Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2009-dip-logacheva.pdf Дата изменения: Fri May 8 11:16:16 2009 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:54:32 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

Дипломная Работа

Интегрируемый случай Ковалевской-Яхьи.

студентки 5 курса Н.С.Логач?вой

Научный руководитель: академик РАН А.Т. Фоменко

Москва 2009


Содержание
1 Введение 2 Постановка задачи Ковалевской-Яхьи 3 Вычисление бифуркационных диаграмм 4 Классификация невырожденных положений равновесия 5 Рисунки 2 3 7 9 16

1


1 Введение
Мы будем рассматривать задачу о движении тяж?лого гиростата с постоянным гиростатическим моментом, в постановке которой важные результаты принадлежат Н.Е.Жуковскому, П.В.Харламову и другим классикам отечественной и мировой механики. В настоящее время по-прежнему не ослабевает интерес к этой проблеме. Прежде всего это связано с современными методами явного интегрирования уравнений, с качественными исследованиями динамических систем, с интегрируемостью по Лиувиллю. Гиростату С.В.Ковалевской посвящено не так много работ. П.В.Харламов предложил рассмотреть гиростат, распределение масс которого подчинено условиям С.В.Ковалевской, а гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Им указано инвариантное соотношение, позволяющее в эллиптических функциях проинтегрировать этот частный случай. Как показал Х.М.Яхья, интеграл С.В.Ковалевской может быть обобщ?н на гиростат при условиях, указанных П.В.Харламовым. П.Е.Рябовым были вычислены бифуркационные множества интегралов энергии и площадей, и дана их классификация. Также им были построены диаграммы случая Яхьи (нулевая постоянная площадей) с помощью методов компьютерного моделирования. П.В.Морозов в своей работе исследовал глобальные топологические инварианты слоений Лиувилля (инварианты ФоменкоЦишанга) интегрируемого случая Ковалевской-Яхьи (для случая нулевой постоянной площадей). Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям академику А.Т.Фоменко, доценту А.А.Ошемкову, кандидату ф/м наук П.Е.Рябову, кандидату ф/м наук П.В.Морозову за постоянное внимание к работе, множество ценных замечаний и консультаций.

2


2 Постановка задачи Ковалевской-Яхьи
Случай интегрируемости Ковалевской-Яхьи является обобщением классического волчка Ковалевской на случай задачи о движении тяжелого гиростата. Приведем конкретный вид уравнений и первых интегралов этой системы. Рассмотрим алгебру Ли e(3) группы Ли E (3) движений трехмерного евклидова пространства. На линейном пространстве e(3) определена скобка Ли-Пуассона двух произвольных гладких функций f и g :

{f , g }(x) = x([dx f , dx g ]),
где x e(3) , а [, ] - коммутатор в алгебре Ли e(3). В канонических координатах (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ) на линейном пространстве e(3) эта скобка записывается следующим образом:

{si , sj } = ij k sk ,
где

{ri , sj } = ij k rk ,

{ri , rj } = 0,

(1)

1 = (i - j )(j - k )(k - 1 А матрица (s,r) скобки Ли-Пуассона выглядит так: 0 s3 -s2 0 r3 -r2 -s3 0 s1 -r3 0 r1 s2 -s1 0 r2 -r1 0 (s,r) = 0 r3 -r2 0 0 0 -r3 0 r1 0 0 0 r2 -r1 0 0 0 0 1 i, j, k 3,
ij k

i).

Пусть на e(3) задана некоторая функция Гамильтона H (s, r). Рассмотрим систему уравнений: si = {si , H }, ri = {ri , H } (2)
2 2 2 Функции f1 = r1 + r2 + r3 и f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 лежат в ядре скобки ЛиПуассона и поэтому являются первыми интегралами уравнений (2). На совместных четырехмерных поверхностях уровня функций f1 и f2 : 2 2 2 4 Mg = {f1 = r1 + r2 + r3 = 1, f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 = g },

ограничение системы (2) представляет собой гамильтонову систему с двумя 4 степенями свободы. Поверхности Mg являются неособыми гладкими симплектическими подмногообразиями в e(3) , диффеоморфными T S 2 . Симплектическая структура задается ограничением скобки Ли-Пуассона из объемлющего пространства e(3) . 4 Система будет интегрируемой на поверхности Mg , если на ней существует функционально независимая с H гладкая функция K (s, r), такая что {H, K } = 0. Если такая 4 функция существует глобально на всем e(3) , то на каждом Mg возникает интегрируемая гамильтонова система с двумя степенями свободы. Параметр g имеет физический смысл постоянной площадей. 3


