Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2009-dip-dilman.pdf Дата изменения: Fri May 15 12:13:45 2009 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:51:12 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: функция масс

Московский государственный университет.

Оценка количества вершин

n

-мерного куба, отсекаемых

касательными гиперплоскостями ко вписанной сфере

Дильман Г.В.

Научный руководитель " академик АFТF Фоменко
1.Введение.

вида где

Методология Robust оптимизации @развитая авторами PA получает выпуклые задачи
xR

min {cT x n

:
n

Ax - b LN , (A, b, c) U : xN x2 + ћ ћ ћ + x2 1 N },

()}

LN = {x R
матрицы A R
N Чn

-1

, векторы b RN , c Rn из множества параметров
L

U =

(A, b, c) = (A0 , b0 , c0 ) +
l=1

yl (Al , bl , cl )

:

y T Qk y

1, k = 1, . . . , K

для неотрицательно определенных матриц Qk . Задача @BA для = 1 N P трудна @смF PAD но она аппроксимируется @смF IA задачей @BA для > 1, которая уже вычислимаF Уровень аппроксимации ограничивается неравенством



2l n

2 1 - 2r

K

Rank Qk
k=1

Константа r " это макисмальное относительное количество вершин nEмерного кубаD отсекаемых касаE 2 тельными гиперплоскостями к вписанной сфереF То есть для каждого набора (1 , . . . , n ) : 1 + 2 ћ ћ ћ + n = 1 существует не более r2n наборов (a1 , . . . , an ) : |ai | = 1, i = 1, . . . , n, таких что n a1 1 + ћ ћ ћ + an n > 1. i=1 1 1 В I доказано @лемма АFIA что r 3 и выдвинута гипотезаD что r 4 . 1 Переформулируем гипотезу r 1 @и доказанное в I неравенство r 3 A в геометрических терминахF 4 Пусть Bn E множество вершин nEмерного куба с ребром длины два и центром в начале декартовых координат Rn D а S n-1 E вписанная в него n - 1Eмерная сфера единичного радиуса с центром в начале координатX x = (x1 , . . . , xn ) Bn : i | xi |= 1
n

y = (y1 , . . . , yn ) S

n-1

:
i=1

2 yi = 1

I


@НемировскийD БенEТаалD РосFA Для любой точки N S n-1 множество таких X B n D что (OX, ON ) > 1 имеет мощностьD не превосходящую 2n-2 D тFеF четверти количества вершин кубаF Иначе говоряD количество вершин кубаD отсеченных гиперплоскостьюD касающейся вписанной сферы @тFеF лежащих строго по разные стороны с центромA не превосходит четверти общего количества вершин куба
Гипотеза 1.

Гипотеза выдвинута в PHHI годуF В дальнейшемD мы будем использовать без пояснений следующие обозначенияX IAF nEмерный куб ! множество точекD максимум модуля координат которых равен IF PAF B n ! множество точек вида (+1, . . . , +1)D тFеF вершин куба QAF N (A) ! количество вершин кубаD отсекаемых гиперплоскостьюD касающейся сферы в точке AF n RAF N0 ! количество вершинD отсекаемых плоскостьюD касательной ко вписанной сфере в точкеD лежащей n на отрезкеD соединяющем центр куба и вершинуF То есть N0 = N (+1/ n, . . . , +1/ n) SAF Точка куба соответсвует точке сферыD если они лежат на одном лучеD исходящем из начала координатF n n TAF SK (r) ! сфера с центром в точке K и радиусом rF Нам понадобится единичная сфера S0 (1) с центром в нулеF UAF (X ) ! гиперплоскостьD перпендикулярная вектору X F

P


2.Общие факты.

утвержденияF
Лемма 1.

Этот раздел содержит основные определения и некотрые несложныеD но важные

маF Доказательство Достаточно рассмотреть гиперплоскостьD касающуюся нашей сферы в точке (1/ 2, 1/ 2, 0, . . . , 0) Тогда отрезанными будут вершины вида (1, 1, +1, . . . , +1)D а их как раз 2n-2 штукF Отсекаемое множество для точки N S n-1 E это множество таких X B n D что (OX, ON ) > 1F Иначе говоряD это подмножество вершин кубаD которые оказались с центром сферы по разные стороны от гиперплоскостиD касающейся сферы в точке N F
Определение 1. Определение 2.

Существует A S

n-1 0

(1)D такое что N (A) = 2n-2 D тFеF предполагаемая оценка неулучшаеE

совпадаютF
Замечание 1.

