Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2007-kr3-shnurnikov.pdf Дата изменения: Sun May 13 22:59:36 2007 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:56:21 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 63

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет' Кафедра дифференциальной геометрии и приложений

Сложность классов трехмерных многообразий и специальные спайны аналоги примера Адамса.
Курсовая работа студента 3 курса научный руководитель:
акад. А.Т. Фоменко Шнурникова И. Н.

Москва 2007


Введение:

Классификации трехмерных многообразий пока нет, поэтому естественно сортировать многообразия по их сложности. Сложность 3-многообразия определяется как минимально возможное число вершин двумерного скелета (спайна) многообразия, окрестность любой точки которого гомеоморфна конусу над подграфом полного 4-вершинника, см. рис. 1. Окрестность вершины гомеоморфна конусу над 4-вершинником. При полезных свойствах сложности (сложность связной суммы есть сумма сложностей) точный подсчет и даже оценка снизу трудные задачи. До сих пор из оценок сложности снизу известны работы С. В. Матвеева, Е. А. Первовой, C. Petronio, А. Ю. Веснина, А. Б. Скопенкова: через H1 для замкнутых ориентируемых неприводимых многообразий ([1], Если M 3 = S 3 , RP 3 , L3,1 , то c(M ) 2log5 |T or(H1 (M ))| + rk(H1 (M )) - 1); через rk(1 ) для гомологических сфер ([2], т. 4b, число вершин ложной поверхности не менее rk(8 ) ); через объемы для замкнутых ориентируемых гиперболических многообразий ([3], предл. 2.8, vol(M ) < c(M ) ћ v3 , где v3 = 1.014 . . . ); есть оценки для конкретных серий замкнутых ориентируемых гиперболических многообразий Лобелла и Фибоначчи ([3], c(Ln ) > 10n, c(Mn ) > 2n, n 1). Для незамкнутых многообразий сложность найдена для двух серий: для накрытий над дополнением к узлу "восьмерке"или его "близнецу"[4, 5], и к многообразиям с границей из k торов и поверхности рода g 2, допускающим идеальную триангуляцию из g + k тетраэдров [6, 7]. В настоящей работе предложено усиление теоремы 4b из [2] до rk(1 ) - 1, с помощью доказанной леммы о графах предъявлена оценка сложности через границу для незамкнутых ориентируемых многообразий из некоторого класса, содержащего многообразия из , улучшена оценка количества гиперболических многообразий [6] из [6] с 6n до (6 2)n-5 (с помощью специального графа), по спайнам этих многообразий совместно с А. Т. Фоменко построена серия полиэдров, обобщающая пример Адамса не многообразия, ретрагирующегося на свою границу.
1

1


Оценка сложности через ранг фундаментальной группы

Двумерный конечный полиэдр P называется ложной поверхностью, если для каждой точки из P существует ее окрестность в P , гомеоморфная конусу или над окружностью, или над окружностью с диаметром, или над окружностью с 3 радиусами, см. рис. 2. Точки третьего типа назовем вершинами полиэдра P . Точки второго и третьего типов назовем особым графом полиэдра P . Минимальное число образующих фундаментальной группы полиэдра P назовем рангом 1 (P ) и обозначим за rk(1 (P )). Напомним результат А. Онищенко, D. Repovs, А. Скопенкова 2002 года: Теорема ([2], 4b). Если P ложная поверхность с n вершинами и H1 (P , Z ) = 0, то верно неравенство: n rk(8(P )) . Пользуясь точно теми же рассуждениями, а именно фактом о ранге свободного произведения групп и теоремой Ван Кампена, усилим неравенство: Теорема 1. Если P ложная поверхность с n вершинами и H1 (P , Z ) = 0, то верно неравенство: n rk(1 (P )) - 1. В особом графе полиэдра P откинем компоненты связности, не содержащие точек третьего типа, и получим граф G = li=1 Gi из l компонент связности. Рассмотрим U регулярную окрестность графа G в полиэдре P . Пусть N U = C l(U ) (P \ U ) состоит из N окружностей. Приклеим к P набор D = i=1 Di из N дисков границами к этим окружностям и получим полиэдр P . Знаем, что H1 (P , Z ) = 0 и H1 (D, Z ) = 0, и из последовательности Майера-Виеториса для пространств U D и (P \ U ) D получим H1 ((P \ U ) D, Z ) = 0. Из работы Lasheras [8] следует, что если ложная поверхность R = (P \ U ) D не имеет точек третьего типа и H1 (R, Z ) = 0, то и 1 (R) = 0. Теперь приклеим к P набор N -1 I = i=1 Ii из N - 1 отрезка, соединяющих одну из N граничных окружностей с остальными, см. рис 3. Все образующие 1 ((P \ U ) I ) выражаются через I и через N граничных окружностей U . Воспользуемся следствием из теоремы Грушко ([9], гл. 10, пар. 39): ранг свободного произведения конечно порожденных групп равен сумме рангов сомножителей. Получим rk(1 (P I )) = rk(1 (P )) + N - 1. Применим теорему Ван Кампена для пространств C l(U ) I и (P \ U ) I , получим rk(1 (P I )) rk (1 (U I )). Если граф Gi имеет ni вершин, то rk (1 (Gi )) = ni + 1, поэтому, применяя следствие из теоремы Грушко получим rk(1 (U I )) = li=1 ni + 1 + (N - 1) - (l - 1) = n + N . Итак rk (1 (P )) + N - 1 n + N . Заметим, что для специальных спайнов (определение см. ниже) утверждение теоремы тривиально и без H1 = 0. Теорему 1 можно рассматривать как оценку сложности некоторого класса многообразий.
1

