффективности обряда. Подобную же способность некоторые народы приписывают кольцам. Вероятно поэтому у древних греков существовало правило (приписываемое Пифагору), запрещавшее ношение колец. (Дж.Дж.Фрэзер. «Золотая ветвь».)

МАТЕМАТИКА: ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Справа видны сферы — простейшие 2-многообразия. Слева, как листья гигантских папоротников, вырастают проективные плоскости. Наверху — тор, «бублик». На переднем плане — лист Мебиуса, в виде «скрещенного колпака». Здесь же — двумерные поверхности большого рода, т.е. сферы с большим числом ручек. А также — две поверхности, не являющиеся многообразиями. Это — сферы с тремя отождествленными точками. Получается нечто похожее на морское животное. Легко убедиться, что скрещенный колпак в действительности представляет собой лист Мебиуса. Он расположен в пространстве так, что его граница стала плоской окружностью. Проективная плоскость получается склейкой диска с листом Мебиуса по их общей границе. Поэтому «папоротник» связан как с листом Мебиуса, так и с проективной плоскостью. Проективную плоскость нельзя вложить в R³ без самопересечений. Однако самопересечения можно устранить, «выйдя» в четырехмерное пространство.

МИФОЛОГИЯ

Путешественник испугался, случайно оказавшись в этом диком зоопарке. Древние считали, что все объекты окружающего нас мира имеют душу (камни, реки, растения). Однако увидеть это могут далеко не все.

МАТЕМАТИКА: ЛОКАЛЬНО ГОМОЛОГИЧЕСКИ НЕТРИВИАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Изображено двумерное топологическое пространство (бесконечный полиэдр), все группы гомологий которого тривиальны, то есть равны нулю. Это означает, что любой цикл на этой «поверхности» можно затянуть пленкой, т.е. представить в виде границы некоторой «пленки» на единицу большей размерности. В теории гомологий цикл, являющийся границей некоторой «пленки», считается тривиальным. Группы гомологий — важные топологические инварианты пространств, естественно появляющиеся во многих вопросах геометрии, механики, математической физики. Цикл можно наглядно представлять себе как «поверхность» без границы.

Изображенный полиэдр содержит две замечательные точки. Одна из них — в левом нижнем углу, а другая отнесена в бесконечность. Каждая из точек замечательна тем, что любая их открытая окрестность (не совпадающая со всем полиэдром), имеет нетривиальную (т.е. отличную от нуля) группу одномерных гомологий. Полиэдр склеен из бесконечного числа «раковин», каждая из которых изображается колпаком, верхушка которого приклеена (в одной точке) к основанию колпака. Если разрезать полиэдр в любом месте, то обязательно разрежется по крайней мере одна раковина. В результате в колпаке появится дырка. Она и является нетривиальным одномерным циклом, который нельзя затянуть пленкой, целиком лежащей внутри отрезанной части полиэдра.

Полиэдр сконструирован так. Отверстие каждой раковины заклеено «завитком» следующей раковины. Именно этим объясняется описанное свойство полиэдра. При приближении к особым точкам полиэдра, раковины уменьшаются.

МИФОЛОГИЯ

В средние века кое-где существовал запрет на ношение колец и узлов. Некоторые народы, — например, индусы, — находили замечательный выход. На руку надевали браслеты в виде незамкнутых спиралей. И не кольцо, и не узел, и красиво. Полинезийский жрец во время праздника иногда выходил со змеей, обвившейся вокруг руки по спирали.

МАТЕМАТИКА: РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Расслоение — одно из важнейших понятий современной топологии. Такое пространство представляется в виде объединения слоев, т.е. таких подпространств, которые «похожи друг на друга». Например, гомеоморфны какому-то одному фиксированному пространству. Далее, они должны быть «параметризованы» точками другого пространства, называемого базой расслоения. Поэтому расслоение можно «спроектировать» на базу. На рисунке слои изображены в виде повторяющихся человеческих фигур. Слои расслоения могут быть устроены чрезвычайно сложно. Расслоение называется локально тривиальным, если прообраз любого достаточно малого «шара» базы (при проекции) является прямым произведением «шара» на слой.

МИФОЛОГИЯ

Изображена одна из йогических поз, предназначенная для уравновешивания духа. Средневековая легенда о Големе — оживляемом магическими средствами глиняном великане-роботе. Считали, что можно вылепить из глины фигуру десятилетнего ребенка и оживить ее специальным заклинанием. Фигура быстро растет, достигает исполинского размера и нечеловеческой мощи. Она послушно исполняет порученную ей работу. Впрочем, если произнести неправильное заклинание, чудовище может выйти из-под контроля и уничтожить своего создателя. Легенды считают создателем Голема раввина Лева (XVI–XVII века).