Область постоянства ! множество точек сферыD отсекаемые множества которых

Каждая область постоянства является открытым множествомD а касательная гиE перплоскость к любой точке на его границе проходит хотя бы через одну вершину кубаF Это утверждение сразу следует из определенийF
Определение 3. Сферой влияния или шапочкой вершины X куба назовем подмножество точек сферыD для которых точка X лежит в отсекаемом множестве Все сферы влияния устроены очень просто и однообразноF Этому посвящена Лемма 2.

Каждая сфера влияния является пересечением исходной сферы и полуплоскостиF Границей (n-1) сферы влияния является (n - 2)Eмерная сфера с радиусом
(n)

Доказательство Рассмотрим точку границы исследуемой области " сферы влиянияF Тогда касательная гиперплоскость будет проходить через вершину кубаF Рассмотрим двумерную плоскостьD проходящую через эту вершину кубаD центр куба @и сферыA и точку касания гиперплоскостиF СмF РисFIF Кроме тогоD вектор из центра куба в центр граничной сферы соноправлен с векторомD идущим в вершину и имеет длину 1/ n
Замечание 2.

N (A) ! это количество шапочекD накрывающих AF

Область постоянства E это пересечение сфер влияния отсеченных вершин и внутренE ностей дополнений до сфер влияний всех остальных вершинF
Замечание 3.

@о взаимном расположении сфер влиянияA Рассмотрим две вершины и их сферы влиянияF В случаеD если различны все координатыD сферы влияния симметричны относительно ценE тра сферы и общих точек не имеют Случай 2. Сферы влияния касаютсяD тогда и только тогдаD когда отвечают вершинамD у котроых (n - 1) координата различныF Доказательство
Лемма 3. Случай 1.

Случай IX Сферы влияния симметричны относительно центра кубаD параллельны и общих точек не имеE ютF Случай PX Без ограничения общности можно считатьD что две рассматриваемых вершины имеют видX B1 (1, 1, . . . , 1) и B2 (1, -1, . . . , -1)F Требуется доказатьD что существует ровно одна точка X на сфереD для которой выполняются одновременно два неравенстваX

(OX, OB1 ) 1 (OX, OB2 ) 1
ПричемD оба неравенства в ней обращаются в равенстваF ИтакD сложим наши неравенства и получимD что первая координата OX должна быть не меньше единицыF СледовательноD она равна единицы и оба неравнества обращаются в равенстваF Кроме тогоD остальные координаты OX определены однозначно и все равны нулюF Лемма доказанаF Q


Следующая лемма интуитивно очевиднаD но мы приведем строгое доказательствоF В ней говориться о томD что любую кривую можно немного пошевелитьD чтобы она не проходила через точкиD касательные гиперплоскости в которых проходят не менее чем через две вершиныF

@лемма о хорошей кривойA Пусть есть две точки A и B на сфереF Тогда существует кривая AB D такаяD что значение функции N (A) вдоль кривой имеет скачки вдоль кривой не большеD чем на 1F Доказательство IAF Соединим наши точки кратчайшей кривой (t), t [0, 1], (0) = A, (1) = B F Рассмотрим функцию N (t) = N ((t))F В силу лемм P и RD границу каждой сферы влияния эта кривая пересекает лишь коE нечное число разF Это означаетD что объединение границ сфер влияния пересекается с нашей кривой лишь в конечном числе точекF СледовательноD функция N (t) имеет лишь конечное число разрывовF На всех участках непрерывности она постоянна и неотрицательнаF PAF N (t) принимает только натуральные значения или ноль и является кусочноEпостояннойF Каждая точка разрыва функции соответсвует точке N ((t)) сферыD касательная гиперплоскость в которой проходит через вершину кубаF ИтакD пусть в (t0 ) имеется разрыв больше чем на IF СледовательноD в этой точке пересекаются как минимум две границы сфер влиянияF Рассмотрим маленькую окрестE ность точки N (t0 ) на сфереF Она высекает на кривой некоторый участок [t1 , t2 ]F Окрестность выберем такD чтобы N (t) имела на [t1 , t2 ] единственный разрыв в точке t0 F Эта окрестность гоE меоморфна (n - 1)Eмерному дискуF Границы сфер влияния гомеоморфны (n - 2)Eмерным дискамD а их пересечение гомеоморфно (n - 1 - k )Eмерному дискуD где k ! количество границ сфер влиянияF ПриE меним гомеоморфизмD который нашу окрестность переводит в диск x2 + ћ ћ ћ + x2 -1 = 1 с центром 1 n в нулеD а пересечение границ сфер влияния в диск меньшей размерностиD задаваемый уравнениями x1 = 0, . . . , xk = 0, x2 +1 + ћ ћ ћ + x2 -1 = 1F Кривая перешла в кривую F Пусть кривая пересекает n k границу диска в точках A и B F Окрестность была выбрана такD чтобы эти точки не лежали на образах сфер влиянияF В частностиD ни одна из этих точек не лежит на втором дискеF Сейчас мы наE учимся соединять ломанной точку A с точкой B не проходя через маленький дискF Проведем отрезок из A в A1 D которая совпадает с A во всех ненулевых разрядах A и не имеет своих ненулевых разрядовF Этот отрезок лежит внутри большего диска и не пересекает маленький дискF Точку B аналогичным образом соединим с точкой B1 F Точку A1 будем изменять по одной координатеD постепенно превращая в B1 F
Лемма 4. Определение 4. Области постоянства называются соседнимиD если их границы имеют пересечение размерности n - 2D то есть наибольшей возможной размерностиF