2


Оценка сложности через край многообразия

Ложная поверхность P называется специальным спайном незамкнутого многообразия M 3 если выполнено 2 условия: а)P вложена в M 3 и M 3 \ P гомеоморфно M 3 Ч [0, 1). б) P без особого графа гомеоморфна несвязному объединению дисков и особый граф без своих вершин гомеоморфен несвязному объединению интервалов. Теорема 2. Пусть край компактного ориентируемого незамкнутого многооб2 разия M 3 состоит из N сфер с gi ручками, то есть M 3 = N Sg . Тогда число i=1 3 вершин n в специальном спайне M (если оно не равно 1 или 2) оценивается снизу: n | N (1 - gi ) - 1| i=1 Доказательство состоит из леммы и подсчета эйлеровой характеристики (M ). Лемма. Дан связный граф G с n вершинами степени 4 каждая (возможно с петлями и кратными ребрами). Рассматривается семейство циклов C на графе с свойством: Каждое ребро графа принадлежит ровно трем циклам и эти три цикла при подходе к вершине переходят на три выходящие из нее ребра, то есть каждый цикл переходит на свое ребро, см. рис 4. Тогда а) число циклов в любом семействе не превосходит 2n + 1 при n 3 и не превосходит 2n + 2 при n = 1, 2. б) Для графов с рис 5а есть семейство из 2n + 1 цикла при n 3 и из 2n + 2 цикла при n = 1, 2. Рис 5б есть доказательство пункта б) леммы. Докажем пункт а): Рассмотрим остовное дерево графа G и его окрестность D в графе G, см. рис 6. Рассмотрим пересечение семейства циклов с графом D это семейство I из 3n + 3 отрезка. Рассмотрим тройку циклов, имеющих общую висячую вершину остовного дерева. Хотя бы 2 из них содержат по крайней мере по 2 отрезка из семейства I . Пусть a число циклов, содержащих ровно один отрезок из семейства I , тогда a n + 1. Оценим общее число циклов: a + 3n+3-a = 3n+3+a 2 2 2n + 2. Перебрав несколько вариантов (см. рис 7) получим, что при n 3 число циклов не превосходит 2n + 1. Теперь выведем теорему, найдя (M 3 ): Рассмотрим полные сферы с gi ручка3 3 ми Sg . Так как сфера S 3 допускает разбиение Хегора любого рода, то (Sg ) = (S ) N 3 = 1-gi . Заклеим границу M 3 полными сферами, многообразие M 3 i=1 Sg 2 N 3 3 замкнуто, поэтому (M ) = i=1 (1 - gi ). Специальный спайн M гомотопически эквивалентен M 3 , а значит (M 3 ) = n - 2n + c, где c количество двумерных граней у спайна, оно же количество циклов и по лемме 1 c 2n + 1, поэтому 1 - n (M 3 ) n + 1, откуда и следует теорема. Число вершин в специальном спайне, вообще говоря, не совпадает со сложностью многообразия, но для некоторого класса многообразий, содержащего многообразия из [6], это верно, и для них оценка в Теореме 2 получается точной.
i i i 2 gi i