МАТЕМАТИКА: ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ЗООПАРК

Изображены интересные двумерные полиэдры, возникающие в топологии, геометрии, теории минимальных поверхностей и позволяющие наглядно продемонстрировать нетривиальные математические теоремы.

Справа вверху зритель видит юмористическую сценку. «Оживший полиэдр» разваливается на свои составные части — раковины (скорпионы). Изогнутый к голове хвост «скорпиона» наглядно моделирует конструкцию полиэдра. Хорошо видно — как именно нужно склеивать «раковины», чтобы восстановить весь полиэдр.

Показано выворачивание наизнанку двумерного тора, в котором проделана дырка (т.е. вырезан маленький диск). Оказывается, если вывернуть такой продырявленный тор наизнанку (при помощи гомеоморфизма в трехмерном пространстве), то в результате снова получится тор с дыркой. Однако при этом параллель и меридиан начального тора поменяются местами. Другими словами, внутренняя поверхность тора станет внешней, а внешняя — внутренней.

Слева внизу (в тени колонны) лежит «ожерелье Антуана» — известный объект в общей топологии. Рядом (на освещенной площадке) — минимальная поверхность (мыльная пленка). Ее границей является окружность, обладающая тем замечательным свойством, что пленка может быть непрерывно отображена на свою границу, и при этом граница останется неподвижной. Этот пример Дж.Ф.Адамса удивителен тем, что двумерная поверхность моделируется устойчивой мыльной пленкой, затягивающей проволочный контур в трехмерном евклидовом пространстве. Видно, что эта минимальная поверхность получается склейкой обычного листа Мебиуса с так называемым тройным листом Мебиуса.

В центре зала показан 2-адический соленоид — топологический объект, подробнее о котором будет рассказано далее.

МИФОЛОГИЯ

Любопытен медвежий праздник, устраиваемый айнами — народностью острова Йезо, а прежде — на острове Сахалин. Айны, хотя и убивали медведя при первой возможности, при разделке туши стараются умиротворить божество, представителя которого они убили, с помощью целой системы просительных обрядов. Они усаживаются вокруг зверя, кланяются ему, дарят подарки. Если медведь попал в ловушку и поранился, охотники справляют искупительный обряд. Многие айны гордятся тем, что происходят от медведя. Три жреца наблюдают за правильностью исполнения обрядов.

МАТЕМАТИКА: ТЕОРЕМА О СИМПЛИЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Она играет важную роль в топологии, поскольку позволяет путем непрерывной деформации превращать любое непрерывное (а потому, быть может, очень сложное) отображение полиэдров — в симплициальное отображение, устроенное локально довольно просто. Изображен один из центральных моментов доказательства этой теоремы. Идея в том, что сначала достаточно малым шевелением в пространстве-образе очищается небольшая область, например, внутренность какого-то малого шара. Затем отображение деформируется так, что образы симплексов «выдавливаются » в подполиэдр, образованный симплексами такой же размерности или меньших размерностей.

МИФОЛОГИЯ

Широко распространен мотив похищения девушки драконом, которую затем освобождает неустрашимый герой, побеждающий чудовище и вознаграждаемый любовью пленницы. Миф обычно рассказывал о драконе, требовавшем девушек в качестве ежегодной дани. Мотив сражения героя-змееборца со змеем получил широкое распространение в фольклоре, средневековой литературе. Наиболее ярко он воплотился в легендах о святом Георгии. Дракон часто представал многоголовым чудовищем, принимавшим разные образы, в которых чаще всего присутствовал мотив огня и воды. Особую популярность миф приобретает после эпохи Крестовых Походов.

МАТЕМАТИКА: ВЫВОРАЧИВАНИЕ ДВУМЕРНОЙ СФЕРЫ НАИЗНАНКУ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Иллюстрируется известная теорема — выворачивание сферы наизнанку. Под выворачиванием здесь понимается гладкая деформация двумерной сферы в трехмерном евклидовом пространстве, во время которой не возникает углов, изломов (т.е. точек, где производная не определена или бесконечна). Однако, самопересечения поверхности допускаются. Оказывается, существует гладкая деформация, меняющая местами наружную и внутреннюю поверхности сферы. Эта деформация довольно сложна и нарисовать ее последовательные этапы не так-то просто. Мы показали лишь один из них, отвечающий середине этого процесса.

МИФОЛОГИЯ

Человеческая фигура изображает здесь появление самопересечений сферы при ее деформации. Эта поза хорошо известна в системе йогических упражнений. Способствует сосредоточению духа. Черная зеркальная поверхность присутствует в некоторых средневековых индийских мифах как средство защиты: опасный дух, увидев свое отражение, обращается в бегство. В средневековой Европе зеркала были окружены многочисленными поверьями и обычаями.