Замечание 4.

вершинуF

Касательная гиперплоскость в точках такого множества проходит ровно через одну

Определение 5. Область постоянства называется локально максимальнойD если все соседние по участку границы максиальной размерности области имеют меньшее значение функции N F Лемма 5. Проведем прямую из центра сферы в центр (n - 2)Eмерной грани кубаF Она пересеч? ет сферу в точке A @N (A) = 2n-2 " смF Лемму IAF Тогда областьD в которой лежит точке A является локально максимальнойF Доказательство ПредположимD что это не такF Тогда перейдем в соседнюю область постоянстваD где функция N имеет большее значениеF В этой области отрезанными являются все вершины (n - 2)Eмерного куба и ещ? какаяE е то вершина X F Это означаетD что среди вершин (n - 2)Eмерного куба найдется вершина Y D отличающаяся от нашей как минимум в n - 1 координатеF Касательная гиперплоскость делит куб на две выпуклых фигурыD значит отрезок X Y целиком лежит внутри отрезанной фигурыF Середина отрезка X Y так же отрезана и имеет как минимум n - 1 нулевую координатуD значит это центр (n - 1)Eмерной грани или центр кубаF ПротиворечиеF Лемма 6. @О множестве значенийFA Если в какихEто точках X и Y достигаются значения n и mD n > m Dто для любого n > k > m существует точка H D такая что N (H ) = k Доказательство

R


Из леммы о хорошей кривой следуетD что существует кривая D на которой значение функции
Замечание 5.

Сфера влияния выпукла во внутренней метрике сферыF

Лемма 7.

область постоянства выпукла тогда и только тогдаD когда функция N достигает на этой области локального максимума Доказательство Всякая область постоянства представляет собой пересечение некоторого числа сфер влияний и доE полнений сфер влиянияF Рассмотрим пресечение сфер влияния D соотвествующих нашей области и пересечение дополнений сфер влиянияD соответсвующих нащей области F Тогда наша область E это F E пересечение нескольких сфер влиянияD являющихся выпуклыми множествамиF Значит и E выпуклоF IAFПусть функция достигает локального максимума на областиF Рассмотрим X ( \ )F Тогда касательная гиперплоскость к X Любая точка из этого множества Тогда D то есть = F PAF Пусть область выпуклаF Ее граница E это объединение конечного числа подмножеств сфер влияния и их дополненийF Но если есть хотя бы одно подмножествоD являющеейся эдементом дополненияD то есть две точкиD которые соединяются отрезкомD лежащим вне нашей областиF
Пусть (X ) не проходит ни через одну вершину куба и отсекает множество вершин E F Построим графD вершинами которого будут являться вершины E D ребра между двумя вершинами будем проводить в том и только в том случаеD когда соответсявющие вершины куба соединены ребром кубаF ФактическиD мы отрезали часть куба и сохранили только те ребраD которые оказались отсечены целикомF
3.Графовый подход, решение задачи для размерности 4,5,6.

Определение 6.

Назов? расстоянием между вершинами A и B в графе E это минимальное количеE ем ство ребер в путиD соединяющем ихF Будем обозначать его через dist(A, B )

Эта функция dist(A, B )D задает метрику на множестве вершин графаF Проверку акE сиом предоставляем читателюF
Замечание 6. Определение 7. Определение 8.