Рассмотрим следующее обобщение гамильтониана Ковалевской:

H=

s2 s2 (s3 + )2 1 + 2+ + a1 r1 + a2 r2 A1 A2 A3

Как впервые указал Х.М.Яхья [1, 2] для него существует дополнительный интеграл четвертой степени:

K=(

s2 - s2 s1 s2 1 2 + a2 r2 - a1 r1 )2 + ( - a1 r2 - a2 r1 )2 - 2A A

4r3 2 (s + 2)(s2 + s2 ) - (a1 s1 + a2 s2 ) 2 1 23 A A В нашем случае, гиростат подчин?н следующим условиям: главные моменты инерции удовлетворяют соотношениям A1 = A2 = 2A3 := 2A (), гиростатический момент постоянен и направлен по оси динамической симметрии волчка 1 = 2 = 0, := 3 = 0 (), параметры a1 и a2 задают положение точки подвеса волчка в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, центр масс находится также в этой плоскости. При = 0 получаем классический случай Ковалевской. Линейной заменой координат на e(3) A s1 = 2 (-a1 s1 + a2 s2 ), ~ ~ s = A (-a s - a s ), 2 2~ 1 1~ 2 2 s3 = A s3 , ~ 2 a1 (3) ~ a2 ~ r1 = - r1 + r2 , r2 = - a2 r1 - a1 r2 , ~ ~ r3 = r3 , ~ = A ~
2

где = a2 +a2 , добиваются исключения параметров A, a1 , a2 . В новых переменных 1 2 (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ), скобка Ли-Пуассона, будет пропорциональна исходной: ~~~~~~

(s,r) = ~~

2 A

(s,r)

Интегралы f1 , f2 останутся точно такими же, а гамильтониан и дополнительный интеграл K примут упрощенный вид:

s2 s2 (s3 + )2 - r1 , H= 1+ 2+ 4 4 2 s1 s2 s2 - s2 2 1 + r1 )2 + ( + r2 )2 - (s3 + 2)(s2 + s2 ) - 2r3 s1 . 2 1 4 2 2 Здесь и далее мы для простоты используем старые обозначения для новых переменных. K=(
4


Уравнения (2) в координатах записываются в виде: s2 s2 r3 s1 = - (s3 + 2), r1 = - r2 (s3 + ), 2 2 s1 s1 r3 s2 = - (s3 + 2) + r3 , r2 = - + r1 (s3 + ), 2 2 s1 r2 s2 r1 s3 = -r2 , r3 = - . 2 2 Для дальнейших исследований нам будет также удобно пользоваться координатами ( , ), в которых уравнения Эйлера-Пуассона (движения произвольного твердого тела с закрепленной точкой) имеют вид: d1 + (A3 - A2 )2 3 + 2 3 - 3 2 = (e2 3 - e3 2 ) , dt d 1 dt = 3 2 - 2 3 . d 3 + (A2 - A1 )1 2 + 1 2 - 2 1 = (e1 2 - e2 1 ) , dt (4) d3 = - . 21 12 dt d 2 dt + (A1 - A3 )3 1 + 3 1 - 1 3 = (e3 1 - e1 3 ) , d2 = 1 3 - 3 1 . dt Здесь - вектор угловой скорости тела-носителя; e - единичный вектор, который направлен из неподвижной точки к центру масс; - параметр Пуанкаре, равный произведению веса гиростата на расстояние от его центра масс до неподвижной точки. Связь между координатами (s, r) и ( , ) устанавливает следующая лемма:

Лемма. (А.О.Ошемков [3]) Отображение : R6 (s, r) R6 ( , ) задаваемое
формулами

si = -(Ai i + i ), ri = i ,
устанавливает изоморфизм системы (2) и системы (4).

(5)

При этом гамильтониан и функции f1 и f2 в координатах ( , ) с учетом соотношений (), () примут вид:
2 2 H = A1 + A2 + 2 2 2 f1 = 1 + 2 + 3 , 2 A3 + a1 1 + a2 2 , 2 f2 = 2A1 1 + 2A2 2 + (A3 + )3 .