3


Оценка количества многообразий заданной сложности

Для оценки числа гиперболических многообразий сложности n оценим количество спайнов с заданным количеством вершин n: Специальный спайн называется ориентируемым, если он может быть утолщен до ориентируемого многообразия. Многообразие однозначно утолщается по своему специальному спайну. Для четного n 2 построим на плоскости R2 граф Gn из n вершин степени 4, см. рис 8. Рассмотрим n + 2 окружностей единичного радиуса с центрами в 2 1 точках (2k, 0), где k = 1, 2, . . . , n + 2 и n - 1 окружность радиуса 2 с центрами в 2 2 3 n точках (2k + 4, 2 ), где k = 1, 2, . . . , 2 - 1. Для любого четного n 4 существует как минимум 3 ћ (6 2)n-4 ориентируемых спайнов с особым графом Gn и с одной двумерной клеткой. Докажем лемму индукцией по n. Будем рассматривать не сами спайны, а окрестности их особого графа Gn , т.е. проколем двумерную клетку. На рис 9 изображена окрестность G2 . Для G2 возьмем полученную граничную окружность и ее три отрезка, проходящих вдоль дуги (5, 0) (6, -1) (7, 0). Перейдем к n = 4, то есть добавим к G2 еще 2 окружности. Продолжим эти три отрезка граничной S 1 вдоль добавленных окружностей: на каждую из них один продолженный отрезок намотается 2 раза, и еще один намотается 1 раз, см рис 10. На каждую добавленную окружность окрестность графа продолжается 6 способами (с сохранением ориентируемости и единственности двумерной клетки.) Выбор трех отрезков неоднозначен (их можно переставить между собой 6 способами, и дугу (5, 0) (6, -1) (7, 0) можно перепутать с дугой (5, 0) (6, 1)), поэтому 6 для n = 4 найдено 6ћћ6 = 3 спайна. Полученные спайны не гомеоморфны друг 2 другу, так как если у гомеоморфных спайнов выделенные отрезки совпадут, то дальше все продолжения совпадут. Перейдем теперь от n к n + 2: добавление еще двух окружностей дает 6 ћ 6 вариантов продолжения окрестности бывшего особого графа на новый особый граф (аналогично переходу G2 G4 ). Однако на прошлом шаге n - 2 n добавляемые окружности были одинаковы, а теперь на одной из них висят еще 2 окружности, значит на шаге n - 2 n получаем удвоение числа вариантов от того, на какую из 2 несимметричных окружностей будет начато продолжение окрестности особого графа. В случае нечетного n надо начинать с цепочки четырех касающихся окружностей (см. рис 11) и добавлять окружности аналогично четному случаю. В итоге получится 3 ћ (6 2)n-5 ориентируемых спайнов с одной двумерной клеткой при n 5. Следствие леммы и теорем из [6]: Для любого натурального n 5 существу ет как минимум 3 ћ (6 2)n-5 компактных незамкнутых ориентируемых гиперболических многообразий сложности n с геодезической границей.
Лемма.



4


Обобщения примера Адамса Теорема 3. Рассмотрим регулярные окрестности особых графов G в спайнах, имеющих одну двумерную клетку. Все эти окрестности ретрагируются на 1 свою граничную окружность S0 (то есть на границу диска, выброшенного из двумерной клетки). Используем теорию препятствий: если граница диска отображается на окруж1 ность S0 со степенью 0, то отображение продолжается до отображения всего диска. 1 Сжимая P окрестность G, получим отображение f : S0 G. Выберем какую-нибудь вершину графа G, тогда на хотя бы одно из 4 выходящих из нее 1 ребер (пусть на e) окружность S0 отображается со степенью +1 или -1, см. рис 12. 1 Теперь все G \ e отображаем в точку x0 S0 , а ребро e отображаем со степенью 1 1 1 +1 или -1 на S0 соответственно. А S0 отобразим на S0 тождественно. Соединим x0 с точкой из G \ e путем m и отобразим m в точку x0 , см. рис 13. Теперь граница 1 1 1 диска (P \ (G S0 m) = (S0 - e) + G \ e отображается со степенью 0 на S0 , поэтому отображение можно продолжить на весь спайн. Адамс рассматривал тройной лист Мебиуса, соединенный ленточкой с обычным листом (то есть ложную поверхность) и ретрагировал ее на границу. Если компактная поверхность с особенностями ретрагируется на свою границу подмногообразие, то при ретракции особенности отобразятся на границу сюрьективно. Поэтому все двумерные аналоги примера Адамса должны иметь какой-то граф особенностей. Литература

[1] С. В. Матвеев, Е. А. Первова, " Нижние оценки для сложности трехмерных многообразий ", ДАН 63(3) 2001, [2] A. Onischenko, D. Repovs, A. B. Skopenkov, "Resolutoin of 2-Polyhedra by Fake surfaces and Embedding into R4 ", Contemporary Nathematics, volume (288), (2001) [3] S. V. Matveev, C. Petronio, A. Yu. Vesnin, " Two-sided asymptotic bounds for the complexity of some closed hyperbolic 3-manifolds " math.GT/0602372 v1 (2006). [4] S. Anisov, "Complexity of torus bundles over the circle with monodromy (2, 1, 1, 1)n " preprint math.GT/0203215 [5] S. V. Matveev, "Algorithmic topology and classication of 3-manifolds", ACMmonographs, Vol. 9, Springer-Verlag 2003 [6] R. Frigerio, B.Martelli, C. Petronio, "Complexity and Heegard genus of an innite class of compact 3-manifolds", math.GT/0206156 v1 2002; Pasic J. Math. (2003) [7] R. Frigerio, B.Martelli, C. Petronio, "Dehn lling of cusped hyperbolic 3manifolds with geodesic boundary", J. Dierential Geometry 64 (2003) [8] F. F. Lasheras "Universal covers and 3-manifolds", J. Pure Appl. Alg. 151 (2000) 163-172. [9] А. Г. Курош "Теория групп" Лань, Москва-С.Петербург-Краснодар (2005)

5