Диаметром графа G называется max(dist(A, B ))D где A, B G Будем говоритьD что вершина P (p1 , . . . , pn ) меньше либо равна вершине Q(q1 , . . . , qn )D

если i : pi q
Лемма 8.

i

Пусть гиперплоскость (X ) с единичным нормальным вектором X отрезала граф GF Пусть пространственные координаты вершин A(a1 , . . . , an ) и B (b1 , . . . , bn ) отличаются в k разрядах @A, B GAF Тогда в G существует путь из A в B D который имеет длину k F Без ограничения общности можно считатьD что все координаты X (x1 , . . . , xn ) " положительныF Вершина R(r1 , . . . , rn ) лежит в графе G тогда и только тогдаD когда n (ri xi ) > 1F СледовательноD если i=1 вершина лежит в GD то всякая вершинаD больше либо равная ей тоже лежит в GF Рассмотрим вершину M (max(a1 , b1 ), . . . , max(an , bn ))F A M и B M D так что M тоже отрезанаF Рассмотрим путь из A в M D каждая следующая вершина которого больше предыдущей @смF РисFPAF Все вершины этого пути будут лежать в GF Рассмотрим аналогичный путь из B в M F Объединение этих путей будет состоять из k ребер и будет являться путем из A в B F Диаметр графа GD отрезанного гиперплоскостью (X ) не превосходит (n - 2)

Лемма 9.

Пусть нашлись две вершины M и N на расстоянии как минимум (n - 1)F Из предыдущей леммы следуетD что эти две вершины отличаются в (n-1) разрядеF ФигураD которую отрезает (X ) E выпуклаD так как это пересечеине двух выпуклых фигурX полупространства и кубаF ИтакD весь отрезок M N отрезанF Середина отрезка M N отрезана и имеет по крайней мере (n - 1) нулевую координатуF Значит это центр куба или центр (n - 1)Eмерной граниF Ни одна из этих точек отрезана быть не можетD так как лежит на сфере или внутри нееF S


Теорема 1.

В размерности 4 гипотеза вернаF То есть касательная гиперплоскость ко вписанной в четырехмерный куб сфере отсекает не более R вершинF

Степень каждой вершины отрезанного графа G не превосходит 4F Кроме тогоD в таком графе не должно быть треугольниковD тFкF это подгаф кубаF По той же причине у любой пары вершин не должно быть больше двух общих смежных вершинF Единственный связный графD удовлетворяющий этим свойствамD содержащий как минимум 5 вершин и имеющий диаметр n - 2 = 2 состоит из одной вершины степени четрые и и смежных с ней вершин степени одинF ПолучаетсяD что отрезанный граф E это вершина и все ее соседиF Можно считатьD что отрезана вершина (1, 1, 1, 1) и четыре смежных с нейX A, B , C, DF Так как отрезанная фигура E выпуклаD то M E центр масс точек A, B , C, D тоже отрезанF M имеет координаты (1/2, 1/2, 1/2, 1/2)F Эта точка удалена от центра на расстояние 1 " то есть лежит на вписанной сфереD а не внутри отрезанной гиперсферы и отрезанной быть не можетF

T


Перейдем к доказательству утверждения гипотезы в больших размерностяхF Без ограничения общностиD можно считатьD что все координаты точки сферы в которой проводится касательная гиперплоскость положительныF

Будем называть двойкой вершину куба у которой две отрицательные компонентыF АналогичноD тройкой будем называть вершину с тремя отрицательными компонентами и тFдF Будем так же обозначать вершину с n отрицательными компонентами через "n"F
Определение 9. Лемма 10.

Если набор вершин отрезанD то любая точка его выпуклой оболочки отрезанаF В частноE стиD отрезан центр массF Отрезанное множество является пересечением полупространства и кубаD то есть двух выпуклых мноE жествF СледовательноD оно само выпуклоF Выпуклая оболочка нескольких точек выпуклого множества содержится в немF Если в ЕслиD напримерD отрицательна тоже как две вершины с размерности n хотя бы одна вершина вида "1" не отрезанаD то N (A) 2n-2 вершина (-1, 1, . . . , 1) не отрезанаD то любая вершина у которой первая координата не может быть отрезаннойF Из остальных вершин отрезано не более половиныD так противоположными координатами не могут быть обе отрезаныF
2n-2 Точки 1, 1) + сферыF

Лемма 11.