А матрица (

, )

(

, )

скобки Ли-Пуассона будет выглядеть так: -A3 - 0 2 0 - 23 22 4A A3 + 0 -1 23 0 - 21 4A 1 -2 1 0 -2 1 0 = 2 0 0 0 - 23 A 0 3 0 -1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 - 22 2 5


Выберем подвижные оси так, чтобы центр масс находился на первой из них: (e1 , e2 , e3 ) := (1, 0, 0) и сделаем замену (он позволяет избавиться от параметров A, a1 , a2 ): ~ i = A (i ), = , ~i i (6) ~ = A, = t A,
здесь - единица измерения угловой скорости. Обратная величина A единица измерения времени. Матрица формы (, ) имеет вид: ~~ -3 - ~~ 0 2 ~ 0 - ~3 ~2 4 2 2 3 + 3 ~ ~4 ~ 0 -1 ~ 0 - ~1 2 2 1 -2 ~ 1 ~ 0 -2 1 ~ ~ 0 (, ) = ~~ A 0 - ~3 2 ~ 0 0 0 2 ~3 2 0 -1 ~ 0 0 0 1 ~ - ~2 0 0 0 0 2 2 A

-

Запишем уравнения движения гиростата в безразмерных величинах ( , ), ~~ и вернем для новых переменных прежние обозначения (уберем тильдочки):

2 2 3 1 2 3

= (3 - 2 = -(3 = 2 , = 2 3 - = 3 1 - = 1 2 -
1

)2 , - )1 - 3 , 3 2 , 1 3 , 2 1 ,
A

(7)

где точка - дифференцирование по безразмерному параметру = Первые интегралы системы перейдут в следующие функции:

t.

f1 1 2 + 2 2 + 3 2 = 1. (3 + )3 = g, 2 3 2 H 1 2 + 2 2 + - 1 = h, 2 K (1 2 - 2 2 + 1 )2 + (21 2 + 2 )2 + f2 1 1 + 2 2 + +2(3 - )(
1 2

+ 2 2 ) + 41 3 = k ,

6


Таким образом у нас есть четыре системы координат, между которыми мы можем свободно перемещаться, пользуясь приведенными выше заменами:

(s, r) - - ( , ) - (3) (6) (s, r) ~~ ( , ) ~~

(5)

4 На всяком четырехмерном симплектическом многообразии Mg для заданных значений , g мы получаем интегрируемую гамильтонову систему с двумя степенями свободы, задаваемую парой (Hg, , Kg, ).По теореме Лиувилля, которая подробно обсуждается, например, в [4, т.1. 1.5], всякая неособая компактная совместная поверхность уровня интегралов является объединением некоторого числа двумерных торов.

Определение. Слоением Лиувилля, отвечающим интегрируемой системе,

4 называется разбиение многообразия Mg на связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов H, K .

3 Вычисление бифуркационных диаграмм
В этом пункте мы излагаем результаты М.П.Харламова и П.Е.Рябова, которые будут использованы нами в дальнейшем, а также вводим необходимые понятия и обозначения. Введ?м отображение момента, которое определяется следующим образом:
4 H Ч K : Mg R2 (h, k )

(8)

Определение. Образ критических точек при отображении момента называется
бифуркуционной диаграммой
,g h,k

.

Заметим, что здесь параметры и g зафиксированы. Бифуркационная диаграмма представляет собой набор гладких кривых, имеющих точки пересечения, касания и возврата. В [5] указаны кривые на плоскости R2 (g , ), разделяющие области с различными типами бифуркационных диаграмм. А также найден явный вид бифуркационных кривых на плоскости R2 (h, k ). Обозначим через (g , ) множество, которое состоит из тех значений (g , ) R2 (g , ), при переходе через которые меняется вид сечения ,g плоскостью h,k {g = const, = const}. Тогда это множество устроено следующим образом:

7


Теорема 1. (П.Е.Рябов)
1 (g , ) = 1 - 4g = 0, 4t4 - 1 2 (t) = -2t3 , - 4t2 3 (s) = 4 (t) = 5 (t) = s2 - 1 3 , -s 4s - (3t2 - 1)2 , 4t3 -

(g , ) =

5 i=1

i , где

1 , t - , 0 , 2 , s [-1, 0), , (t2 - 1)3 t3 , , t [-1, 0).

(t2 - 1)3 , 2t3

(3t2 - 1)2 2t3

Это множество изображено на рисунке 1. Видим, что следует различать 18 типов диаграмм. Бифуркационное множество ,g , согласно следующим утверждениям, выглядит h,k так:

(8) в задаче С.В.Ковалевской-Х.М.Яхьи принадлежат 1 2 , т.е.

Теорема 2. (П.Е.Рябов) Все критические значения отображения момента
,g 1 2 , h,k

где

1 :

k = 1, h -1,

k = 1 + (h - 2 h , 2

2 2 ) 2

,

g = 0;

g 2 h = 1 + - 1 , 2 4 k = 1 + 1 + 2g 1 ,

2

g = 0,

2 :

h 0, k = 0,

= 0;

h = 2g 2 - - s + 2s2 , 2 k = -42 g 2 + (s + 2 )2 -

2

2

2 (2 +2s2 ) s2

,

= 0.

Теорема 3. (П.Е.Рябов)

В случае 1 - 4g 0 для s (-, s1 ) на кривой 2 отсутствуют критические движения. В случае 1 - 4g < 0 для s (-, s ) на кривой 2 отсутствуют критические движения. Через s обозначается одно из значений параметра на кривой 2 , для которого i пересекаются, s1 =
-1- 1-162 g 8g 2
2

.

Теорема 4. (П.Е.Рябов) Все критические окружности пересекают плоскость
= {2 = 2 = 0}.

8


4 Классификация невырожденных положений равновесия
4 2 2 2 Итак, Mg = {f1 = 1 + 2 + 3 = 1, f2 = 2(1 1 + 2 2 ) + (3 + )3 = 2g }, где f1 и f2 - функции, лежащие в ядре скобки Ли-Пуассона и являющиеся первыми интегралами уравнений:

i = {i , H}, i = {i , H}
4 Определение. Точка x Mg называется точкой положения равновесия, если

dH (x) = dF (x) = 0.

Теорема 5. В случае Ковалевской-Яхьи точки положения равновесия на фазовом
пространстве системы имеют следующие координаты:

2g z - 2g z - z2 - 1 1 1 = + z 2 - 1 2 , 2 = 0, 3 = 2 , 1 = + , 2 = 0, 3 = , 2z - 1 2z - 1 z z
где z - действительный корень уравнения:

z (z 2 - 1)

2g z - 2 (2g z - )2 - z (z 2 - 1) 2 + z - 1 = 0. (2z 2 - 1)2 2z - 1

4 Других критических точек у гамильтонианов Hg на Mg нет.

Доказательство. Координаты точек положений равновесия на фазовом пространстве системы будем искать из условия dH |M 4 (x) = 0.Тогда sg radH (x) = 0, а значит правые части уравнений (7) обнулятся.

(3 - )2 (3 - )1 = 0, 2 2 3 - 3 - 3 1 1 1 2 - 2

= 0, + 3 = 0,
2 3 1

= 0, = 0, = 0,

(3 - )2 = 0, (3 - )1 + 3 = 0, = 0, 2 3 2 = 0, - = 0, 3 1 13 1 2 = 0 .

Если предположить, что 2 = 0. Тогда получим: 2 = 0, (3 - )2 = 0, ( - ) + = 0, 3 1 3 3 = 0, - = 0, 3 1 13 1 = 0. 9


2 2 2 Этот вариант невозможен в силу соотношения = 1 + 2 + 3 = 1. Таким образом необходимо 2 = 2 = 0. И система имеет вид: 2 = 0, 2 = 0, ( - ) + = 0, 3 1 3 3 1 - 1 3 = 0, 2 + 2 = 1, 1 3 21 1 + (3 + )3 = 2g .

Если 3 = 0, тогда: (3 - )1 = 0, - = 0, 13 2 1 = 1, 21 1 = 2g ,

(3 - )1 = 0, = 0, 13 1 = +1, 21 1 = 2g ,

(3 - )1 = 0, = 0, 3 1 = +1, 1 = +g ,

3 3 1 1

- = = =

= 0, 0, +1, +g ,

Таким образом, если 3 = 0, то = 0. И точки положений равновесия имеют координаты на M 4 :

1 = +g ; 2 = 0; 3 = 0; 1 = +1; 2 = 0; 3 = 0.
Пусть теперь 3 = 0:

3 1 1 - 1 1 + 3 1 = 0, 3 2 - 1 3 1 = 0, 1 2 ( 1 ) + 1 = 1 , 2 3 3 1 2g 2 1 + 3 + = , 3 3 1 1 Сделаем замену переменных. Пусть = z, = s. Заметим,что z = +1. Так 3 3 как если z = +1 = 3 = +1, и из третьего уравнения системы следовало бы, что 1 = 0, а система имела бы вид: (3 - )1 + 1 = 0, = 0, 1 3 = +1, (3 + ) = +2g , (3 - )1 + 3 = 0, | ћ 1 - = 0, | ћ 31 13 1 2 2 2 1 + 3 = 1, | : 3 (3 = 0) 21 1 + (3 + )3 = 2g .| : 3
(так как несовместны первые два уравнения системы) Итак, верн?мся к замене. Сложим первые два уравнения системы. Получим: 2 2 2 2 3 1 - 1 1 + 3 1 = 0, | : 3 z 1 - 1 sz + s = 0, z 1 - 1 sz + s = 0, = , | : = s , = s , 31 13 3 1 3 1 3 s2 + 1 = z 2 , s2 + 1 = z 2 , s2 + 1 = z 2 , 2 21 s + 3 + = 2g z , 21 s + 3 + = 2g z , 2s 3 + 3 + = 2g z , 10




2 z 1 - 1 sz + s = 0, = s 2g z - , 1 22 s + 1 s = + z 2 - 1, = 2g z - , 3 2s2 + 1 Подставим в первое уравнение системы s(z ) и 1 (z ): z 1 - 1 sz + s = 0, 2 = s , 1 3 s2 + 1 = z 2 , = 2g z - , 3 2s2 + 1 (z 2 - 1)z

2 z 1 - 1 sz + s = 0, = +z 2 - 1 2g z - , 1 2z 2 - 1 s = + z 2 - 1, = 2g z - , 3 2z 2 - 1

2g z - 2 (2g z - )2 - z (z 2 - 1) 2 + z - 1 = 0. (2z 2 - 1)2 2z - 1

Пусть на (M 4 , ) задана система c гамильтонианом H и дополнительным интегралом K . Пусть точка x M 4 такова, что dH (x) = dF (x) = 0. Тогда на Tx M корректно определены два симплектических оператора AH = -1 d2 H и AF = -1 d2 F , порождающие в алгебре Ли sp(4, R) некоторую коммутативную подалгебру K (H, F ).

Определение. Положение равновесия x называется невырожленным, если
подалгебра K (H, F ) является картановской подалгеброй в sp(4, R).

если и только если она двумерна и среди е? элементов найд?тся линейный оператор с попарно различными собственными значениями.

Определение. Коммутативная подалгебра в sp(4, R) является картановской

Таким образом, чтобы проверить невырожденность найденных точек положений равновесия, нужно проверить картановость подалгебры K (H, F ). Для начала заметим, что операторы AH и AF совпадают с линеаризациями векторных полей sg radH и sg radF соответственно, что позволяяет легко вычислять матрицы, которыми они задаются в локальных координатах. Действетельно,

(sg radH )i H 2H = ( ik k ) = ik j k = (-1 d2 H )i . j xj xj x x x
Итак, сначала нужно убедиться, что операторы AH и AF линейно независимы, и затем проверить, что некоторая линейная комбинация AH + чAF имеет попарно различные собственные значения. Невырожденные положения равновесия обладают многими замечательными свойствами. В частности их окрестности в M 4 представимы в виде почти прямого произведения 2-атомов. Это, а также другие важные свойства этого класса особенностей подробно обсуждаются в [3, т.1, гл.9].

Теорема 6. В случае Ковалевской-Яхьи при ненулевых значения параметров g и точки бифуркационных диаграмм C1 , C2 , D1 , D2 , E1 , E2 , F, G1 , G2 , H, M , N1 , N2 , N3 , N соответствуют невырожденным положениям равновесия. Их типы указаны ниже.
11

4


точка C1 , D2 , E1 , G2 , M , N C2 , D1 , E2 , G1 F , H , N1 , N 2 , N 4

3

тип центр-центр центр-седло седло-седло

Доказательство. Будем вести доказательство теоремы в координатах (s, r), так как в этих координатах скобка Ли-Пуассона записывается проще, чем в координатах ( , ). 1. Проверим, что при = 1, ч = 0 линейная комбинация будет иметь попарно различные собственные значения. Рассмотрим линеаризацию векторного потока (2) на e(3) . Дифференцируя правые части уравнений (7), получаем матрицу оператора 2AH :