Лемма 12.

Если в размерности n > 4 отрезана хотя бы одна вершина вида "n - 2"D то N (A) Не ограничивая общностиD будем считатьD что это вершина (-1, . . . , -1, 1, 1)F (1, . . . , 1, -1, 1), (1, . . . , 1, 1, -1) отрезаныF Тогда точка ((-1, . . . , -1, 1, 1) + (-1, . . . , -1, (1, . . . , 1, -1, 1) + (1, . . . , 1, 1, -1))/4 = (0, . . . , 0, 1/2, 1/2) отрезанаF Но она лежит внутри

Лемма 13.

Если в размерности n отрезано хотя бы две вершины вида "n - 3"D то N (A) 2n-3 Пойд? отпротивногоF Пусть отрезаны такие вершины B , B ем IF Если множества отрицательных координат этих вершин дают в объединении все множество координатD то середина отрезка B B имеет все непложительные координаты и не может быть отрезана гиперплосE костьюD касающейся сферы в точкеD все координаты которой неотрицательныF ПротиворечиеF PF Если множества отрицательных координаты дают в объединении все множество координатD кроме одE нойD то отрезана точка ((-1, -1, -1, . . . , -1, 1, 1, 1) + (-1, -1, -1, . . . , -1, 1, 1, 1) + (1, 1, -1, . . . , -1, -1, 1) + (1, . . . , 1, -1))/4 = (0, 0, -1/2, . . . , -1/2, 1/2, 1/2, 1/2) отрезанаF Значит точка (0, . . . , 0, 1/2, 1/2, 1/2) тоже отрезанаF Но она лежит внутри сферыF ПротиворечиеF QF Если множества отрицательных координат дают в объединении все множество коодинатD кроме двухD то отрезана точка ((-1, . . . , -1, 1, 1, 1) + (-1, . . . , -1, 1, -1, 1, 1) + (1, . . . , 1, -1, 1) + (1, . . . , 1, 1, -1)) = (0, . . . , 0, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2)F Но эта точкаD как уже отмечалосьD отрезана быть не можетF ПротиворечиеF В размерности 6 гипотеза вернаD то есть N (A) 16

Теорема 2.

Будем проводить доказательство от противногоF ПредположимD удалось отрезать по крайней мере IU вершинF IF Отрезанных четверок нетF В силу леммы IIF PF Отрезанных троек не более однойF В силу леммы IP QF Отрезанных троек нетF ДействительноD без ограничения общностиD можно считатьD что отрезанная тройка " это вершина B3 (-1, -1, -1, 1, 1, 1)F QFIF Если есть двойкаD не пересекающаяся по отрицательным координатам с B3 D например (1, 1, 1, -1, -1, 1)D тогда точка ((-1, -1, -1, 1, 1, 1) + (-1, -1, -1, 1, 1, 1) + (1, 1, 1, -1, -1, 1)(1, 1, 1, 1, 1, -1))/4 = (0, 0, 0, 1/2, 1/2, 1/2) тоже отрезанаF Но эта точка лежит внутри сферыF ПротиворечиеF QFPF Согласно предположениюD всего отрезаноD как минимумD IU вершинF Из них двоек не меньшеD чем 17 - 1 - 6 - 1 = 9F Из этих двоек только три имеют обе отрицательные координаты на тех позицияхD на которых у B3 отрицательные координатыF ЗначитD по меньшей мереD шесть имеют отличные от первых трех отрицательные координатыF Эти вершины и будут нас интересоватьF Рассмотрим графD вершинами которого являются будем считать координатные осиD а ребра будем проводить в том случаеD если из интересующих нас шести вершин есть такаяD у которой по этой паре координатных осей отрицательная U


координатаF Получится двудольный граф на T вершиных с равными долямиF В нем T реберF ОчевидноD среди них найдутся два ребра не имеющих общего концаF Рассмотрим соответсвующие этим ребрам вершины кубаF Можно считатьD что их координаты (-1, 1, 1, -1, 1, 1), (1, -1, 1, 1, -1, 1)F Тогда точка ((-1, -1, -1, 1, 1, 1) + (-1, 1, 1, -1, 1, 1) + (1, -1, 1, 1, -1, 1) + (1, 1, 1, 1, 1, -1))/4 = (0, 0, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2) тоже отрезанаF Но она лежит на сфереF ПротиворечиеF Таким образомD доказаноD что троек нетF RF По предположениюD число отрезанных вершин не меньше IUF По доказанномуD все эти вершины имеют не более двух отрицательных координатF Значит среди нихD как минимумD 17 - 1 - 6 = 10 двоекF Построим графD вершинами которого являются координатные осиD ребро будем проводить в том случаеD если отрезана вершинаD у которой все заданные координаты отрицательныF Получится граф с шестью вершинами и десятью ребрамиF Теперь докажем леммуX