2AH =

0 -(s3 + 2) -s2 0 0 0 2 + s3 0 s1 0 0 2 0 0 0 0 -2 0 0 r3 -2r2 0 -2(s3 + ) s3 -r3 0 2r1 2(s3 + ) 0 -s r2 -r1 0 -s2 s1 0



1

В точке положения равновесия (r2 = s2 = 0):

AH =

0 -(s3 + 2) 0 0 s3 + 2 0 s1 0 0 0 0 0 0 r3 -2r2 0 -2( -r3 0 2r1 2(s3 + ) 0 -r1 0 0 g radf1 = (0, 0, 0, 2r1 , 0, 2r3 ) g radf2 = (r1 , 0, r3 , s1 , 0, s3 )

0 0 0 2 -2 0 s3 + ) 0 0 -s1 s1 0



В качестве базиса касательного пространства к M 4 в этих точках можно взять вектора: 0 0 -r3 -s3 1 0 0 0 0 0 r1 s1 4 TM = 0 0 0 -r3 0 1 0 0 00 0 r1 Под действием оператора 2AH они переходят в вектора:

12


- 4 AH ћ T M =

2 - s3 0 0 0 0 0 r1 s1 - r3 (2 + s3 ) 2r1 + s2 - s3 (2 + s3 1 0 -2 0 0 r3 -2( + s3 ) 0 0 2 0 0 1 + r1 r1 s1 - r3 (s3 + 2) -r1 s1 0 0

)

Значит матрица искомого оператора 2AH в выбранном базисе на T M 4 : 0 0 r1 s1 - r3 (2 + s3 ) 2r1 + s2 - s3 (2 + s3 ) 1 2 0 0 r1 + 1 r1 s1 - r3 (s3 + 2) AH |T M 4 = s1 r - s1 s3 0 0 r1 r3 1 s1 -1 0 0 r1 Теперь ищем е? собственные значения. Сделаем замену a = r1 s1 - r3 (2 + 2 1 s3 1 s3 ), b = 2r1 + s2 - s3 (2 + s3 ), c = r1 + 1, d = s1 , f = - s1 r3 . 1 r r Тогда 0 0ab 0 0 c a 2AH |T M 4 = d f 0 0 . -1 d 0 0 -t 0 a b 0 -t c a 2AH - tE = d f -t 0 . -1 d 0 -t

A (t) = t4 + (b - 2ad - cf )t2 + (a2 - bc)(d2 + f ),
Пусть = (b - 2ad - cf ), = (a2 - bc)(d2 + f ): t4 + t 2 + = 0 , D = 2 - 4 . Если 1. D = 0: корни совпадают = надо брать другие константы в линейной комбинации AH + чAK . 2. D < 0: четыре комплексно-сопряж?нных корня = тип точки Фокус-Фокус. 3. D > 0: > 0, < 0 : 4 действительных корня = тип точки Седло-Седло. > 0, > 0 : 4 чисто мнимых корня = тип точки Центр-Центр. < 0 : одна пара действительных и одна пара мнимых корней = тип точки Центр-Седло.

Лемма. Знак дискриминанта D совпадает со знаком выражения:
s3 (4g + s3 ) 1 . r1 r3
13

(9)


Доказательство. D = (b - 2ad - cf )2 - 4(d2 + f )(a2 - bc), где a = r1 s1 - r3 (2 + s3 ), b = 2r1 + s2 - s3 (2 + s3 ), 1 2 c = r1 + 1, 1 d = s1 , r 3 f = - s1 s3 . r1 r После подстановки и упрощения получим: 2 2 16( )2 4s1 s3 4(1 + r1 )(2r1 + s2 - s3 (2 + s3 )) 256( )2 s3 (1 + r1 )(4g + s3 ) 1 1 D= = . r1 r3 r1 r3 Выражения ( ) и ( ) не приводятся в силу ненадобности и громоздкости.
Отметим что при проведении промежуточных выкладок мы активно пользовались пакетом символьных вычислений Wolfram Mathematica 6.0. 2. Осталось проверить, что в каждой точке положения равновесия операторы AH и AK линейно независимы. Из-за того, что интеграл K является сложным полиномом 4-степени сделать это не так легко. Поэтому будем вычислять лишь часть коэффициентов матрицы AK = (g rad( ћ g radK ))T . Рассмотрим точку положения равновесия x, вектор v = (0, 1, 0, 0, 0, 0) Tx M 4 . Под действием оператора AH он перейд?т в вектор (-2 - s3 , 0, 0, r3 , 0, -r1 ), а под действием оператора AK в вектор с координатами (, 0, a32 , , 0, ). Для доказательства независимости достаточно проверить, что a32 = 0. (sg radK )3 a32 (x) = (x). s2 s1 s2 2 3 s1 - 2 + 4r1 s1 + s2 r2 - s1 (s3 + 2) - 2r3 s2 s2 s3 - 1 - 4s2 r1 + s1 r2 - s2 (s3 + 2) 2 2 2 2 (s1 + s2 ) dK = 22 2 s1 - s2 + 2r1 2 s1 s2 + 2r2 -2s1

s2 s2 s1 s2 2 + 4r1 s1 + s2 r2 - s1 (s3 + 2) - 2r3 ) - s1 (s3 - 1 - 2 2 2 2 2 s1 - s2 4s2 r1 + s1 r2 - s2 (s3 + 2)) + r2 ( + 2r1 ) - r1 (s1 s2 + 2r2 ). 2 s2 s1 s2 2 + 4r1 s1 + s2 r2 - s1 (s3 + 2) - 2r3 - s1 (-s2 - 4r1 + 1 - a32 (x) = s3 - 1 1 2 2 (s3 + 2)) = 1, 5s3 + 7r1 s1 - 2r3 . 1 В силу теоремы 1 бифуркационные диаграммы внутри каждой из 18 камер гомеоморфны, а значит мы можем взять такие значения параметров g и внутри каждой камеры, что найденные координаты точек положений равновесия удовлетворяли соотношению : a32 (x) = 0. (sg radK )3 = s2 (s3 - 1
14


15


5 Рисунки

16


17


18


19


20


21


22


23


24


25


26


27


28


29


30


31


32


33


34


35


36


37


Список литературы
[1] Yehia Н.М. New integrable cases in dynamics оf rigid bodies. - Mech. Res. Com., 1986, Vol. 13(3), рр.169-172. [2] Яхья Х.М. Новые uнтегрuруемые случаu задачu о двuженuu гuростата. Becтник МГУ сер. мaтeм., механ., 1987, 4, с. 88-90 [3] А.А.Ошемков Труды Семинара по векторному и тензорному анализу вып. 25 часть 2. Издательство Московского Ун-та, 1993. [4] Болсuнов А.В., Фоменко А. Т. Интегрuруемые гамuльтоновы cucтeмы. Геометрuя. Топологuя. Классuфuкацuя. - Изд-во УдГУ 1999. [5] П.Е.Рябов Бифуркационное множество задачи о движении тв?рдого тела вокруг неподвижной точки в случае Ковалевской-Яхьи.Дисс.Волгоград 1997. [6] Харламов М.П, Рябов ПЕ. Бuфуркацuu первых uнnегралов в случае Ковалевскоq-Яхьи. - Регулярная u хаотuческая динамика, 1997, т.2, 2. [7] Г.Г.Аппельрот Не вполне симметричные тяж?лые гироскопы // Движение тв?рдого тела вокруг неподвижной точки. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1940.С.61-155. [8] М.П.Харламов Топологический анализ интегрируемых задач динамики тв?рдого тела. Л.:Изд-во Ленинградского ун-та, 1980. [9] П.В.Морозов Лиувиллева классификация некоторых интегрируемых систем механики твердого тела Москва - 2006. [10] Болсuнов А.В., Puxmep П, Фоменко А. Т. Meтoд круговых молекул u тоnологuя волчка Ковалевской. - Mameм. сборнuк, 2000, т. 191, N 2, с. 3-42. [11] Морозов ПВ. Лuувuллева классuфuкацuя uнтегрuруемых cucтeм случая Клебша. - Mameм. сборнuк, 2002, т. 193, N 10, с. 113-138. [12] Морозов ПВ. Топологuя слоений Лuувuлля случаев uнтегрuруемостu Стеклова u Соколова уравнений Кирхгофа - Maтeм. сборнuк, 2004, т. 195, N 3, с. 69-114. [13] Тоnалов П. Вычuсленuе тонкого uнварuанта Фоменко-Цuшанга для основных uнтегрuруемых случаев двuженuя твердого тела. - Maтeм. сборнuк, 1996, т. 187, И3, с. 143-160.

38