В любом графе с шестью вершинами и десятью ребрами вершины выполнено одно из двух условийX IAF Можно разбить на три парыD каждая из которых соединена ребромF PAF Имеется две связных компонентыD одна из которых состоит из единственной вершиныD а вторая образует полный граф на пяти вершинахF
Лемма 14.

Обозначим вершины нашего графа A, B , C, D, E , F F Случай IX Есть вершина стпени нольF Тогда на остальных пяти вершинах не более десяти реберF СледоE вательноD их ровно десятьF Получается конфигурация из второго пункта теоремыF Случай PX Есть вершина степени пятьF Будем считатьD что это вершина AF На остальных вершинах пять реберF Будем искать из этих р? ебер паруD не имеющую общих вершинF Если мы е? найдемD то такая пара е вместе с оставшимимся двумя вершинами образует нужный набор @так как среди оставших двух верши одна вершина AD смежная со всеми вершинамиAF ИтакD осталось доказатьD что в графе с пятью вершинами и пяттью р? рами есть два ребраD не имеющие еб общих вершинF Граф у которго количества р? ебер и вершин совпадают имеет циклF ПредположимD что три из пяти р? ебер образуют цикл @треугольникAF Тогда любое другое ребро имеет с треугольником не более одной общей вершины и образет требуемую пару вместе с одной из сторон треугольникаF Если же треугольника нетD то есть цикл длины четрые или пятьF В каждом из жтих циклов явно указывается требуемая параF Случай P разобранF Случай QX Степень каждой вершины не меньше однго и не больше четырехF РасE смотрим вершину наименьшей степениF Сумму степеней всех вершин равна удвоенному числу р? еберD то есть двадцатиF По приниципу ДирихлеD найдется вершинаD степени не больше тр? ПустьD это вершина ехF AD смежная с вершиной B F Тогда графD образованный вершинами B , C, D, E , F имеет не менее 10 - 3 = 7 р? еберF Степень B не максимальнаD поэтому B не смежна с какойEто из вершин C, D, E , F и у этого четE рыехвершинного графа по меньшей мере 7 - 3 = 4 ребраF Это означаетD что в какойEто из трех пар ребер E F и C DD AE и F DD E D и F C присутствуют оба ребраF Эти два ребра вместе с ребром AB образуют требуемую тройку реберF Если ребер в шестивершинном графе девятьD то аналогичное утверждение уже неверноF ИтакD в силу леммы IQD мы имеем три отрезанных двойкиD множества отрицательных коордиE нат которых попарно не пересекаютсяD либо пять координатD каждая двойка из которых отрезаE наF Разберем сначала первый случайF Без ограничения общностиD можно считатьD что это вершины (-1, -1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, -1, -1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, -1, -1)F Тогда точка (2(-1, -1, 1, 1, 1, 1) + (1, 1, -1, -1, 1, 1) + (1, 1, 1, 1, -1, -1))/4 = (0, 0, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2) тоже отрезанаF Но эта точка лежит на сфереF ПротиворечиеF Осталось разобраться со случаемD когда есть пять координат и любая пара из них образует двойE куF Рассмотрим центр масс этих десяти двоекF Он имеет координаты ((-1, -1, 1, 1, 1, 1) + ћ ћ ћ + (1, 1, 1, -1, -1, 1))/10 = (1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1)F В то же время вершина (1, 1, 1, 1, 1, -1) является отрезнE нойD так как все вершины с одной отрицательной координатой отрезаныF ПолучаетсяD что любая точка с координатами (1, 1, 1, 1, 1, -1) + (1 - )(1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1) так же отрезанаF Возьмем = 1/6 и 1 2 получим точку (1/3, 1/3, 1/3, 1/3, 1/3, 2/3)D которая лежит на сфере @тFкF 5 ћ ( 3 )2 + ( 3 )2 = 1FA иD следоваE тельноD не может быть отрезанаF ПротиворечиеF Теорема полностью доказанаF

V